Volumen von Kegeln

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Mit welcher Formel berechnest du das Volumen eines Kegels mit Radius $r$ und Höhe $h$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = 2\pi r h$
4. d) $V = \pi r^2 h$
Lösung: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Die Kegelformel ist $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ . $\pi r^2 h$ ist der Zylinder, $\frac{4}{3}\pi r^3$ die Kugel und $2\pi r h$ die Mantelfläche eines Zylinders, kein Volumen.
2.
Ein Zylinder hat ein Volumen von 90 cm³. Ein Kegel hat dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe. Wie groß ist das Volumen des Kegels in cm³?
Lösung: 30
Der Kegel fasst ein Drittel des Zylinders: $90 \div 3 = 30$ cm³.
3.
Ein Kegel hat den Radius 3 cm und die Höhe 5 cm. Sein Volumen ist $\square\,\pi$ cm³. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 15
$V = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 5 = \frac{45}{3}\pi = 15\pi$ cm³.
4.
Ein Leitkegel hat eine Grundfläche mit einem Durchmesser von 10 cm. Welchen Wert setzt du in der Volumenformel für $r$ ein?
1. a)20 cm
2. b)2,5 cm
3. c)5 cm
4. d)10 cm
Lösung: 5 cm
$r = 10 \div 2 = 5$ cm. Mit 10 cm wäre $r^2$ viermal zu groß.
5.
Berechne das Volumen eines Kegels mit Radius 2 cm und Höhe 6 cm. Verwende $\pi \approx 3{,}14$ und gib das Ergebnis in cm³ an (Runden ist nicht nötig).
Lösung: 25.12
1. Was ist $r^2$ ? 4
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 24
3. Teile durch 3. Was erhältst du? 8
4. Multipliziere mit 3,14. Wie groß ist das Volumen in cm³? 25.12
6.
Ein Partyhut ist ein Kegel mit Radius 3 cm und Höhe 4 cm. Sein Volumen ist $\square\,\pi$ cm³. Bestimme die Zahl im Kästchen.
Lösung: 12
1. Was ist $r^2$ ? 9
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 36
3. Teile durch 3. Welche Zahl steht vor $\pi$ ? 12
7.
Ein Kegel hat einen Radius von 6 cm und eine Mantellinie von 10 cm. Wie groß ist seine senkrechte Höhe?
1. a)8 cm
2. b)4 cm
3. c)10 cm
4. d)16 cm
Lösung: 8 cm
$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ , also $h = 8$ cm. Die Mantellinie (10 cm) ist die Hypotenuse, deshalb muss die Höhe kürzer sein.
8.
Ein Kieshaufen ist ein Kegel mit einem Durchmesser von 4 m und einer Höhe von 3 m. Wie viele m³ Kies liegen im Haufen? Verwende $\pi \approx 3{,}14$ und runde auf Hundertstel.
Lösung: 12.56
$r = 2$ m. $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 2^2 \times 3 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ m³.
9.
Eine Eiswaffel hat einen Durchmesser von 6 cm und eine Höhe von 11 cm. Berechne ihr Volumen mit $\pi \approx 3{,}14$ , gerundet auf Zehntel cm³.
Lösung: 103.6
1. Wie groß ist der Radius in cm? 3
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 99
3. Teile durch 3. Was erhältst du? 33
4. Multipliziere mit 3,14 (noch nicht runden). 103.62
5. Runde auf Zehntel. 103.6
10.
Du verdoppelst die Höhe eines Kegels und lässt den Radius gleich. Was passiert mit dem Volumen?
1. a)Es verdreifacht sich
2. b)Es bleibt gleich
3. c)Es verdoppelt sich
4. d)Es wird 4-mal so groß
Lösung: Es verdoppelt sich
Das Volumen ist proportional zu $h$ , also verdoppelt sich $V$ , wenn $h$ sich verdoppelt. Beispiel: $r = 3$ , $h = 4$ ergibt $12\pi$ ; $h = 8$ ergibt $24\pi$ .
11.
Ein Kegel hat ein Volumen von $12\pi$ cm³ und einen Radius von 3 cm. Wie groß ist seine Höhe in cm?
Lösung: 4
$3\pi h = 12\pi$ , also $h = 12 \div 3 = 4$ cm. Probe: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .
12.
Ein Küchentrichter ist ein Kegel mit Radius 5 cm und Höhe 9 cm. Wie viele cm³ fasst er, wenn er voll ist? Verwende $\pi \approx 3{,}14$ (Runden ist nicht nötig).
Lösung: 235.5
1. Was ist $r^2$ ? 25
2. Was ist $r^2 \times h$ ? 225
3. Teile durch 3. Was erhältst du? 75
4. Multipliziere mit 3,14. Wie viele cm³? 235.5
13.
Ein Zylinder und ein Kegel haben beide den Radius 4 cm und die Höhe 6 cm. Der Zylinder fasst $\square\,\pi$ cm³ mehr als der Kegel. Bestimme die Zahl im Kästchen.
Lösung: 64
1. Der Zylinder hat $\square\,\pi$ cm³. Welche Zahl? 96
2. Der Kegel hat $\square\,\pi$ cm³. Welche Zahl? 32
3. Subtrahiere. Welche Zahl steht vor $\pi$ ? 64
14.
Du verdoppelst den Radius eines Kegels und lässt die Höhe gleich. Wie verhält sich das neue Volumen zum alten?
1. a)8-mal so groß
2. b)4-mal so groß
3. c)2-mal so groß
4. d)3-mal so groß
Lösung: 4-mal so groß
$(2r)^2 = 4r^2$ , also wird das Volumen 4-mal so groß. Beispiel: $r = 3$ , $h = 4$ ergibt $12\pi$ ; $r = 6$ , $h = 4$ ergibt $48\pi$ .
15.
Ein Kegel hat den Radius 5 cm und die Mantellinie 13 cm. Sein Volumen ist $\square\,\pi$ cm³. Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 100
$h^2 = 169 - 25 = 144$ , also $h = 12$ . $V = \frac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm³.
16.
Ein Kegel hat ein Volumen von 301,44 cm³ und eine Höhe von 8 cm. Bestimme seinen Radius in cm. Verwende $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 6
1. Was ist $3 \times V$ ? 904.32
2. Was ist $\pi \times h$ mit $\pi \approx 3{,}14$ ? 25.12
3. Teile, um $r^2$ zu erhalten. 36
4. Wie groß ist $r$ ? 6
17.
Ein kegelförmiges Zelt hat einen Radius von 9 dm und eine Mantellinie von 15 dm. Berechne sein Volumen in dm³. Verwende $\pi \approx 3{,}14$ (Runden ist nicht nötig).
Lösung: 1017.36
1. Was ist $h^2 = l^2 - r^2$ ? 144
2. Wie groß ist die Höhe $h$ in dm? 12
3. Was ist $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 324
4. Multipliziere mit 3,14. Wie groß ist das Volumen in dm³? 1017.36
18.
Kegelförmige Papierbecher haben den Radius 3 cm und die Höhe 10 cm. Wie viele volle Becher brauchst du, um eine 1-Liter-Kanne (1000 cm³) ganz zu füllen? Verwende $\pi \approx 3{,}14$ .
Lösung: 11
1. Was ist $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 30
2. Wie groß ist das Volumen eines Bechers in cm³? 94.2
3. $1000 \div 94{,}2 \approx 10{,}6$ . Wie viele volle Becher brauchst du? 11