Zurück zur Lektion

Leitfaden für Lehrer: Teiler und Vielfache

Lerne, was Teiler und Vielfache sind, wie man sie findet und warum sie in der Mathematik wichtig sind.

Lektion präsentierenIn Classroom teilenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Faktoren & Vielfache. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Teiler als Zahlen definieren, die eine andere Zahl ohne Rest teilen
  • Vielfache als Produkte einer Zahl mit natürlichen Zahlen definieren
  • Alle Teiler einer gegebenen Zahl finden
  • Vielfache einer gegebenen Zahl auflisten
  • Zwischen Teilern und Vielfachen unterscheiden
  • Teiler und Vielfache auf Alltagssituationen anwenden
Voraussetzungen
  • • Einmaleins bis 12
  • • Grundlegende Division mit natürlichen Zahlen
  • • Verständnis von Resten
Diskussionsstarter
  • 1. Warum hat jede Zahl größer als 1 mindestens zwei Teiler (1 und sich selbst)? Und was ist mit der Zahl 1?
  • 2. Kann eine kleine Zahl ein Vielfaches einer größeren Zahl sein? Warum oder warum nicht?
  • 3. Wie hängen Teiler und Vielfache mit Multiplikation und Division zusammen?
  • 4. Wann könntest du im echten Leben Teiler oder Vielfache finden müssen?
Häufige Missverständnisse

Teiler sind immer kleiner als die Zahl

Abhilfe: Die Zahl selbst ist immer ein Teiler! 12 ist ein Teiler von 12, weil 12÷12=112 \div 12 = 1.

Vielfache müssen größer als die Zahl sein

Abhilfe: Das erste Vielfache einer Zahl ist die Zahl selbst: das erste Vielfache von 5 ist 5.

Teilerpaare bestehen immer aus verschiedenen Zahlen

Abhilfe: Quadratzahlen haben einen wiederholten Teiler: die Teilerpaare von 36 beinhalten (6,6)(6, 6).

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Verwende Einmaleins-Tabellen, um Teiler zu finden
  • • Beginne mit kleinen Zahlen (unter 20)
  • • Verwende Anschauungsmaterial, um Gruppierung zu zeigen
  • • Erstelle ein Teiler-vs-Vielfache-Übersichtsposter

Für Schüler auf Niveau:

  • • Finde alle Teiler von zweistelligen Zahlen
  • • Identifiziere gemeinsame Teiler von zwei Zahlen
  • • Löse Textaufgaben mit gleichen Gruppen

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Erkunde die Verbindung zur Primfaktorzerlegung
  • • Untersuche vollkommene Zahlen (die Teiler ohne die Zahl selbst ergeben zusammen die Zahl: 6=1+2+36 = 1 + 2 + 3)
  • • Finde ggT und kgV mit Hilfe von Teilern und Vielfachen
Standardausrichtung
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Finde alle Teilerpaare für eine ganze Zahl im Bereich 1-100. Erkenne, dass eine ganze Zahl ein Vielfaches jedes ihrer Teiler ist.

  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Finde den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen bis 100 und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen bis 12.

Lektionsressourcen
  • visualFaktorbaum-Baukasten

    Schüler bauen Faktorbäume, um eine Zahl in Faktoren zu zerlegen

  • activitySortierspiel: Teiler oder Vielfaches?

    Sortiere Zahlen in Teiler- oder Vielfache-Kategorien

  • worksheetTeiler im Alltag

    Löse Aufgaben zum Teilen, Anordnen und Planen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Teiler sind Zahlen, die eine andere Zahl ohne Rest teilen.
Vielfache sind die Ergebnisse, wenn man eine Zahl mit den natürlichen Zahlen 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots multipliziert.
Beispiel mit der Zahl 12:
Teiler von 12: 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12
  • 12÷1=1212 \div 1 = 12 (kein Rest)
  • 12÷2=612 \div 2 = 6 (kein Rest)
  • 12÷3=412 \div 3 = 4 (kein Rest)
  • 12÷4=312 \div 4 = 3 (kein Rest)
  • 12÷6=212 \div 6 = 2 (kein Rest)
  • 12÷12=112 \div 12 = 1 (kein Rest)
Vielfache von 12: 12,24,36,48,60,…12, 24, 36, 48, 60, \ldots
  • 12×1=1212 \times 1 = 12
  • 12×2=2412 \times 2 = 24
  • 12×3=3612 \times 3 = 36
  • 12×4=4812 \times 4 = 48
  • 12×5=6012 \times 5 = 60

Lösungsbeispiele

Finde alle Teiler von 18.
1

Beginne mit 1

18÷1=1818 \div 1 = 18, also sind 1 und 18 Teiler → Teiler: 1,181, 18
2

Versuche 2

18÷2=918 \div 2 = 9, also sind 2 und 9 Teiler → Teiler: 1,2,9,181, 2, 9, 18
3

Versuche 3

18÷3=618 \div 3 = 6, also sind 3 und 6 Teiler → Teiler: 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18
4

Probiere 4

18÷4=4,518 \div 4 = 4{,}5 (keine ganze Zahl) → 4 ist KEIN Teiler
5

Höre bei der Quadratwurzel auf

18≈4,24\sqrt{18} \approx 4{,}24, und die nächste Zahl, 5, ist schon größer, also haben wir alle Teiler gefunden → Alle Teiler: 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18

Häufige Fehler

Teiler und Vielfache verwechseln

Warum es falsch ist: Die Wörter klingen ähnlich, bedeuten aber das Gegenteil. Ein Teiler geht ohne Rest IN einer Zahl auf; Vielfache entstehen DURCH Multiplizieren.

Richtig: Merke: Teiler sind begrenzt, Vielfache sind unbegrenzt. 12 hat 6 Teiler, aber unendlich viele Vielfache.

Vergessen, dass 1 immer ein Teiler ist

Warum es falsch ist: Jede Zahl geteilt durch 1 ergibt sich selbst, also ist 1 immer ein Teiler.

Richtig: Beginne deine Teilerliste immer mit 1, und vergiss nicht, dass die Zahl selbst auch ein Teiler ist.

Die Liste der Vielfachen mit 0 beginnen

Warum es falsch ist: n×0=0n \times 0 = 0, also ist 0 ein Vielfaches jeder Zahl. Wenn wir Vielfache auflisten, beginnen wir aber mit n×1n \times 1.

Richtig: Beginne die Liste mit der Zahl selbst: Die Vielfachen von 5 sind 5,10,15,…5, 10, 15, \ldots

Teilerpaare vergessen

Warum es falsch ist: Beim Finden von Teilern vergessen Schüler manchmal, dass Teiler paarweise auftreten.

Richtig: Wenn du einen Teiler findest, finde sein Paar: wenn 18÷2=918 \div 2 = 9, dann sind sowohl 2 ALS AUCH 9 Teiler.

Warum es wichtig ist

Teiler und Vielfache helfen dir auf viele Arten:
  • Brüche kürzen: Finde gemeinsame Teiler, um 812\frac{8}{12} zu 23\frac{2}{3} zu kürzen
  • Brüche addieren: Finde gemeinsame Vielfache für den gleichen Nenner
  • Gerecht teilen: Verteile 24 Kekse an 6 Freunde (24 ist durch 6 teilbar)
  • Muster: Verstehe, warum jede gerade Zahl den Teiler 2 hat
  • Problemlösung: Plane Zeitpläne, Anordnungen und Gruppierungen
Diese Fähigkeiten sind wichtig für Algebra, Brüche und Mathe im Alltag!

Anwendungen im echten Leben

Partyplanung

Bei der Organisation von Veranstaltungen muss man Dinge gleichmäßig unter den Gästen aufteilen.

Beispiel:

Du hast 30 Cupcakes. Welche Gruppengrößen können sie gleichmäßig teilen? Die Teiler von 30: 1,2,3,5,6,10,15,301, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Du kannst also Gruppen von 2, 3, 5, 6, 10, 15 oder 30 Personen haben.

1Probiere es selbst

Du planst eine Party mit 24 Gastgeschenken, die gleichmäßig verteilt werden sollen.

Wie viele Gäste kannst du einladen, damit jeder die gleiche Anzahl Geschenke bekommt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde die Teiler von 24:

Zeitplanung und Muster

Vielfache helfen uns herauszufinden, wann Ereignisse zusammenfallen.

Beispiel:

Bus A kommt alle 15 Minuten. Bus B kommt alle 20 Minuten. Wann kommen sie zusammen an? Finde gemeinsame Vielfache von 15 und 20: 60,120,180,…60, 120, 180, \ldots Sie kommen alle 60 Minuten zusammen an.

2Probiere es selbst

Du übst jeden 3. Tag Klavier und jeden 4. Tag Fußball.

Wenn du heute beides hast, in wie vielen Tagen hast du wieder beides?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde das erste gemeinsame Vielfache von 3 und 4:

Objekte anordnen

Teiler helfen zu bestimmen, wie man Gegenstände in Reihen und Spalten anordnen kann.

Beispiel:

Du hast 48 Stühle anzuordnen. Mögliche Anordnungen: 1 Reihe mit 48, 2 Reihen mit 24, 3 Reihen mit 16, 4 Reihen mit 12, 6 Reihen mit 8, 8 Reihen mit 6, usw.

3Probiere es selbst

Ein Klassenzimmer hat 28 Tische, die in gleichen Reihen angeordnet werden sollen.

Welche Anordnungen sind möglich?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde die Teilerpaare von 28, geschrieben wie (1, 28):

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Teiler teilen eine Zahl ohne Rest
  • 2Vielfache entstehen durch Multiplikation einer Zahl mit 1, 2, 3, ...
  • 3Jede Zahl hat 1 und sich selbst als Teiler
  • 4Teiler kommen in Paaren vor, die miteinander multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben
  • 5Vielfache sind unendlich, aber Teiler sind endlich
  • 6Teiler helfen beim Dividieren und Kürzen; Vielfache helfen bei Mustern und Zeitplanung

Häufig gestellte Fragen

Ist eine Zahl sowohl Teiler als auch Vielfaches von sich selbst?

Ja! Jede Zahl ist sowohl ein Teiler von sich selbst (12÷12=112 \div 12 = 1) als auch ein Vielfaches von sich selbst (12×1=1212 \times 1 = 12).

Wie weiß ich, wann ich alle Teiler gefunden habe?

Höre auf zu prüfen, sobald die Zahl, die du testest, größer als die Quadratwurzel ist. Bei 36 ist 36=6\sqrt{36} = 6, also hast du nach der Prüfung bis 6 alle Teilerpaare gefunden.

Was ist der Unterschied zwischen Teiler und Faktor?

Gemeint ist dasselbe! Wenn 3 ein Teiler von 12 ist, kannst du 12=3×412 = 3 \times 4 schreiben: 3 ist dann ein Faktor dieses Produkts. In der Schule sagt man meistens "Teiler".

Glossar

Teiler
Eine Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt
Vielfaches
Das Produkt einer Zahl mit einer natürlichen Zahl
Teilerpaar
Zwei Zahlen, die miteinander multipliziert ein bestimmtes Produkt ergeben
Teilbar
Eine Zahl ist durch eine andere teilbar, wenn die Division keinen Rest ergibt
Primzahl
Eine Zahl mit genau zwei Teilern: 1 und sich selbst

Mehr zu diesem Thema

Primfaktorzerlegung

Mittelstufe25 Min

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Grundlegend20 Min

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Mittelstufe25 Min

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Mittelstufe25 Min