Teilbarkeit durch 3 und 9

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Zahl ist durch $3$ teilbar?
1. a)535
2. b)770
3. c)421
4. d)612
Lösung: 612
Die Quersummen sind $7$ , $13$ , $9$ und $14$ . Nur $6 + 1 + 2 = 9$ ist ein Vielfaches von $3$ , also ist $612$ durch $3$ teilbar: $612 \div 3 = 204$ .
2.
Welche Zahl ist durch $9$ teilbar?
1. a)6303
2. b)8120
3. c)2346
4. d)5013
Lösung: 5013
Die Quersummen sind $15$ , $11$ , $12$ und $9$ . Nur $5 + 0 + 1 + 3 = 9$ ist ein Vielfaches von $9$ , also $5013 \div 9 = 557$ . Achtung: $2346$ und $6303$ sind durch $3$ teilbar, aber nicht durch $9$ .
3.
Welche Aussage ist wahr?
1. a)Jede durch 9 teilbare Zahl ist auch durch 3 teilbar
2. b)Jede durch 3 teilbare Zahl ist auch durch 9 teilbar
3. c)Jede Zahl, die auf 3 endet, ist durch 3 teilbar
4. d)Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 9 ist
Lösung: Jede durch 9 teilbare Zahl ist auch durch 3 teilbar
Weil $9 = 3 \times 3$ ist, ist jedes Vielfache von $9$ auch ein Vielfaches von $3$ . Die anderen sind falsch: $12$ ist durch $3$ , aber nicht durch $9$ teilbar, $13$ endet auf $3$ , ist aber nicht durch $3$ teilbar, und $19$ endet auf $9$ , ist aber nicht durch $9$ teilbar.
4.
Welcher Rest bleibt, wenn man $5237$ durch $9$ teilt?
1. a)0
2. b)7
3. c)8
4. d)2
Lösung: 8
$5 + 2 + 3 + 7 = 17$ und $1 + 7 = 8$ , also ist der Rest $8$ . Probe: $9 \times 581 = 5229$ und $5237 - 5229 = 8$ .
5.
Leo hat $3456 + 2789 = 6235$ geschrieben. Was sagt dir die Neunerprobe?
1. a)Das Ergebnis ist falsch: Beide Seiten ergeben Rest 0
2. b)Das Ergebnis besteht die Probe, also ist es richtig
3. c)Das Ergebnis ist falsch: Links ergibt sich Rest 8, aber 6235 ergibt 7
4. d)Die Neunerprobe kann man bei Additionen nicht benutzen
Lösung: Das Ergebnis ist falsch: Links ergibt sich Rest 8, aber 6235 ergibt 7
$3456 \rightarrow 18 \rightarrow 9$ (Rest $0$ ) und $2789 \rightarrow 26 \rightarrow 8$ , also sollte die Summe den Rest $0 + 8 = 8$ lassen. Aber $6235 \rightarrow 16 \rightarrow 7$ . Die Probe stimmt nicht, also ist das Ergebnis falsch (richtig ist $6245$ ).
6.
Wie groß ist die Quersumme von $8457$ ?
Lösung: 24
$8 + 4 + 5 + 7 = 24$ . Weil $24$ ein Vielfaches von $3$ , aber nicht von $9$ ist, ist $8457$ durch $3$ , aber nicht durch $9$ teilbar.
7.
Bilde von $98.765$ immer wieder die Quersumme, bis nur eine Ziffer übrig bleibt. Welche Ziffer erhältst du?
Lösung: 8
$9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35$ und $3 + 5 = 8$ . Also ist $98.765$ weder durch $3$ noch durch $9$ teilbar; bei Division durch $9$ bleibt der Rest $8$ .
8.
Die Zahl $6\square51$ ist durch $9$ teilbar. Welche Ziffer gehört ins Kästchen?
Lösung: 6
$6 + 5 + 1 = 12$ . Das nächste Vielfache von $9$ ist $18$ , also steht im Kästchen $18 - 12 = 6$ . Probe: $6651 = 9 \times 739$ .
9.
Welchen Rest lässt $6014$ bei Division durch $3$ ?
Lösung: 2
$6 + 0 + 1 + 4 = 11$ und $11 = 3 \times 3 + 2$ , also ist der Rest $2$ . Probe: $6014 = 3 \times 2004 + 2$ .
10.
Wie viele verschiedene Ziffern (0 bis 9) passen in das Kästchen, damit $3\square5$ durch $3$ teilbar ist?
Lösung: 3
$3 + 5 = 8$ , und mit einer Ziffer wird die Summe höchstens $17$ . Erreichbare Vielfache von $3$ sind $9$ , $12$ und $15$ , also kann im Kästchen $1$ , $4$ oder $7$ stehen ( $315$ , $345$ , $375$ ): $3$ Ziffern.
11.
Zeige mit der Quersumme, dass $741$ durch $3$ teilbar ist, und berechne dann $741 \div 3$ .
Lösung: 247
1. Wie groß ist die Quersumme von $741$ ? 12
2. Was ist $12 \div 3$ ? 4
3. Berechne jetzt $741 \div 3$ . 247
12.
Zeige mit der Quersumme, dass $2358$ durch $9$ teilbar ist, und berechne dann $2358 \div 9$ .
Lösung: 262
1. Wie groß ist die Quersumme von $2358$ ? 18
2. Was ist $18 \div 9$ ? 2
3. Berechne jetzt $2358 \div 9$ . 262
13.
Bestimme mit der Quersumme den Rest, wenn man $1234$ durch $3$ teilt.
Lösung: 1
1. Wie groß ist die Quersumme von $1234$ ? 10
2. Welcher Rest bleibt bei $10 \div 3$ ? 1
3. Probe: Was ist $1233 \div 3$ ? 411
14.
Bestimme mit wiederholter Quersumme den Rest, wenn man $879.999$ durch $9$ teilt.
Lösung: 6
1. Wie groß ist die Quersumme von $879.999$ ? 51
2. Bilde die Quersumme von $51$ . 6
3. Welcher Rest bleibt bei Division durch $9$ ? 6
4. Ist $879.999$ durch $3$ teilbar? ja
15.
Die Zahl $4\square8$ ist durch $9$ teilbar. Finde die fehlende Ziffer und rechne dann die Division aus.
Lösung: 6
1. Addiere die bekannten Ziffern $4 + 8$ . 12
2. Welches Vielfache von $9$ erreichst du mit einer weiteren Ziffer? 18
3. Welche Ziffer gehört ins Kästchen? 6
4. Berechne jetzt $468 \div 9$ . 52
16.
Zerlege $372$ in $3 \times 99 + 7 \times 9 + (3 + 7 + 2)$ und bestimme damit den Rest, wenn man $372$ durch $9$ teilt.
Lösung: 3
1. Was ist $3 \times 99$ ? 297
2. Was ist $7 \times 9$ ? 63
3. Wie groß ist die Quersumme $3 + 7 + 2$ ? 12
4. $297$ und $63$ sind Vielfache von $9$ . Welchen Rest lässt $372$ bei Division durch $9$ ? 3
17.
Prüfe $4782 + 3569 = 8351$ mit der Neunerprobe.
Lösung: 8
1. Bringe $4782$ auf eine Ziffer. 3
2. Bringe $3569$ auf eine Ziffer. 5
3. Addiere die beiden Ergebnisse. 8
4. Bringe das Ergebnis $8351$ auf eine Ziffer. 8
18.
Betrachte $25\square8$ . Wie viele Ziffern machen die Zahl durch $3$ teilbar? Welche Ziffer macht sie durch $9$ teilbar?
Lösung: 3
1. Addiere die bekannten Ziffern $2 + 5 + 8$ . 15
2. Wie viele Ziffern (0 bis 9) machen die Zahl durch $3$ teilbar? 4
3. Welche Ziffer macht sie durch $9$ teilbar? 3
4. Berechne $2538 \div 9$ . 282