Einführung in Hyperbeln

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Gleichung stellt eine Hyperbel dar?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
ist eine Hyperbel, weil sie eine Subtraktion zwischen den quadrierten Termen hat. Die erste Option ist eine Ellipse (Addition), die dritte ist ein Kreis und die vierte ist eine Parabel.
2.
In welche Richtung öffnet sich die Hyperbel ?
1. a)Nach oben und unten
2. b)Diagonal
3. c)Nach links und rechts
4. d)Sie öffnet sich nicht
Lösung: Nach links und rechts
Da der positive Term ist (steht zuerst und hat kein negatives Vorzeichen), ist dies eine horizontale Hyperbel, die sich nach links und rechts öffnet.
3.
Für die Hyperbel , was ist der Wert von ?
Lösung: 5
In der Standardform steht immer unter dem positiven Term. Hier ist , also .
4.
Für die Hyperbel , was ist der Wert von ?
Lösung: 4
In der Standardform steht unter dem negativen Term. Hier ist , also .
5.
Was ist die richtige Formel, um (Brennpunktabstand) bei einer Hyperbel zu finden?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Für Hyperbeln verwende . Dies unterscheidet sich von Ellipsen, wo gilt. Bei Hyperbeln ist , weil die Brennpunkte weiter vom Mittelpunkt entfernt sind als die Scheitelpunkte.
6.
Für die Hyperbel , berechne den Wert von .
Lösung: 5
, also .
7.
Finde die Scheitelpunkte der Hyperbel .
Lösung: (-6, 0) and (6, 0)
1. Ist dies eine horizontale oder vertikale Hyperbel? horizontal
2. Was ist ? 36
3. Was ist ? 6
4. Bei einer horizontalen Hyperbel sind die Scheitelpunkte bei . Was sind die Scheitelpunkte? (-6, 0) und (6, 0)
8.
Finde die Brennpunkte der Hyperbel .
Lösung: (0, -5) and (0, 5)
1. Ist dies eine horizontale oder vertikale Hyperbel? vertikal
2. Was sind und ? a^2 = 9, b^2 = 16
3. Berechne . 25
4. Was ist ? 5
5. Bei einer vertikalen Hyperbel sind die Brennpunkte bei . Was sind die Brennpunkte? (0, -5) und (0, 5)
9.
Was sind die Asymptoten der Hyperbel ?
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Lösung:
Dies ist eine horizontale Hyperbel mit () und (). Für horizontale Hyperbeln sind die Asymptoten .
10.
Finde die Asymptoten der Hyperbel .
Lösung: y = (5/4)x and y = -(5/4)x
1. Ist dies eine horizontale oder vertikale Hyperbel? vertikal
2. Was ist ? 5
3. Was ist ? 4
4. Für vertikale Hyperbeln sind die Asymptoten . Was ist die Steigung? 5/4
11.
Finde den Mittelpunkt, die Scheitelpunkte, die Brennpunkte und die Asymptoten von .
Lösung: Center (0,0), Vertices (+-7,0), Foci (+-sqrt(73),0), Asymptotes y = +-sqrt(24)/7 x
1. Was ist der Mittelpunkt? (0, 0)
2. Was ist ? 7
3. Was sind die Scheitelpunkte? (-7, 0) und (7, 0)
4. Berechne . 73
5. Was sind die Brennpunkte? (+-sqrt(73), 0)
6. Was ist ? sqrt(24)
7. Was sind die Asymptoten? y = +-sqrt(24)/7 x
12.
Eine Hyperbel hat Scheitelpunkte bei und , und Brennpunkte bei und . Was ist der Wert von ?
Lösung: 8
Scheitelpunkte bei bedeutet . Brennpunkte bei bedeutet . Mit : , also und .
13.
Die definierende Eigenschaft einer Hyperbel ist, dass für jeden Punkt auf der Kurve:
1. a)Die Summe der Abstände zu den Brennpunkten ist konstant
2. b)Die Differenz der Abstände zu den Brennpunkten ist konstant
3. c)Das Produkt der Abstände zu den Brennpunkten ist konstant
4. d)Das Verhältnis der Abstände zu den Brennpunkten ist konstant
Lösung: Die Differenz der Abstände zu den Brennpunkten ist konstant
Eine Hyperbel wird durch die konstante absolute Differenz der Abstände definiert: . Eine Ellipse hat eine konstante Summe. Das ist der Hauptunterschied.
14.
Schreibe die Gleichung einer Hyperbel mit Scheitelpunkten bei und Brennpunkten bei .
Lösung: x^2/25 - y^2/144 = 1
1. Ist dies eine horizontale oder vertikale Hyperbel? horizontal
2. Was ist ? 5
3. Was ist ? 13
4. Verwende um zu finden. 144
5. Schreibe die Gleichung. x^2/25 - y^2/144 = 1
15.
GPS-Systeme bestimmen den Standort mithilfe der Schnittmenge von Hyperbeln. Warum werden Hyperbeln statt Kreise verwendet?
1. a)Kreise sind zu schwer zu berechnen
2. b)GPS misst die Differenz der Ankunftszeiten zwischen Satellitensignalen
3. c)GPS misst exakte Abstände zu Satelliten
4. d)Hyperbeln sind genauer als Kreise
Lösung: GPS misst die Differenz der Ankunftszeiten zwischen Satellitensignalen
GPS-Empfänger messen die Zeitdifferenz zwischen Signalen von zwei Satelliten. Diese Zeitdifferenz entspricht einer Differenz der Abstände, die eine Hyperbel definiert. Der Schnittpunkt mehrerer Hyperbeln bestimmt deinen Standort.