Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen

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Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Du möchtest $\lim_{x \to 3} f(x)$ mit einer Wertetabelle schätzen. Welche $x$ -Werte sind am besten geeignet?
1. a) $3; 3{,}1; 3{,}2; 3{,}3$
2. b) $1; 2; 4; 5$
3. c)nur $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$
4. d) $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
2.
Eine Wertetabelle liefert $f(4{,}9) = 9{,}9$ ; $f(4{,}99) = 9{,}99$ ; $f(4{,}999) = 9{,}999$ ; $f(5{,}001) = 10{,}001$ ; $f(5{,}01) = 10{,}01$ ; $f(5{,}1) = 10{,}1$ . Schätze $\lim_{x \to 5} f(x)$ .
3.
Links von $2$ : $f(1{,}9) = 6{,}8$ ; $f(1{,}99) = 6{,}98$ ; $f(1{,}999) = 6{,}998$ . Rechts von $2$ : $f(2{,}1) = 7{,}2$ ; $f(2{,}01) = 7{,}02$ ; $f(2{,}001) = 7{,}002$ . Wie groß ist $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)existiert nicht
2. b) $7$
3. c) $7{,}002$
4. d) $6{,}998$
4.
Berechne für $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ den Tabelleneintrag $f(2{,}99)$ .
5.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
6.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
7.
Eine Wertetabelle für $g(x)$ nahe $x = 1$ zeigt $g(0{,}9) = -2$ ; $g(0{,}99) = -2$ ; $g(0{,}999) = -2$ ; $g(1{,}001) = 5$ ; $g(1{,}01) = 5$ ; $g(1{,}1) = 5$ . Was kannst du über $\lim_{x \to 1} g(x)$ sagen?
1. a)Der Grenzwert ist $1{,}5$
2. b)Der Grenzwert existiert nicht
3. c)Der Grenzwert ist $5$
4. d)Der Grenzwert ist $-2$
8.
Eine Wertetabelle für $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ liefert $x = -0{,}01$ : $0{,}99502$ ; $x = -0{,}001$ : $0{,}99950$ ; $x = 0{,}001$ : $1{,}00050$ ; $x = 0{,}01$ : $1{,}00502$ . Schätze $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
9.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ , mit $x$ im Bogenmaß.
10.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
11.
Für $f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ liefert eine Wertetabelle $f(-0{,}01) \approx 0{,}16671$ ; $f(-0{,}001) \approx 0{,}16667$ ; $f(0{,}001) \approx 0{,}16666$ ; $f(0{,}01) \approx 0{,}16662$ . Schätze $\lim_{x \to 0} f(x)$ als Dezimalzahl, auf drei Nachkommastellen gerundet.
12.
Eine Wertetabelle für $h(x)$ nahe $x = 1$ zeigt $h(0{,}9) = 100$ ; $h(0{,}99) = 10\,000$ ; $h(0{,}999) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}001) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}01) = 10\,000$ ; $h(1{,}1) = 100$ . Welche Aussage beschreibt $\lim_{x \to 1} h(x)$ am besten?
1. a)Der Grenzwert ist $100$
2. b)Der Grenzwert ist $0$
3. c)Der Grenzwert ist $1\,000\,000$
4. d) $h(x)$ wächst unbeschränkt, es gibt also keinen endlichen Grenzwert
13.
Sei $f(x) = x + 1$ für $x < 2$ und $f(x) = x^2$ für $x \geq 2$ . Entscheide mit einer Wertetabelle, ob $\lim_{x \to 2} f(x)$ existiert.
14.
Eine Wertetabelle für $f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ liefert $x = -0{,}01$ : $2{,}73200$ ; $x = -0{,}001$ : $2{,}71964$ ; $x = 0{,}001$ : $2{,}71692$ ; $x = 0{,}01$ : $2{,}70481$ . Schätze $\lim_{x \to 0} f(x)$ , auf zwei Nachkommastellen gerundet.
15.
Eine Wertetabelle für $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ mit $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ zeigt jedes Mal $0$ . Aber $f\left(\frac{2}{101}\right) = 1$ und $f\left(\frac{2}{103}\right) = -1$ , und beide $x$ -Werte liegen weniger als $0{,}02$ von $0$ entfernt. Wie groß ist $\lim_{x \to 0} f(x)$ ?
1. a) $1$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d)Der Grenzwert existiert nicht
16.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
17.
Beschreibe mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}$ .
18.
Untersuche $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ mit sorgfältig gewählten Tabellenwerten ( $x$ im Bogenmaß).