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Leitfaden für Lehrer: Teilbarkeit durch 3 und 9

Lerne die Quersummenregel: Addiere die Ziffern einer Zahl und sieh sofort, ob sie durch 3 oder durch 9 teilbar ist, finde fehlende Ziffern und prüfe Summen.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Teilbarkeit. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Die Quersumme und die wiederholte Quersumme einer natürlichen Zahl bestimmen
  • Mit der Quersumme entscheiden, ob eine Zahl durch 3 und durch 9 teilbar ist
  • Erklären, warum jedes Vielfache von 9 ein Vielfaches von 3 ist, aber nicht umgekehrt
  • Die Regel mit dem Stellenwert erklären: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1
  • Eine fehlende Ziffer so finden, dass eine Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist, und eine Summe mit der Neunerprobe prüfen
Voraussetzungen
  • • Teilbarkeitsregeln: was teilbar durch bedeutet und was ein Rest ist
  • • Teilbarkeit durch 2, 5 und 10: Regeln, die auf die letzte Ziffer schauen
  • • Das Einmaleins mit 3 und 9
  • • Stellenwerte: Einer, Zehner, Hunderter, Tausender
Diskussionsstarter
  • 1. Warum verrät die letzte Ziffer etwas über 2, 5 und 10, aber nichts über 3 und 9?
  • 2. Wenn du die Ziffern einer durch 9 teilbaren Zahl vertauschst, ist die neue Zahl noch durch 9 teilbar? Warum?
  • 3. Findest du eine Zahl, die durch 3, aber nicht durch 9 teilbar ist? Und eine, die durch 9, aber nicht durch 3 teilbar ist?
  • 4. Was ist besonders an 10 = 9 + 1? Würde ein ähnlicher Trick für 11 funktionieren?
  • 5. Die Neunerprobe sagt, ein Ergebnis ist in Ordnung. Kann es trotzdem falsch sein?
Häufige Missverständnisse

Eine Zahl, die auf 3, 6 oder 9 endet, ist durch 3 teilbar

Abhilfe: Zeige Gegenbeispiele nebeneinander: 13, 16, 19 sind nicht durch 3 teilbar, aber 12, 15, 21 schon. Bilde dann von jeder Zahl die Quersumme, um zu zeigen, dass sie entscheidet.

Durch 3 teilbar und durch 9 teilbar bedeuten dasselbe

Abhilfe: Schreibe die Vielfachen von 3 bis 36 auf und kreise die Vielfachen von 9 ein: Jede dritte Zahl ist eingekreist. Quersumme 3 oder 6 heißt nur 3, Quersumme 9 heißt beides.

Die Quersumme ist das Ergebnis der Division

Abhilfe: Betone, dass die Quersumme nur ja oder nein sagt (und den Rest liefert). Bei 4527 ist die Quersumme 18, aber 4527 ÷ 9 ist 503.

Eine bestandene Neunerprobe heißt, das Ergebnis ist sicher richtig

Abhilfe: Gib 2345 + 1678 = 4032 (Ziffern vertauscht). Die Probe stimmt, das Ergebnis aber nicht. Die Probe findet viele Fehler, nicht alle.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Mit zweistelligen Zahlen beginnen und die Dreier- und Neunerreihe auf den Tisch legen
  • • Ziffernkarten oder Plättchen nutzen, um die Ziffern einzeln zu addieren
  • • Jede Antwort mit dem Taschenrechner prüfen, damit die Schüler der Regel vertrauen

Für Schüler auf Niveau:

  • • Vier- bis sechsstellige Zahlen und wiederholte Quersummen verwenden
  • • Ziffernrätsel für 3 und für 9 lösen
  • • Additionen mit der Neunerprobe kontrollieren

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Die Regel für eine dreistellige Zahl abc mit 100a + 10b + c beweisen
  • • Alle dreistelligen Zahlen finden, die mit 1 beginnen und durch 9 teilbar sind, und das Muster erklären
  • • Regeln kombinieren: Welche Ziffern machen 7_2 durch 6 teilbar (durch 2 und durch 3)?
Standardausrichtung
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Alle Teilerpaare einer natürlichen Zahl von 1 bis 100 finden und entscheiden, ob eine Zahl ein Vielfaches einer einstelligen Zahl ist

  • 4.NBT.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.A.1)

    Erkennen, dass eine Ziffer in einer mehrstelligen Zahl das Zehnfache dessen darstellt, was sie an der Stelle rechts daneben darstellt

  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache natürlicher Zahlen bestimmen und das Distributivgesetz nutzen

Lektionsressourcen
  • visualTeilbarkeit üben

    Die Schüler raten ja oder nein für 3 und 9, dann zeigt das Werkzeug die Quersumme und die echte Division

  • visualWarum es klappt

    Eine lange Zahl, zerlegt in Vielfache von 999, 99 und 9 plus ihre Quersumme

  • activityZiffernkarten mischen

    Paare legen drei- und vierstellige Zahlen aus Ziffernkarten, sagen die Teilbarkeit durch 3 und 9 voraus, mischen dann die Karten und sehen, dass die Antwort gleich bleibt

  • gameWettlauf um die fehlende Ziffer

    Teams suchen um die Wette alle Ziffern, die eine Zahl wie 52_4 durch 3 teilbar machen, und dann die eine Ziffer für 9

  • worksheetPrüfe die Summen

    Zehn Additionen, einige mit Fehlern: Die Schüler finden mit der Neunerprobe die falschen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Um zu prüfen, ob eine Zahl durch 3 teilbar oder durch 9 teilbar ist, hilft die letzte Ziffer nicht. Stattdessen addierst du alle ihre Ziffern. Dieses Ergebnis heißt Quersumme.

Die Regel für 3

Eine Zahl ist durch 33 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 33 teilbar ist.
516:5+1+6=12,12÷3=4✓(516÷3=172)516: \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

Die Regel für 9

Eine Zahl ist durch 99 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 99 teilbar ist.
4527:4+5+2+7=18,18÷9=2✓(4527÷9=503)4527: \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Große Zahlen: noch einmal addieren

Wenn die Quersumme noch groß ist, bildest du von ihr wieder die Quersumme, bis nur eine Ziffer übrig bleibt:
987.654→39→12→3987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Die letzte Ziffer verrät alles: 33, 66 oder 99 heißt teilbar durch 33, und nur 99 heißt teilbar durch 99.

9 ist strenger als 3

Jede Zahl, die durch 99 teilbar ist, ist auch durch 33 teilbar (denn 9=3×39 = 3 \times 3). Umgekehrt stimmt das nicht: 516516 ist durch 33 teilbar, aber seine Quersumme 1212 ist nicht durch 99 teilbar, also ist 516516 nicht durch 99 teilbar.

Lösungsbeispiele

Ist 516516 durch 33 teilbar? Ist die Zahl durch 99 teilbar?
1

Addiere alle Ziffern

5+1+6=125 + 1 + 6 = 12 → Quersumme: 1212
2

Prüfe die Quersumme auf 3

12÷3=412 \div 3 = 4, kein Rest → 516516 ist durch 33 teilbar: 516÷3=172516 \div 3 = 172
3

Prüfe die Quersumme auf 9

12÷9=112 \div 9 = 1 Rest 33 → 516516 ist nicht durch 99 teilbar

Häufige Fehler

Auf die letzte Ziffer schauen, wie bei 2, 5 und 10

Warum es falsch ist: Die letzte Ziffer sagt nichts über 3 oder 9. 2323 endet auf 33, ist aber nicht durch 33 teilbar, während 2727 auf 77 endet und durch 33 und 99 teilbar ist.

Richtig: Addiere immer alle Ziffern: 2+7=92 + 7 = 9, also ist 2727 durch 33 und durch 99 teilbar.

Glauben, jede durch 3 teilbare Zahl sei auch durch 9 teilbar

Warum es falsch ist: Die Regel für 99 ist strenger. Eine Quersumme von 1212 oder 1515 ist ein Vielfaches von 33, aber nicht von 99.

Richtig: 516516 (Quersumme 1212) ist durch 33 teilbar, aber nicht durch 99. Andersherum klappt es immer: Jedes Vielfache von 99 ist ein Vielfaches von 33.

Beim Ziffernrätsel nach der ersten passenden Ziffer aufhören

Warum es falsch ist: Für 33 passen meistens drei oder vier Ziffern, weil die Vielfachen von 33 nur 33 auseinanderliegen.

Richtig: Bei 52□452\square4 und 33 prüfst du 1212, 1515 und 1818: Im Kästchen kann 11, 44 oder 77 stehen.

Glauben, eine bestandene Neunerprobe beweise, dass das Ergebnis stimmt

Warum es falsch ist: Die Neunerprobe findet nur manche Fehler. Vertauschte Ziffern ändern die Quersumme nicht, also besteht 40324032 dieselbe Probe wie 40234023.

Richtig: Stimmt die Probe nicht, ist das Ergebnis sicher falsch. Stimmt sie, ist das Ergebnis wahrscheinlich richtig, aber nicht sicher.

Warum es wichtig ist

Die Quersummenregel ist eine der nützlichsten Abkürzungen beim Rechnen:
  • Gerecht teilen: Kann man 378 Sticker auf 9 Freunde verteilen? 3+7+8=183 + 7 + 8 = 18, also ja, ohne vorher zu dividieren.
  • Brüche kürzen: Bei 5187\frac{51}{87} sind beide Quersummen (66 und 1515) durch 33 teilbar, also kannst du mit 33 kürzen: 1729\frac{17}{29}.
  • Ergebnisse prüfen: Die Quersumme behält den Rest bei der Division durch 99, deshalb kannst du eine lange Addition in wenigen Sekunden kontrollieren (das heißt Neunerprobe).
  • Zahlenrätsel: Rätsel mit fehlenden Ziffern und Codes verstecken oft eine Zahl, die durch 33 oder 99 teilbar ist.
Nach den Regeln für 2, 5 und 10 (die nur auf die letzte Ziffer schauen) ist das die erste Regel, die jede Ziffer braucht, und sie bereitet dich auf die Regeln für 6 und 12 vor.

Anwendungen im echten Leben

Gleich große Mannschaften

Trainer und Lehrkräfte müssen oft eine Gruppe in gleich große Mannschaften aufteilen. Die Quersumme zeigt sofort, ob es aufgeht.

Beispiel:

Können 135135 Läufer in 99 gleich großen Gruppen starten? 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9, also ja: 135÷9=15135 \div 9 = 15 Läufer pro Gruppe.

1Probiere es selbst

Am Sporttag einer Schule nehmen 378378 Schüler teil. Die Lehrkräfte wollen 99 gleich große Mannschaften bilden.

Wie viele Schüler sind in jeder Mannschaft?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Teile die Schüler auf 9 Mannschaften auf:

Eine Rechnung prüfen

Vor den Taschenrechnern prüften Kaufleute und Buchhalter lange Additionen mit Quersummen. Auch heute findest du so schnell einen Flüchtigkeitsfehler in deiner eigenen Rechnung.

Beispiel:

1236+2458=36941236 + 2458 = 3694: Die Reste sind 33 und 11, zusammen 44, und 36943694 ergibt ebenfalls 3+6+9+4=22→43 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4. Die Probe stimmt.

2Probiere es selbst

Ein Kassierer addiert zwei Lieferscheine: 1236+2458=36941236 + 2458 = 3694. Du willst die Summe mit den Resten bei Division durch 99 prüfen.

Welchen Rest lässt die Summe 36943694 bei Division durch 99?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Bestimme den Rest von 3694 geteilt durch 9:

Einen Code knacken

Rätselhefte und Escape Rooms lieben Codes mit einer fehlenden Ziffer. Ein Hinweis zur Teilbarkeit liefert die Lösung oft in einem Schritt.

Beispiel:

Ein Code 7□27\square2 ist durch 99 teilbar: 7+2=97 + 2 = 9, also muss im Kästchen 00 oder 99 stehen (702702 oder 792792).

3Probiere es selbst

Der Code eines Fahrradschlosses lautet 4□714\square71. Auf einem Zettel steht: Der Code ist durch 99 teilbar.

Welche Ziffer fehlt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde die Ziffer, die die Quersumme zum nächsten Vielfachen von 9 ergänzt:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl: Für 45274527 ist sie 4+5+2+7=184 + 5 + 2 + 7 = 18
  • 2Eine Zahl ist durch 33 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 33 teilbar ist, und durch 99, wenn ihre Quersumme durch 99 teilbar ist
  • 3Bei großen Zahlen bildest du immer wieder die Quersumme, bis eine Ziffer übrig bleibt: 33, 66, 99 heißt teilbar durch 33, nur 99 heißt teilbar durch 99
  • 4Jedes Vielfache von 99 ist ein Vielfaches von 33, aber nicht jedes Vielfache von 33 ist ein Vielfaches von 99
  • 5Es funktioniert, weil 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1, 1000=999+11000 = 999 + 1: Die Neunen fallen weg und nur die Quersumme bleibt
  • 6Eine Zahl und ihre Quersumme lassen bei Division durch 33 oder 99 denselben Rest, damit findest du fehlende Ziffern und prüfst Summen (Neunerprobe)

Häufig gestellte Fragen

Spielt die Reihenfolge der Ziffern eine Rolle?

Nein. 45274527, 72547254 und 27452745 haben alle die Quersumme 1818, also sind alle drei durch 99 teilbar. Ziffern zu vertauschen ändert die Quersumme nie.

Was ist mit der Ziffer 0?

Eine 00 ändert die Quersumme nicht, du kannst sie also überspringen. 30513051 und 351351 haben dieselbe Quersumme 99 und sind beide durch 99 teilbar.

Warum klappt der Trick nicht bei 7?

Er klappt bei 33 und 99, weil 1010 genau 11 mehr als ein Vielfaches von 99 ist. Bei 77 stimmt das nicht (10=7+310 = 7 + 3), also fallen die Stellenwerte nicht weg. Für die 77 braucht man einen anderen Test.

Wie bekomme ich den Rest aus der Quersumme?

Bilde so lange die Quersumme, bis eine Ziffer bleibt. Für 99 ist diese Ziffer der Rest, nur 99 bedeutet Rest 00. Zum Beispiel 7654→22→47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, und tatsächlich ist 7654=9×850+47654 = 9 \times 850 + 4.

Glossar

Quersumme
Die Summe aller Ziffern einer Zahl, z. B. 372→3+7+2=12372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12
Wiederholte Quersumme
So lange die Quersumme bilden, bis nur eine Ziffer übrig bleibt, z. B. 987.654→39→12→3987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Teilbar durch
Eine Zahl ist durch 33 teilbar, wenn bei der Division durch 33 kein Rest bleibt, z. B. 372÷3=124372 \div 3 = 124
Teilbarkeitsregel
Eine Abkürzung, die zeigt, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist, ohne die Division auszuführen
Rest
Was beim Dividieren übrig bleibt, z. B. 23÷9=223 \div 9 = 2 Rest 55
Neunerprobe
Eine Rechnung prüfen, indem man jede Zahl durch ihren Rest bei Division durch 99 (ihre wiederholte Quersumme) ersetzt

Formelkarte

Regel für 3

3∣n  ⟺  3∣Quersumme von n3 \mid n \iff 3 \mid \text{Quersumme von } n

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist

Regel für 9

9∣n  ⟺  9∣Quersumme von n9 \mid n \iff 9 \mid \text{Quersumme von } n

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist

Warum es klappt

4527=4×999+5×99+2×9+(4+5+2+7)4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

Die Teile mit 999, 99 und 9 sind immer Vielfache von 9, also entscheidet nur die Quersumme

Gleicher Rest

7654→22→4,7654=9×850+47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Eine Zahl lässt bei Division durch 9 (oder 3) denselben Rest wie ihre Quersumme

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Teilbarkeitsregeln

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Teilbarkeit durch 2, 5 und 10

Grundlegend15 Min

Teilbarkeit durch 4, 6 und 8

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Kombinierte Teilbarkeitsregeln

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