Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist der ggT von $6$ und $9$ ?
1. a)9
2. b)6
3. c)18
4. d)3
Lösung: 3
Teiler von 6: 1, 2, 3, 6. Teiler von 9: 1, 3, 9. Gemeinsame Teiler: 1, 3. Der größte ist $3$ .
2.
Was ist der ggT von $8$ und $12$ ?
Lösung: 4
Teiler von 8: 1, 2, 4, 8. Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Gemeinsame Teiler: 1, 2, 4. ggT = $4$ .
3.
Finde den ggT von $15$ und $20$ durch Auflisten der Teiler.
Lösung: 5
1. Schreibe alle Teiler von 15 auf: 1, 3, 5, 15
2. Schreibe alle Teiler von 20 auf: 1, 2, 4, 5, 10, 20
3. Welche Teiler erscheinen in BEIDEN Listen? 1, 5
4. Was ist der größte gemeinsame Teiler? 5
4.
Welches Zahlenpaar ist teilerfremd (ggT = 1)?
1. a)6 und 9
2. b)8 und 15
3. c)10 und 25
4. d)12 und 18
Lösung: 8 und 15
ggT(8, 15) = 1 (kein gemeinsamer Teiler außer 1). ggT(6, 9) = 3. ggT(10, 25) = 5. ggT(12, 18) = 6. Nur 8 und 15 sind teilerfremd.
5.
Was ist der ggT von $24$ und $36$ ?
Lösung: 12
Teiler von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Teiler von 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Gemeinsam: 1, 2, 3, 4, 6, 12. ggT = $12$ .
6.
Finde den ggT von $48$ und $60$ mit Primfaktorzerlegung.
Lösung: 12
1. Schreibe die Zerlegung in Potenzschreibweise: $48 = 2^{\square} \times 3$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 4
2. Schreibe die Zerlegung in Potenzschreibweise: $60 = 2^{\square} \times 3 \times 5$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 2
3. Welche Primfaktoren sind beiden gemeinsam? 2 und 3
4. Nimm die niedrigste Potenz jedes gemeinsamen Primfaktors und multipliziere: 12
7.
Kürze $\frac{18}{24}$ mit dem ggT.
1. a) $\frac{9}{12}$
2. b) $\frac{6}{8}$
3. c) $\frac{3}{4}$
4. d) $\frac{2}{3}$
Lösung: $\frac{3}{4}$
ggT(18, 24) = 6. $\frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ . Die anderen Optionen sind nicht vollständig gekürzt.
8.
Eine Floristin hat 36 Rosen und 48 Tulpen. Sie möchte identische Sträuße machen, ohne Blumen übrig zu haben. Wie viele Sträuße kann sie maximal machen?
Lösung: 12
1. Brauchst du hier den ggT oder das kgV? ggT
2. Schreibe die Teiler von 36 auf: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3. Schreibe die Teiler von 48 auf: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
4. Wie groß ist ggT(36, 48), also die größte Anzahl an Sträußen? 12
9.
Was ist der ggT von $42$ und $56$ ?
Lösung: 14
$42 = 2 \times 3 \times 7$ , $56 = 2^3 \times 7$ . Gemeinsam: $2^1$ und $7^1$ . ggT = $2 \times 7 = 14$ .
10.
Was ist ggT(50, 100)?
1. a)50
2. b)10
3. c)25
4. d)100
Lösung: 50
Da 50 die Zahl 100 ohne Rest teilt ( $100 = 2 \times 50$ ), ist der ggT 50 selbst. Der ggT kann gleich der kleineren Zahl sein!
11.
Finde den ggT von $18$ , $24$ und $30$ .
Lösung: 6
1. Schreibe die Zerlegung in Potenzschreibweise: $18 = 2 \times 3^{\square}$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 2
2. Schreibe die Zerlegung in Potenzschreibweise: $24 = 2^{\square} \times 3$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 3
3. Zerlege 30 in Primfaktoren: $30 = 2 \times 3 \times \square$ . Welche Primzahl gehört in das Kästchen? 5
4. Welche Primfaktoren kommen in ALLEN drei Zerlegungen vor? 2 und 3
5. ggT = ? 6
12.
Was ist ggT(72, 96)?
Lösung: 24
$72 = 2^3 \times 3^2$ , $96 = 2^5 \times 3$ . Gemeinsam: $2^3$ und $3^1$ . ggT = $8 \times 3 = 24$ .
13.
Kürze $\frac{84}{126}$ vollständig mit dem ggT.
Lösung: 2/3
1. Schreibe die Zerlegung in Potenzschreibweise: $84 = 2^{\square} \times 3 \times 7$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 2
2. Schreibe die Zerlegung in Potenzschreibweise: $126 = 2 \times 3^{\square} \times 7$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 2
3. ggT(84, 126) = ? 42
4. $\frac{84}{126} = \frac{\square}{3}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen? 2
14.
Ein Schreiner hat Bretter von 84 cm und 126 cm. Er will beide ohne Verschnitt in gleich lange Stücke sägen. Wie lang kann ein Stück höchstens sein?
1. a)21 cm
2. b)7 cm
3. c)42 cm
4. d)14 cm
Lösung: 42 cm
ggT(84, 126) = 42. Er kann aus dem 84-cm-Brett 2 Stücke und aus dem 126-cm-Brett 3 Stücke sägen, alle 42 cm lang.
15.
Finde den ggT von $10$ und $15$ .
Lösung: 5
1. Schreibe die Teiler von 10 auf: 1, 2, 5, 10
2. Schreibe die Teiler von 15 auf: 1, 3, 5, 15
3. Gemeinsame Teiler: 1, 5
4. Größter gemeinsamer Teiler: 5
16.
Was ist ggT(45, 75)?
Lösung: 15
$45 = 3^2 \times 5$ , $75 = 3 \times 5^2$ . Gemeinsam: $3^1$ und $5^1$ . ggT = $3 \times 5 = 15$ .