Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Du möchtest $\lim_{x \to 3} f(x)$ mit einer Wertetabelle schätzen. Welche $x$ -Werte sind am besten geeignet?
1. a) $3; 3{,}1; 3{,}2; 3{,}3$
2. b) $1; 2; 4; 5$
3. c)nur $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$
4. d) $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Lösung: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999; 3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$
Eine gute Tabelle nähert sich $3$ von beiden Seiten und rückt jedes Mal näher: $2{,}9; 2{,}99; 2{,}999$ von links und $3{,}001; 3{,}01; 3{,}1$ von rechts. Werte wie $1; 2; 4; 5$ sind zu weit weg, eine Seite allein kann eine Sprungstelle übersehen, und $x = 3$ selbst sollte man nicht verwenden.
2.
Eine Wertetabelle liefert $f(4{,}9) = 9{,}9$ ; $f(4{,}99) = 9{,}99$ ; $f(4{,}999) = 9{,}999$ ; $f(5{,}001) = 10{,}001$ ; $f(5{,}01) = 10{,}01$ ; $f(5{,}1) = 10{,}1$ . Schätze $\lim_{x \to 5} f(x)$ .
Lösung: 10
Von links steigen die Werte $9{,}9$ ; $9{,}99$ ; $9{,}999$ gegen $10$ , von rechts fallen $10{,}1$ ; $10{,}01$ ; $10{,}001$ gegen $10$ . Beide Seiten stimmen überein, also gilt $\lim_{x \to 5} f(x) = 10$ .
3.
Links von $2$ : $f(1{,}9) = 6{,}8$ ; $f(1{,}99) = 6{,}98$ ; $f(1{,}999) = 6{,}998$ . Rechts von $2$ : $f(2{,}1) = 7{,}2$ ; $f(2{,}01) = 7{,}02$ ; $f(2{,}001) = 7{,}002$ . Wie groß ist $\lim_{x \to 2} f(x)$ ?
1. a)existiert nicht
2. b) $7$
3. c) $7{,}002$
4. d) $6{,}998$
Lösung: $7$
Die linken Werte $6{,}8$ ; $6{,}98$ ; $6{,}998$ und die rechten Werte $7{,}2$ ; $7{,}02$ ; $7{,}002$ nähern sich beide $7$ . Die Einträge $6{,}998$ und $7{,}002$ sind nur Schätzungen; der Grenzwert ist $7$ .
4.
Berechne für $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ den Tabelleneintrag $f(2{,}99)$ .
Lösung: 5.99
$f(2{,}99) = \frac{8{,}9401 - 9}{2{,}99 - 3} = \frac{-0{,}0599}{-0{,}01} = 5{,}99$ . Die Tabellenwerte streben für $x \to 3$ gegen $6$ .
5.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .
Lösung: 2
1. Berechne $f(0{,}9)$ . 1.9
2. Berechne $f(0{,}99)$ . 1.99
3. Berechne $f(1{,}01)$ . 2.01
4. Welcher Zahl nähern sich beide Seiten? 2
6.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Lösung: 8
1. Berechne $f(3{,}9)$ . 7.9
2. Berechne $f(3{,}99)$ . 7.99
3. Berechne $f(4{,}01)$ . 8.01
4. Welcher Zahl nähern sich beide Seiten? 8
7.
Eine Wertetabelle für $g(x)$ nahe $x = 1$ zeigt $g(0{,}9) = -2$ ; $g(0{,}99) = -2$ ; $g(0{,}999) = -2$ ; $g(1{,}001) = 5$ ; $g(1{,}01) = 5$ ; $g(1{,}1) = 5$ . Was kannst du über $\lim_{x \to 1} g(x)$ sagen?
1. a)Der Grenzwert ist $1{,}5$
2. b)Der Grenzwert existiert nicht
3. c)Der Grenzwert ist $5$
4. d)Der Grenzwert ist $-2$
Lösung: Der Grenzwert existiert nicht
Von links bleibt $g(x)$ bei $-2$ , von rechts bei $5$ . Die einseitigen Werte stimmen nicht überein ( $-2 \neq 5$ ), also existiert der beidseitige Grenzwert nicht. Den Mittelwert ( $1{,}5$ ) zu bilden ist nicht erlaubt.
8.
Eine Wertetabelle für $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ liefert $x = -0{,}01$ : $0{,}99502$ ; $x = -0{,}001$ : $0{,}99950$ ; $x = 0{,}001$ : $1{,}00050$ ; $x = 0{,}01$ : $1{,}00502$ . Schätze $\lim_{x \to 0} f(x)$ .
Lösung: 1
Von links steigen $0{,}99502$ ; $0{,}99950$ gegen $1$ . Von rechts fallen $1{,}00502$ ; $1{,}00050$ gegen $1$ . Also gilt $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ . Diese Funktion lässt sich nicht faktorisieren, genau dann hilft eine Tabelle.
9.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ , mit $x$ im Bogenmaß.
Lösung: 1
1. Berechne $f(0{,}1)$ , auf vier Nachkommastellen gerundet. 0.9983
2. Berechne $f(0{,}01)$ , auf vier Nachkommastellen gerundet. 1.0000
3. Berechne $f(-0{,}1)$ , auf vier Nachkommastellen gerundet. 0.9983
4. Welcher Zahl nähern sich beide Seiten? 1
10.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ .
Lösung: 12
1. Berechne $f(1{,}9)$ . 11.41
2. Berechne $f(1{,}99)$ . 11.9401
3. Berechne $f(2{,}01)$ . 12.0601
4. Welcher Zahl nähern sich beide Seiten? 12
11.
Für $f(x) = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ liefert eine Wertetabelle $f(-0{,}01) \approx 0{,}16671$ ; $f(-0{,}001) \approx 0{,}16667$ ; $f(0{,}001) \approx 0{,}16666$ ; $f(0{,}01) \approx 0{,}16662$ . Schätze $\lim_{x \to 0} f(x)$ als Dezimalzahl, auf drei Nachkommastellen gerundet.
Lösung: 0.167
Beide Seiten nähern sich etwa $0{,}1667$ , gerundet $0{,}167$ . Die Algebra bestätigt es: Der exakte Grenzwert ist $\frac{1}{6} \approx 0{,}16667$ .
12.
Eine Wertetabelle für $h(x)$ nahe $x = 1$ zeigt $h(0{,}9) = 100$ ; $h(0{,}99) = 10\,000$ ; $h(0{,}999) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}001) = 1\,000\,000$ ; $h(1{,}01) = 10\,000$ ; $h(1{,}1) = 100$ . Welche Aussage beschreibt $\lim_{x \to 1} h(x)$ am besten?
1. a)Der Grenzwert ist $100$
2. b)Der Grenzwert ist $0$
3. c)Der Grenzwert ist $1\,000\,000$
4. d) $h(x)$ wächst unbeschränkt, es gibt also keinen endlichen Grenzwert
Lösung: $h(x)$ wächst unbeschränkt, es gibt also keinen endlichen Grenzwert
Jeder Schritt näher an $1$ macht $h(x)$ von beiden Seiten $100$ -mal größer. Die Werte wachsen unbeschränkt, es gibt also keinen endlichen Grenzwert; wir schreiben $\lim_{x \to 1} h(x) = \infty$ . Der Wert $1\,000\,000$ ist nur der letzte Eintrag, kein Grenzwert.
13.
Sei $f(x) = x + 1$ für $x < 2$ und $f(x) = x^2$ für $x \geq 2$ . Entscheide mit einer Wertetabelle, ob $\lim_{x \to 2} f(x)$ existiert.
Lösung: Der Grenzwert existiert nicht: Die linke Seite strebt gegen $3$ , die rechte gegen $4$
1. Berechne $f(1{,}99)$ . 2.99
2. Berechne $f(2{,}01)$ . 4.0401
3. Welcher Zahl nähert sich die linke Seite? 3
4. Welcher Zahl nähert sich die rechte Seite? 4
5. Existiert $\lim_{x \to 2} f(x)$ ? nein
14.
Eine Wertetabelle für $f(x) = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ liefert $x = -0{,}01$ : $2{,}73200$ ; $x = -0{,}001$ : $2{,}71964$ ; $x = 0{,}001$ : $2{,}71692$ ; $x = 0{,}01$ : $2{,}70481$ . Schätze $\lim_{x \to 0} f(x)$ , auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Lösung: 2.72
Die nächsten Werte $2{,}71964$ und $2{,}71692$ schließen den Grenzwert ein, und beide ergeben gerundet $2{,}72$ . Der exakte Grenzwert ist die Zahl $e \approx 2{,}71828$ .
15.
Eine Wertetabelle für $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ mit $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ zeigt jedes Mal $0$ . Aber $f\left(\frac{2}{101}\right) = 1$ und $f\left(\frac{2}{103}\right) = -1$ , und beide $x$ -Werte liegen weniger als $0{,}02$ von $0$ entfernt. Wie groß ist $\lim_{x \to 0} f(x)$ ?
1. a) $1$
2. b) $0$
3. c) $\infty$
4. d)Der Grenzwert existiert nicht
Lösung: Der Grenzwert existiert nicht
Die gewählten Werte $x = \pm 0{,}1; \pm 0{,}01; \pm 0{,}001$ machen $\frac{\pi}{x}$ zu einem Vielfachen von $\pi$ , also treffen sie alle Nullstellen. Beliebig nahe bei $0$ gibt es aber auch $x$ -Werte mit $1$ und $-1$ , $f(x)$ schwingt also ständig, und der Grenzwert existiert nicht. Die Tabelle allein war hier irreführend.
16.
Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Lösung: 0.25
1. Berechne $f(3{,}9)$ , auf vier Nachkommastellen gerundet. 0.2516
2. Berechne $f(3{,}99)$ , auf vier Nachkommastellen gerundet. 0.2502
3. Berechne $f(4{,}01)$ , auf vier Nachkommastellen gerundet. 0.2498
4. Welcher Dezimalzahl nähern sich beide Seiten? 0.25
17.
Beschreibe mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to -1} \frac{1}{(x + 1)^2}$ .
Lösung: $\infty$
1. Berechne $f(-1{,}1)$ . 100
2. Berechne $f(-1{,}01)$ . 10000
3. Berechne $f(-0{,}99)$ . 10000
4. Wievielmal so groß wie $f(-1{,}1)$ ist $f(-1{,}01)$ ? 100
18.
Untersuche $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ mit sorgfältig gewählten Tabellenwerten ( $x$ im Bogenmaß).
Lösung: Der Grenzwert existiert nicht: Nahe $0$ schwanken die Werte ständig zwischen $-1$ und $1$
1. Berechne $f(0{,}1)$ . 0
2. Berechne $f(0{,}4)$ . 1
3. Berechne $f\left(\frac{2}{7}\right)$ . -1
4. Existiert $\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ ? nein