Volumen von Pyramiden

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Mit welcher Formel berechnest du das Volumen jeder Pyramide? ( $B$ = Grundfläche, $h$ = Höhe)
1. a) $V = \frac{1}{3}Bh$
2. b) $V = \frac{1}{2}Bh$
3. c) $V = 3Bh$
4. d) $V = Bh$
Lösung: $V = \frac{1}{3}Bh$
$V = \frac{1}{3}Bh$ . Eine Pyramide ist genau ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe, dessen Volumen $Bh$ ist.
2.
Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit $3$ m Seitenlänge und eine Höhe von $5$ m. Wie groß ist ihr Volumen in m³?
Lösung: 15
$B = 3^2 = 9$ m², also $V = \frac{1}{3} \times 9 \times 5 = \frac{45}{3} = 15$ m³.
3.
Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Grundkanten von $5$ cm und einer Höhe von $12$ cm.
Lösung: 100
1. Wie groß ist die Grundfläche in cm²? 25
2. Multipliziere die Grundfläche mit der Höhe. Was erhältst du? 300
3. Teile durch 3. Wie groß ist das Volumen in cm³? 100
4.
Ein Prisma und eine Pyramide haben die gleiche Grundfläche und die gleiche Höhe. Das Prisma hat ein Volumen von $90$ cm³. Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
1. a)45 cm³
2. b)90 cm³
3. c)30 cm³
4. d)270 cm³
Lösung: 30 cm³
Die Pyramide ist ein Drittel des Prismas: $90 \div 3 = 30$ cm³.
5.
Eine Pyramide hat eine Grundfläche von $24$ cm² und eine Höhe von $7$ cm. Wie groß ist ihr Volumen in cm³?
Lösung: 56
$V = \frac{1}{3} \times 24 \times 7 = 8 \times 7 = 56$ cm³.
6.
Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche von $9$ m mal $4$ m und eine Höhe von $5$ m. Berechne ihr Volumen.
Lösung: 60
1. Wie groß ist die Grundfläche in m²? 36
2. Multipliziere mit der Höhe. Was erhältst du? 180
3. Teile durch 3. Wie groß ist das Volumen in m³? 60
7.
Welche Länge ist $h$ in $V = \frac{1}{3}Bh$ ?
1. a)Der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche
2. b)Die Länge einer Grundkante
3. c)Die Seitenhöhe einer dreieckigen Seitenfläche
4. d)Die Länge einer Kante von der Spitze zu einer Ecke
Lösung: Der senkrechte Abstand von der Spitze zur Grundfläche
$h$ ist die senkrechte Höhe: der Abstand von der Spitze gerade nach unten zur Grundfläche, im rechten Winkel. Die Seitenhöhe verläuft auf einer Seitenfläche und ist länger.
8.
Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche von $7$ cm mal $6$ cm und eine Höhe von $10$ cm. Wie groß ist ihr Volumen in cm³?
Lösung: 140
$B = 7 \times 6 = 42$ cm², also $V = \frac{1}{3} \times 42 \times 10 = 14 \times 10 = 140$ cm³.
9.
Die Grundfläche einer Pyramide ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten von $6$ cm und $8$ cm. Die Pyramide ist $15$ cm hoch. Berechne ihr Volumen.
Lösung: 120
1. Wie groß ist der Flächeninhalt des Grunddreiecks in cm²? 24
2. Multipliziere mit der Höhe der Pyramide. Was erhältst du? 360
3. Teile durch 3. Wie groß ist das Volumen in cm³? 120
10.
Eine quadratische Pyramide hat Grundkanten von $4$ cm und eine Höhe von $6$ cm. Welche Rechnung ergibt ihr Volumen?
1. a) $\frac{1}{2} \times 4^2 \times 6$
2. b) $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
3. c) $\frac{1}{3} \times 4 \times 6$
4. d) $4^2 \times 6$
Lösung: $\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6$
$B = 4^2 = 16$ , also $V = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 6 = \frac{96}{3} = 32$ cm³. Die anderen Antworten vergessen das Quadrat, das $\frac{1}{3}$ oder verwenden $\frac{1}{2}$ .
11.
Die Grundfläche einer Pyramide ist ein Dreieck mit der Grundseite $10$ cm und der Höhe $6$ cm. Die Pyramide ist $8$ cm hoch. Wie groß ist ihr Volumen in cm³?
Lösung: 80
$B = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$ cm², also $V = \frac{1}{3} \times 30 \times 8 = 10 \times 8 = 80$ cm³.
12.
Eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche von $8$ cm mal $5$ cm hat ein Volumen von $120$ cm³. Wie hoch ist sie?
Lösung: 9
1. Wie groß ist die Grundfläche in cm²? 40
2. Wie groß ist $3V$ , das Dreifache des Volumens? 360
3. Teile durch die Grundfläche. Wie groß ist die Höhe in cm? 9
13.
Ein Quader hat eine quadratische Grundfläche von $6$ cm mal $6$ cm und ist $10$ cm hoch. Eine hohle Pyramide hat die gleiche Grundfläche und Höhe. Wie viele volle Pyramiden Sand füllen den Quader?
Lösung: 3
1. Wie groß ist das Volumen des Quaders in cm³? 360
2. Wie groß ist das Volumen der Pyramide in cm³? 120
3. Wie viele Pyramiden füllen den Quader? 3
14.
Du verdoppelst die Seite der quadratischen Grundfläche einer Pyramide und lässt die Höhe gleich. Mit welchem Faktor wird das Volumen multipliziert?
1. a)×8
2. b)×3
3. c)×4
4. d)×2
Lösung: ×4
Die Grundfläche ist $s^2$ , also ergibt eine doppelte Seite $(2s)^2 = 4s^2$ : viermal so viel Grundfläche. Die Höhe bleibt gleich, also wird das Volumen mit $4$ multipliziert.
15.
Eine quadratische Pyramide hat ein Volumen von $200$ cm³ und eine Höhe von $6$ cm. Wie lang ist eine Seite ihrer Grundfläche in cm?
Lösung: 10
$B = \frac{3V}{h} = \frac{600}{6} = 100$ cm², und $s = \sqrt{100} = 10$ cm.
16.
Eine quadratische Pyramide hat Grundkanten von $16$ cm und eine Seitenhöhe von $17$ cm. Berechne ihr Volumen.
Lösung: 1280
1. Wie groß ist die halbe Grundkante in cm? 8
2. Verwende Pythagoras. Wie groß ist die Höhe $h$ in cm? 15
3. Wie groß ist die Grundfläche in cm²? 256
4. Wie groß ist das Volumen in cm³? 1280
17.
Ein großes Gruppenzelt ist eine quadratische Pyramide. Sein Boden hat Seiten von $6$ m, und die Seitenhöhe jeder Seitenfläche beträgt $5$ m. Wie viel Luft ist darin?
Lösung: 48
1. Wie groß ist die halbe Bodenseite in m? 3
2. Verwende Pythagoras. Wie hoch ist das Zelt in m? 4
3. Wie groß ist die Bodenfläche in m²? 36
4. Wie groß ist das Volumen in m³? 48
18.
Ein Briefbeschwerer aus Glas ist eine quadratische Pyramide mit einem Volumen von $384$ cm³ und einer Höhe von $8$ cm. Wie lang ist eine Seite der Grundfläche in cm?
Lösung: 12
1. Wie groß ist $3V$ ? 1152
2. Teile durch die Höhe. Wie groß ist die Grundfläche in cm²? 144
3. Wie lang ist die Seite der quadratischen Grundfläche in cm? 12