Volumen zusammengesetzter Körper

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Ein Körper ist ein Zylinder mit einem Kegel obendrauf, sodass die runde Grundfläche des Kegels genau auf der Deckfläche des Zylinders liegt. Wie berechnest du das Volumen des ganzen Körpers?
1. a)Das Volumen des Kegels vom Volumen des Zylinders abziehen
2. b)Nur den Zylinder nehmen, weil der Kegel zu klein ist
3. c)Das Volumen des Zylinders mit dem Volumen des Kegels multiplizieren
4. d)Das Volumen des Zylinders und das Volumen des Kegels addieren
Lösung: Das Volumen des Zylinders und das Volumen des Kegels addieren
Der Kegel ist an den Zylinder angesetzt, also nimmt der Körper den Raum beider Teile ein: $V = V_{\text{Zylinder}} + V_{\text{Kegel}}$ . Subtrahiert wird nur, wenn ein Teil entfernt wird.
2.
Ein Würfel mit der Kantenlänge $4$ cm ist auf einen größeren Würfel mit der Kantenlänge $6$ cm geklebt. Wie groß ist das Gesamtvolumen des Körpers in cm³?
Lösung: 280
Kleiner Würfel: $4^3 = 64$ cm³. Großer Würfel: $6^3 = 216$ cm³. Zusammen: $64 + 216 = 280$ cm³.
3.
Ein Treppenklotz besteht aus zwei Quadern. Der untere Quader ist $8$ cm lang, $4$ cm breit und $2$ cm hoch. Ein zweiter Quader, $4$ cm lang, $4$ cm breit und $2$ cm hoch, liegt darauf. Berechne das Gesamtvolumen in cm³.
Lösung: 96
1. Wie groß ist das Volumen des unteren Quaders in cm³? 64
2. Wie groß ist das Volumen des oberen Quaders in cm³? 32
3. Wie groß ist das Gesamtvolumen in cm³? 96
4.
Welcher Term gibt das Volumen einer Halbkugel mit dem Radius $r$ an?
1. a) $\frac{1}{3}\pi r^3$
2. b) $2\pi r^2$
3. c) $\frac{4}{3}\pi r^3$
4. d) $\frac{2}{3}\pi r^3$
Lösung: $\frac{2}{3}\pi r^3$
Eine Halbkugel ist eine halbe Kugel: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ . $\frac{4}{3}\pi r^3$ ist die ganze Kugel, und $2\pi r^2$ ist eine Fläche, kein Volumen.
5.
Ein kleiner Schuppen ist ein Würfel mit der Kantenlänge $2$ m. Sein Dach ist eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von $2$ m mal $2$ m (die Deckfläche des Würfels) und einer Höhe von $1{,}5$ m. Wie groß ist das Gesamtvolumen des Schuppens in m³?
Lösung: 10
Würfel: $2^3 = 8$ m³. Pyramide: $\frac{1}{3} \times 4 \times 1{,}5 = 2$ m³. Zusammen: $8 + 2 = 10$ m³.
6.
Ein Modellhaus ist ein Quader, $6$ m lang, $4$ m breit und $3$ m hoch, mit einem Pyramidendach obendrauf. Das Dach hat dieselbe rechteckige Grundfläche von $6$ m mal $4$ m und eine Höhe von $2$ m. Berechne das Gesamtvolumen in m³.
Lösung: 88
1. Wie groß ist das Volumen des Quaders in m³? 72
2. Wie groß ist die Grundfläche $B$ des Dachs in m²? 24
3. Wie groß ist das Volumen des Dachs in m³? 16
4. Wie groß ist das Gesamtvolumen in m³? 88
7.
Ein Holzwürfel hat die Kantenlänge $10$ cm. Aus einer Ecke wird ein kleiner Würfel mit der Kantenlänge $4$ cm herausgeschnitten. Wie viel Holz bleibt übrig, in cm³?
Lösung: 936
1. Wie groß ist das Volumen des ganzen Würfels in cm³? 1000
2. Wie groß ist das Volumen des herausgeschnittenen Stücks in cm³? 64
3. Wie viel Holz bleibt in cm³ übrig? 936
8.
Ein Raketenmodell ist $15$ cm hoch: ein Zylinder mit dem Radius $2$ cm und der Höhe $9$ cm, mit einem Kegel vom Radius $2$ cm und der Höhe $6$ cm obendrauf. Welcher Term gibt sein Volumen an?
1. a) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
2. b) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15$
3. c) $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \pi \cdot 2^2 \cdot 6$
4. d) $\pi \cdot 2^2 \cdot 15 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Lösung: $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6$
Zylinder mit seiner eigenen Höhe $9$ plus Kegel mit seiner eigenen Höhe $6$ und dem Faktor $\frac{1}{3}$ : $\pi \cdot 2^2 \cdot 9 + \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 36\pi + 8\pi = 44\pi$ . Die Gesamthöhe $15$ kommt in keiner Formel vor.
9.
Ein Wachsmalstift ist ein Zylinder mit dem Radius $1$ cm und der Länge $9$ cm, mit einer kegelförmigen Spitze vom Radius $1$ cm und der Höhe $3$ cm. Berechne sein Volumen in cm³ mit $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 31.4
1. Wie groß ist das Volumen des Zylinders in cm³? 28.26
2. Wie groß ist das Volumen des Kegels in cm³? 3.14
3. Wie groß ist das Gesamtvolumen in cm³? 31.4
10.
Eine Eistüte hat den Radius $3$ cm und die Höhe $8$ cm und ist ganz gefüllt. Obendrauf sitzt eine halbkugelförmige Eiskugel mit dem Radius $3$ cm. Das Gesamtvolumen des Eises ist $k\pi$ cm³. Wie groß ist $k$ ?
Lösung: 42
Kegel: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 8 = 24\pi$ . Halbkugel: $\frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi$ . Zusammen: $24\pi + 18\pi = 42\pi$ , also $k = 42$ .
11.
Ein kapselförmiger Behälter ist ein Zylinder mit dem Radius $3$ cm und der Länge $12$ cm, mit einer Halbkugel vom Radius $3$ cm an jedem Ende. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ und runde das Gesamtvolumen auf ganze cm³.
Lösung: 452
1. Wie groß ist das Volumen des Zylinders in cm³? 339.12
2. Wie groß ist das Volumen der beiden Halbkugeln zusammen in cm³? 113.04
3. Wie groß ist die genaue Summe mit $\pi \approx 3{,}14$ , in cm³? 452.16
4. Runde auf ganze cm³. 452
12.
Ein Holzklotz ist $10$ cm lang, $10$ cm breit und $6$ cm hoch. Ein zylinderförmiges Loch mit dem Radius $2$ cm wird senkrecht durch die ganze Höhe von $6$ cm gebohrt. Wie viel Holz bleibt übrig, mit $\pi \approx 3{,}14$ und auf Zehntel gerundet?
1. a)675,4 cm³
2. b)524,6 cm³
3. c)600 cm³
4. d)298,6 cm³
Lösung: 524,6 cm³
Klotz: $600$ cm³. Loch: $3{,}14 \times 4 \times 6 = 75{,}36$ cm³. Übrig: $600 - 75{,}36 = 524{,}64 \approx 524{,}6$ cm³. Addieren ergibt $675{,}4$ , und den Durchmesser $4$ als Radius zu nehmen ergibt $298{,}6$ .
13.
Ein Silo ist ein Zylinder mit dem Radius $2$ m und der Höhe $8$ m, mit einem halbkugelförmigen Dach vom Radius $2$ m. Rechne mit $\pi \approx 3{,}14$ . Wie groß ist das Volumen des Silos in m³, auf ganze Zahlen gerundet?
Lösung: 117
Zylinder: $\pi \times 2^2 \times 8 = 32\pi$ . Halbkugel: $\frac{2}{3}\pi \times 2^3 = \frac{16}{3}\pi$ . Zusammen: $\frac{112}{3}\pi \approx \frac{112 \times 3{,}14}{3} \approx 117{,}23$ , also etwa $117$ m³.
14.
Ein massiver Zylinder hat den Radius $6$ cm und die Höhe $10$ cm. Ein Kegel mit derselben Grundfläche (Radius $6$ cm) und derselben Höhe ( $10$ cm) wird herausgehöhlt, die Spitze zeigt im Zylinder nach unten. Berechne mit $\pi \approx 3{,}14$ , wie viel Material übrig bleibt, in cm³.
Lösung: 753.6
1. Wie groß ist das Volumen des Zylinders in cm³? 1130.4
2. Wie groß ist das Volumen des Kegels in cm³? 376.8
3. Wie viel Material bleibt in cm³ übrig? 753.6
15.
Ein Metallrohr ist $50$ cm lang. Sein äußerer Radius ist $6$ cm, sein innerer Radius (das Loch) $5$ cm. Welcher Term gibt das Volumen des Metalls im Rohr an?
1. a) $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50$
2. b) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50$
3. c) $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 + \pi \cdot 5^2 \cdot 50$
4. d) $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Lösung: $\pi (6^2 - 5^2) \cdot 50$
Metall = äußerer Zylinder minus Loch: $\pi \cdot 6^2 \cdot 50 - \pi \cdot 5^2 \cdot 50 = \pi (6^2 - 5^2) \cdot 50 = 550\pi$ . Die Antwort $\pi (6 - 5)^2 \cdot 50 = 50\pi$ zieht die Radien vor dem Quadrieren ab, das ist falsch.
16.
Ein Abflussrohr aus Beton ist $200$ cm lang. Sein äußerer Radius ist $10$ cm und sein innerer Radius $8$ cm. Berechne mit $\pi \approx 3{,}14$ , wie viele Liter Beton es enthält ( $1$ L $= 1000$ cm³).
Lösung: 22.608
1. Wie groß ist das Volumen des äußeren Zylinders in cm³? 62800
2. Wie groß ist das Volumen des Lochs in cm³? 40192
3. Wie groß ist das Volumen des Betons in cm³? 22608
4. Wie viele Liter sind das? 22.608
17.
Ein Aquarium ist ein Quader, $30$ cm lang, $20$ cm breit und $20$ cm hoch. Darin steht eine massive Deko in Form eines Zylinders mit dem Radius $5$ cm und der Höhe $20$ cm. Wie viele Liter Wasser braucht man mit $\pi \approx 3{,}14$ , um den Rest des Aquariums zu füllen? ( $1$ L $= 1000$ cm³)
Lösung: 10.43
Aquarium: $30 \times 20 \times 20 = 12000$ cm³. Deko: $3{,}14 \times 5^2 \times 20 = 1570$ cm³. Wasser: $12000 - 1570 = 10430$ cm³ $= 10{,}43$ L.
18.
Ein Körper ist ein Zylinder mit einer Halbkugel obendrauf, beide mit dem Radius $3$ cm. Sein Gesamtvolumen beträgt $90\pi$ cm³. Wie hoch ist der Zylinderteil? (Rechne mit $\pi$ als Faktor.)
Lösung: 8
1. Die Halbkugel hat das Volumen $k\pi$ cm³. Wie groß ist $k$ ? 18
2. Der Zylinderteil hat das Volumen $m\pi$ cm³. Wie groß ist $m$ ? 72
3. Löse $\pi \times 3^2 \times h = 72\pi$ . Wie groß ist $h$ in cm? 8