Zurück zur Lektion

Leitfaden für Lehrer: Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Lerne, wie du den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Zahlen mit verschiedenen Methoden findest.

Lektion präsentierenIn Classroom teilenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Faktoren & Vielfache. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Den ggT definieren und seine Bedeutung erklären
  • Den ggT durch Auflisten der Teiler finden
  • Den ggT mit Primfaktorzerlegung finden
  • Den ggT anwenden, um Brüche zu kürzen
  • Alltagsprobleme mit dem ggT lösen
Voraussetzungen
  • • Verständnis von Teilern und Teilbarkeit
  • • Kenntnis von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen
  • • Fähigkeit, die Primfaktorzerlegung von Zahlen zu finden
Diskussionsstarter
  • 1. Warum ist der ggT immer kleiner oder gleich der kleineren Zahl?
  • 2. Wann würdest du lieber Teiler auflisten als Primfaktorzerlegung verwenden?
  • 3. Wenn zwei Zahlen beide Primzahlen sind, was ist ihr ggT? Warum?
  • 4. Wie hilft dir das Finden des ggT beim Kürzen von Brüchen?
Häufige Missverständnisse

Denken, dass der ggT immer eine kleine Zahl wie 1 oder 2 ist

Abhilfe: Zeige Beispiele mit großem ggT: ggT(24, 36) = 12, ggT(50, 100) = 50

Verwechslung von ggT und kgV

Abhilfe: Verwende Gedächtnisstütze: ggT = Teilt (kleinere Antwort), kgV = Vielfaches (größere Antwort). ggT(6,8)=2, kgV(6,8)=24

Alle Primfaktoren multiplizieren statt nur die gemeinsamen

Abhilfe: Betone: GEMEINSAM bedeutet in BEIDEN. Markiere geteilte Primzahlen vor dem Multiplizieren.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Beginne mit kleinen Zahlen, bei denen das Auflisten überschaubar ist (unter 20)
  • • Stelle Teilerlisten oder Einmaleins-Tabellen als Hilfe bereit
  • • Verwende Anschauungsmaterial wie Plättchen zur Visualisierung von Gruppen

Für Schüler auf Niveau:

  • • Übe beide Methoden: Auflisten und Primfaktorzerlegung
  • • Wende den ggT zum Kürzen von Brüchen an
  • • Finde den ggT von zweistelligen Zahlen

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Finde den ggT von drei oder mehr Zahlen
  • • Erkunde den Zusammenhang ggT(a,b)×kgV(a,b)=a×b\text{ggT}(a, b) \times \text{kgV}(a, b) = a \times b
  • • Wende den ggT auf algebraische Ausdrücke an
Standardausrichtung
  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen bis 100 bestimmen

  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Alle Teilerpaare einer natürlichen Zahl von 1 bis 100 finden

Lektionsressourcen
  • visualVenn-Diagramm Teiler-Finder

    Interaktives Tool, das gemeinsame Teiler in überlappenden Kreisen zeigt

  • activityFaktorbaum-Wettlauf

    Schüler wetteifern um die schnellste Primfaktorzerlegung

  • worksheetggT Übungsaufgaben

    Gemischte Aufgaben mit beiden Methoden

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) von zwei oder mehr Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen ohne Rest teilt.
Zum Beispiel für die Zahlen 1212 und 1818:
  • Teiler von 1212: 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12
  • Teiler von 1818: 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18
  • Gemeinsame Teiler: 1,2,3,61, 2, 3, 6
  • ggT = 6 (der größte gemeinsame Teiler)
Auf Englisch heißt der ggT GCF (greatest common factor) oder GCD (greatest common divisor).

Lösungsbeispiele

Finde den ggT von 2424 und 3636.
1

Schreibe alle Teiler von 24 auf

24=1×24=2×12=3×8=4×624 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6 → Teiler: 1,2,3,4,6,8,12,241, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2

Schreibe alle Teiler von 36 auf

36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×636 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 → Teiler: 1,2,3,4,6,9,12,18,361, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3

Markiere die gemeinsamen Teiler

Beide Listen enthalten: 1,2,3,4,6,121, 2, 3, 4, 6, 12 → Gemeinsame Teiler gefunden
4

Finde den größten

Die größte Zahl in beiden Listen ist 1212 → ggT(24,36)=12\text{ggT}(24, 36) = 12

Häufige Fehler

Verwechslung von ggT und kgV

Warum es falsch ist: Beim ggT geht es ums Teilen (welche Zahl teilt BEIDE Zahlen?), beim kgV ums Vervielfachen (welche Zahl ist durch BEIDE Zahlen teilbar?).

Richtig: ggT von 12 und 18 ist 6 (teilt beide). kgV von 12 und 18 ist 36 (beide teilen es).

Vergessen, die NIEDRIGSTE Potenz zu nehmen bei Primfaktorzerlegung

Warum es falsch ist: Schüler multiplizieren manchmal alle Primfaktoren statt nur die gemeinsamen mit den niedrigsten Potenzen.

Richtig: Für 24×32^4 \times 3 und 22×3×52^2 \times 3 \times 5, nimm 222^2 (nicht 242^4) und 313^1. ggT = 22×3=122^2 \times 3 = 12.

Aufhören, bevor man den GRÖSSTEN gemeinsamen Teiler gefunden hat

Warum es falsch ist: Einen beliebigen gemeinsamen Teiler zu finden bedeutet nicht, dass er der größte ist.

Richtig: Für 24 und 36 sind die gemeinsamen Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der ggT ist 12, nicht irgendein anderer wie 2 oder 6.

Warum es wichtig ist

Den ggT brauchst du in vielen Alltagssituationen:
  • Brüche kürzen: Um 1218\frac{12}{18} vollständig zu kürzen, teilst du durch ggT(12, 18) = 6 und erhältst 23\frac{2}{3}
  • Gleiche Gruppen bilden: Mit 24 roten und 36 blauen Fliesen kannst du höchstens ggT(24, 36) = 12 gleiche Gruppen bilden, ohne dass Fliesen übrig bleiben (jede Gruppe bekommt 2 rote und 3 blaue)
  • Ohne Verschnitt zuschneiden: Bretter von 48 cm und 60 cm lassen sich ohne Verschnitt in gleich lange Stücke von höchstens ggT(48, 60) = 12 cm schneiden
  • Fliesen legen: Einen Boden von 120 cm mal 90 cm kannst du genau mit quadratischen Fliesen der Seitenlänge ggT(120, 90) = 30 cm auslegen, den größtmöglichen
Der ggT ist die Grundlage für das Rechnen mit Brüchen und algebraischen Ausdrücken!

Anwendungen im echten Leben

Brüche kürzen

Um Brüche vollständig zu kürzen, muss man den ggT von Zähler und Nenner finden.

Beispiel:

Um 4256\frac{42}{56} zu kürzen: ggT(42, 56) = 14, also 4256=42÷1456÷14=34\frac{42}{56} = \frac{42 \div 14}{56 \div 14} = \frac{3}{4}

1Probiere es selbst

Du musst den Bruch 3045\frac{30}{45} kürzen.

Wie lautet die gekürzte Form?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Teile 30 und 45 durch ggT(30, 45). Welchen Bruch erhältst du?

Materialien ohne Verschnitt schneiden

Beim Schneiden von Brettern oder Stoff hilft der ggT, die größtmöglichen gleichen Stücke zu finden.

Beispiel:

Du hast ein 72 cm langes und ein 90 cm langes Brett. Um beide ohne Verschnitt in gleich lange Stücke zu schneiden, nimmst du Stücke von ggT(72, 90) = 18 cm.

2Probiere es selbst

Du hast Bänder von 40 cm und 56 cm Länge. Du willst sie in gleiche Stücke ohne Rest schneiden.

Was ist das längste Stück, das du schneiden kannst?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde ggT(40, 56):

Gegenstände in Gruppen ordnen

Der ggT hilft beim Verteilen verschiedener Dinge in gleiche Gruppen.

Beispiel:

Mit 28 Äpfeln und 42 Orangen kannst du ggT(28, 42) = 14 identische Geschenkkörbe machen, jeder mit 2 Äpfeln und 3 Orangen.

3Probiere es selbst

Ein Lehrer hat 36 Bleistifte und 48 Radiergummis für Materialsets.

Wie viele identische Sets sind maximal möglich?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde ggT(36, 48):

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Der ggT ist die größte Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt
  • 2Methode 1: Schreibe alle Teiler jeder Zahl auf und suche den größten gemeinsamen Teiler
  • 3Methode 2: Verwende Primfaktorzerlegung und multipliziere die gemeinsamen Primzahlen mit ihren niedrigsten Potenzen
  • 4Der ggT wird verwendet, um Brüche zu kürzen, indem man Zähler und Nenner dadurch teilt
  • 5Wenn ggT = 1, nennt man die Zahlen teilerfremd (keine gemeinsamen Teiler außer 1)

Häufig gestellte Fragen

Was, wenn der ggT zweier Zahlen 1 ist?

Wenn ggT = 1, nennt man die Zahlen teilerfremd. Sie haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler. Beispiele: ggT(8, 15) = 1, ggT(7, 12) = 1.

Kann der ggT größer als eine der Zahlen sein?

Nein, der ggT ist immer kleiner oder gleich der kleineren Zahl. Der ggT muss beide Zahlen teilen, also kann er keine von beiden überschreiten.

Wie unterscheidet sich der ggT vom kgV?

Der ggT ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt. Das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) ist die kleinste Zahl, die durch beide Zahlen teilbar ist. Für 12 und 18: ggT = 6, kgV = 36.

Glossar

Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Die größte positive ganze Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt
Teiler
Eine Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt
Primfaktorzerlegung
Das Schreiben einer Zahl als Produkt von Primzahlen
Teilerfremd
Zwei Zahlen, deren ggT 1 ist: Ihr einziger gemeinsamer Teiler ist 1
Gemeinsamer Teiler
Eine Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt

Mehr zu diesem Thema

Teiler und Vielfache

Grundlegend20 Min

Primfaktorzerlegung

Mittelstufe25 Min

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Grundlegend20 Min

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Mittelstufe25 Min