Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist das kgV von $2$ und $3$ ?
1. a)5
2. b)1
3. c)3
4. d)6
Lösung: 6
Vielfache von $2$ : $2, 4, 6, ...$ . Vielfache von $3$ : $3, 6, ...$ . Das erste gemeinsame Vielfache ist $6$ , also $\text{kgV}(2, 3) = 6$ .
2.
Finde das kgV von $4$ und $5$ .
Lösung: 20
Da $4$ und $5$ außer $1$ keinen gemeinsamen Teiler haben (sie sind teilerfremd), ist $\text{kgV}(4, 5) = 4 \times 5 = 20$ .
3.
Finde das kgV von $3$ und $6$ durch Auflisten der Vielfachen.
Lösung: 6
1. Liste die ersten 4 Vielfachen von 3 auf 3, 6, 9, 12
2. Liste die ersten 3 Vielfachen von 6 auf 6, 12, 18
3. Was ist die kleinste Zahl in beiden Listen? 6
4.
Welche Aussage über kgV ist RICHTIG?
1. a)kgV ist immer kleiner als beide Zahlen
2. b)kgV ist immer das Produkt zweier Zahlen
3. c)kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache
4. d)kgV ist dasselbe wie ggT
Lösung: kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache
kgV bedeutet kleinstes gemeinsames Vielfaches: die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller gegebenen Zahlen ist. Es ist NICHT dasselbe wie ggT, NICHT immer das Produkt, und ist immer größer oder gleich der größten Zahl.
5.
Finde das kgV von $6$ und $8$ .
Lösung: 24
Vielfache von $6$ : $6, 12, 18, 24, ...$ . Vielfache von $8$ : $8, 16, 24, ...$ . Das erste gemeinsame Vielfache ist $24$ , also $\text{kgV}(6, 8) = 24$ .
6.
Verwende Primfaktorzerlegung, um das kgV von $8$ und $12$ zu finden.
Lösung: 24
1. $8 = 2^{\square}$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 3
2. $12 = 2^{\square} \times 3$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 2
3. Welche höchste Potenz von 2 wird benötigt? 2^3
4. Welche höchste Potenz von 3 wird benötigt? 3
5. Multipliziere die höchsten Potenzen: $2^3 \times 3 = ?$ 24
7.
Wenn $\text{kgV}(a, b) = b$ , was muss stimmen?
1. a)a und b sind teilerfremd
2. b)a teilt b ohne Rest
3. c)b teilt a ohne Rest
4. d)a ist gleich b
Lösung: a teilt b ohne Rest
Wenn kgV(a, b) = b, dann ist b bereits ein Vielfaches von a. Das bedeutet, a teilt b ohne Rest. Beispiel: kgV(3, 6) = 6, weil 3 die 6 teilt.
8.
Bus A kommt alle $10$ Minuten und Bus B alle $15$ Minuten. Wenn beide jetzt ankommen, in wie vielen Minuten kommen sie wieder zusammen an?
Lösung: 30
1. Was sind die ersten 4 Vielfachen von 10? 10, 20, 30, 40
2. Was sind die ersten 3 Vielfachen von 15? 15, 30, 45
3. Nach wie vielen Minuten kommen beide Busse zum ersten Mal wieder gleichzeitig an? 30
9.
Finde das kgV von $9$ und $12$ .
Lösung: 36
$9 = 3^2$ und $12 = 2^2 \times 3$ . kgV = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ .
10.
Finde das kgV von $4$ , $6$ und $10$ .
Lösung: 60
1. $4 = 2^{\square}$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 2
2. $6 = 2 \times \square$ . Welche Primzahl gehört in das Kästchen? 3
3. $10 = 2 \times \square$ . Welche Primzahl gehört in das Kästchen? 5
4. Welche Primzahlen werden benötigt? Gib sie durch Kommas getrennt ein. 2, 3, 5
5. Multipliziere die höchsten Potenzen: $2^2 \times 3 \times 5 = ?$ 60
11.
Finde das kgV von $15$ und $20$ .
Lösung: 60
$15 = 3 \times 5$ und $20 = 2^2 \times 5$ . kgV = $2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ .
12.
Was ist das kgV von $8$ , $12$ und $15$ ?
1. a)180
2. b)240
3. c)120
4. d)60
Lösung: 120
$8 = 2^3$ , $12 = 2^2 \times 3$ , $15 = 3 \times 5$ . kgV = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$ .
13.
Du möchtest $\frac{1}{6} + \frac{1}{8}$ addieren. Was ist der Hauptnenner (der kleinste gemeinsame Nenner)?
Lösung: 24
1. Was sind die Nenner? 6 und 8
2. $6 = 2 \times \square$ . Welche Primzahl gehört in das Kästchen? 3
3. $8 = 2^{\square}$ . Welcher Exponent gehört in das Kästchen? 3
4. Berechne $\text{kgV}(6, 8) = 2^3 \times 3 = ?$ 24
14.
Wenn $\text{ggT}(a, b) = 4$ und $a \times b = 96$ , was ist $\text{kgV}(a, b)$ ?
Lösung: 24
Mit $\text{kgV}(a,b) \times \text{ggT}(a,b) = a \times b$ : $\text{kgV}(a,b) \times 4 = 96$ , also $\text{kgV}(a,b) = 96 \div 4 = 24$ .
15.
Zwei Lichter blinken. Eines blinkt alle $6$ Sekunden, das andere alle $9$ Sekunden. Wenn sie jetzt zusammen blinken, wann blinken sie wieder zusammen?
1. a)54 Sekunden
2. b)36 Sekunden
3. c)18 Sekunden
4. d)15 Sekunden
Lösung: 18 Sekunden
$\text{kgV}(6, 9) = 18$ . Vielfache von $6$ : $6, 12, 18, ...$ . Vielfache von $9$ : $9, 18, ...$ . Sie blinken in $18$ Sekunden zusammen.