Leitfaden für Lehrer: Grenzwerte mit Wertetabellen bestimmen

Schätze einen Grenzwert numerisch: Lege eine Wertetabelle von beiden Seiten an, rücke immer näher heran und lies ab, wohin die Funktionswerte streben.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Grenzwerte. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Eine Wertetabelle anlegen, die sich einer Stelle von beiden Seiten nähert
$x$ -Werte wählen, die systematisch immer näher an $a$ heranrücken
Einen Grenzwert aus dem Trend einer Tabelle schätzen, auch wenn $f(a)$ nicht definiert ist
An einer Tabelle erkennen, wann ein Grenzwert nicht existiert oder die Funktionswerte unbeschränkt wachsen
Die Grenzen von Tabellen erklären und Schätzungen mit Graphen oder Rechnungen bestätigen

Voraussetzungen

• Einführung in Grenzwerte und Grenzwertschreibweise (Bedeutung von $\lim_{x \to a} f(x)$ )
• Grenzwerte am Graphen ablesen
• Funktionswerte mit dem Taschenrechner berechnen, auch im Bogenmaß
• Rechnen mit Dezimalzahlen und Runden

Diskussionsstarter

1. Warum lassen wir $x = a$ weg, wenn wir eine Tabelle für $\lim_{x \to a} f(x)$ anlegen?
2. Kann eine Tabelle jemals beweisen, dass ein Grenzwert eine bestimmte Zahl ist? Warum oder warum nicht?
3. Wie würdest du einen Freund nur mit einer Tabelle überzeugen, dass $\frac{|x|}{x}$ bei $0$ keinen Grenzwert hat?
4. Die Werte $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ liefern alle $0$ für $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ . Was sagt uns das über die Wahl der Tabellenwerte?
5. Wann könnte die Rundung eines Computers eine Tabelle falsch aussehen lassen?

Häufige Missverständnisse

Der Grenzwert ist der Tabellenwert, der $a$ am nächsten liegt

Abhilfe: Zeige, dass der nächste Wert, etwa $3{,}999$ , nur eine Schätzung ist. Frage, welcher Zahl die Folge $3{,}9$ , $3{,}99$ , $3{,}999$ zustrebt, und betone, dass wir das Ziel $4$ angeben, nicht den letzten Eintrag.

Eine Seite der Tabelle reicht

Abhilfe: Verwende $\frac{|x|}{x}$ : Eine Tabelle nur von rechts liefert $1$ , eine nur von links liefert $-1$ . Erst beide Seiten zusammen zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert.

Wenn alle Tabellenwerte übereinstimmen, muss der Grenzwert dieser Wert sein

Abhilfe: Zeige $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ mit $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ (alle $0$ ) und lass die Lernenden dann $x = 0{,}4$ und $x = \frac{2}{3}$ ausprobieren. Besprecht, warum ein Graph oder eine Rechnung zur Bestätigung nötig ist.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Teilweise ausgefüllte Tabellen bereitstellen, sodass nur wenige Einträge berechnet werden müssen
• Mit Funktionen mit einer Lücke beginnen, bei denen das Muster ( $3{,}9$ , $3{,}99$ , $3{,}999$ ) leicht zu sehen ist
• Die Lernenden zuerst den Taschenrechner mit den vorgegebenen Beispielen nutzen lassen, bevor sie eigene Tabellen anlegen

Für Schüler auf Niveau:

• Vollständige beidseitige Tabellen für Funktionen wie $\frac{\sin x}{x}$ und $\frac{e^x - 1}{x}$ anlegen
• Grenzwerte aus Tabellen als existiert, existiert nicht oder unbeschränkt einordnen
• Tabellenschätzungen mit dem Graphen derselben Funktion vergleichen

Für fortgeschrittene Schüler:

• $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ untersuchen und $x$ -Werte finden, die beliebig nahe bei $0$ die Werte $1$ , $0$ und $-1$ liefern
• Rundungsfehler des Taschenrechners bei $x - a = 10^{-10}$ untersuchen und erklären, was schiefgeht
• $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$ schätzen und mit der Zahl $e$ verbinden

Standardausrichtung

AP Calculus LIM-1.D (AP.CALC.LIM-1.D)
Grenzwerte von Funktionen schätzen, auch aus Wertetabellen
HSF-IF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.2)
Funktionsschreibweise verwenden und Funktionswerte für Eingaben aus der Definitionsmenge berechnen

Lektionsressourcen

visualGraph mit Wertetabelle
Interaktive Graphen mit einer Lücke, einer Sprungstelle und einer senkrechten Asymptote, jeweils mit einer Wertetabelle, die sich der Stelle nähert
activityStaffel: Immer näher heran
Teams berechnen $f(x)$ für $x$ -Werte, die in jeder Runde zehnmal näher liegen, und sagen den Grenzwert vor dem letzten Wert voraus
worksheetÜbungen: Grenzwerte aus Tabellen
Tabellen von beiden Seiten vervollständigen, Grenzwerte schätzen und jeden als existiert, existiert nicht oder unbeschränkt einordnen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Um einen Grenzwert mit einer Wertetabelle zu bestimmen, wählst du

x

-Werte, die sich

a

von beiden Seiten immer weiter nähern, berechnest jeweils

f(x)

und beobachtest, welchem Wert sich die Funktionswerte nähern.

\lim_{x \to a} f(x) = L

So legst du die Tabelle an:

Linke Seite ( $x < a$ ): zum Beispiel $a - 0{,}1$ , $a - 0{,}01$ , $a - 0{,}001$
Rechte Seite ( $x > a$ ): zum Beispiel $a + 0{,}001$ , $a + 0{,}01$ , $a + 0{,}1$
$x = a$ selbst lässt du weg: Der Grenzwert hängt nicht von $f(a)$ ab

Beispiel:

f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}

ist bei

x = 2

nicht definiert, aber die Tabelle zeigt, wohin die Werte streben:

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$f(x)$	$3{,}9$	$3{,}99$	$3{,}999$	$4{,}001$	$4{,}01$	$4{,}1$

Beide Seiten nähern sich

4

, also schätzen wir

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

Drei mögliche Ergebnisse:

Beide Seiten nähern sich derselben Zahl $L$ : Der Grenzwert ist $L$
Die Seiten nähern sich verschiedenen Zahlen: Der Grenzwert existiert nicht
Die Funktionswerte wachsen unbeschränkt: Wir schreiben $\infty$ (kein endlicher Grenzwert)

Eine Tabelle liefert eine Schätzung, keinen Beweis. Sie ist die numerische Seite derselben Idee, die du bei Grenzwerte am Graphen ablesen gesehen hast.

Lösungsbeispiele

Schätze mit einer Wertetabelle $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Prüfe die Stelle selbst

Bei $x = 2$ : $\frac{4 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ → $f(2)$ ist nicht definiert, also brauchen wir eine Tabelle

Nähere dich von links

$f(1{,}9) = 3{,}9$ , $f(1{,}99) = 3{,}99$ , $f(1{,}999) = 3{,}999$ → Die linke Seite strebt gegen $4$

Nähere dich von rechts

$f(2{,}1) = 4{,}1$ , $f(2{,}01) = 4{,}01$ , $f(2{,}001) = 4{,}001$ → Die rechte Seite strebt gegen $4$

Vergleiche beide Seiten

Beide Seiten nähern sich demselben Wert → $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Antwort: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ , obwohl $f(2)$ nicht existiert

Häufige Fehler

Nur eine Seite von $a$ verwenden

Warum es falsch ist: Eine Tabelle mit nur $x = 1{,}9$ , $1{,}99$ , $1{,}999$ zeigt den linksseitigen Grenzwert. Die rechte Seite kann woanders hinstreben, wie bei $\frac{|x|}{x}$ .

Richtig: Lege immer beide Spalten an: Werte knapp unter $a$ und Werte knapp über $a$ .

$x$ -Werte wählen, die nicht nah an $a$ liegen

Warum es falsch ist: Werte wie $x = 1$ , $1{,}5$ , $2{,}5$ , $3$ sind zu weit weg. Weit entfernt vom Punkt kann sich die Funktion ganz anders verhalten.

Richtig: Rücke jedes Mal um den Faktor $10$ näher: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ .

$x = a$ in die Tabelle schreiben und $f(a)$ als Grenzwert nehmen

Warum es falsch ist: Der Grenzwert beschreibt, was in der Nähe von $a$ passiert, nicht bei $a$ . An einer Lücke ist $f(a)$ vielleicht nicht definiert, an einem verschobenen Punkt eine andere Zahl.

Richtig: Lass $x = a$ aus der Tabelle weg und lies nur den Trend der benachbarten Werte ab.

Wenigen Werten blind vertrauen

Warum es falsch ist: Besondere $x$ -Werte können ein Schwingen verbergen, wie bei $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ , und Rundung kann kleine Unterschiede zwischen den Seiten verdecken.

Richtig: Verwende mehrere Werte, die nicht alle demselben Muster folgen, behalte genug Nachkommastellen und bestätige mit einem Graphen oder einer Rechnung.

Warum es wichtig ist

Wertetabellen sind oft der erste und praktischste Weg zu einem Grenzwert:

Kein Rechentrick nötig: Funktionen wie $\frac{\sin x}{x}$ oder $\frac{e^x - 1}{x}$ lassen sich nicht durch Faktorisieren vereinfachen, aber eine Tabelle findet ihren Grenzwert in Sekunden
Taschenrechner und Computer schätzen Grenzwerte genau so: Sie setzen Zahlen ein, die dem Punkt immer näher kommen
Kontrolle deiner Rechnung: Wenn deine Umformung den Grenzwert $4$ ergibt, die Tabelle aber gegen $3$ strebt, ist etwas schiefgelaufen
Grundlage der Analysis: Momentangeschwindigkeit und Steigung einer Kurve beginnen als Tabellen von Durchschnittsgeschwindigkeiten über immer kürzere Zeitintervalle

Zu wissen, wann dich eine Tabelle täuschen kann (oszillierende Funktionen, Rundung), ist genauso wichtig, wie eine anzulegen.

Anwendungen im echten Leben

Momentangeschwindigkeit in der Physik

Ein Tachometer zeigt die Geschwindigkeit in einem Augenblick. Physiker bestimmen sie, indem sie Durchschnittsgeschwindigkeiten über immer kürzere Zeitintervalle berechnen und den Trend in der Tabelle ablesen.

Beispiel:

Ein Ball fällt in $t$ Sekunden $s(t) = 5t^2$ Meter. Durchschnittsgeschwindigkeiten ab $t = 2$ : über $0{,}1$ s sind es $20{,}5$ m/s, über $0{,}01$ s sind es $20{,}05$ m/s, über $0{,}001$ s sind es $20{,}005$ m/s.

1Probiere es selbst

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Balls zwischen $t = 2$ und $t = 2 + h$ Sekunden beträgt $\frac{5(2 + h)^2 - 20}{h}$ m/s.

Wie groß ist die Momentangeschwindigkeit bei $t = 2$ Sekunden, in m/s?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Mach $h$ immer kleiner und lies ab, wohin die Durchschnittsgeschwindigkeit strebt:

Wachstumsraten in der Biologie

Eine Bakterienkultur, die sich jede Stunde verdoppelt, wächst nicht sprunghaft. Ihre momentane Wachstumsrate ergibt sich aus einer Tabelle des Ausdrucks $\frac{2^h - 1}{h}$ für winzige Zeitschritte $h$.

Beispiel:

Für $h = 0{,}1$ Stunden liefert die Tabelle $0{,}7177$ , für $h = 0{,}01$ ergibt sich $0{,}6956$ , für $h = 0{,}001$ ergibt sich $0{,}6934$ : Die Rate pendelt sich bei etwa $0{,}693$ pro Stunde ein.

2Probiere es selbst

Biologen schätzen $\lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h}$ mit einer Wertetabelle. Verwende einen Taschenrechner.

Wie groß ist der Grenzwert, auf zwei Nachkommastellen gerundet?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne den Ausdruck für immer kleinere $h$ :

Signalverarbeitung und Audio

Audiosoftware verwendet Funktionen wie $\frac{\sin(2x)}{x}$, um Klang zu filtern. Bei $x = 0$ liefert die Formel $\frac{0}{0}$, deshalb setzen Programmierer dort den Grenzwert aus einer Tabelle ein.

Beispiel:

Nahe $0$ (im Bogenmaß) liefert $\frac{\sin(2x)}{x}$ bei $x = 0{,}1$ den Wert $1{,}98669$ und bei $x = 0{,}01$ den Wert $1{,}99987$ .

3Probiere es selbst

Ein Programmierer braucht den Wert, dem sich $\frac{\sin(2x)}{x}$ für $x \to 0$ nähert ( $x$ im Bogenmaß).

Welchen Wert soll das Programm bei $x = 0$ verwenden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Lege eine Tabelle mit $x = 0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ an:

Wichtige Erkenntnisse

1Um $\lim_{x \to a} f(x)$ mit einer Tabelle zu schätzen, verwendest du $x$ -Werte, die $a$ von beiden Seiten immer näher kommen
2Ein gutes Muster: $a \pm 0{,}1$ , $a \pm 0{,}01$ , $a \pm 0{,}001$ ; $x = a$ lässt du weg
3Nähern sich beide Seiten derselben Zahl $L$ , ist der Grenzwert $L$ , auch wenn $f(a)$ nicht definiert ist
4Nähern sich die Seiten verschiedenen Zahlen, existiert der Grenzwert nicht
5Wachsen die Funktionswerte unbeschränkt, gibt es keinen endlichen Grenzwert, und wir schreiben $\infty$ (oder $-\infty$ )
6Eine Tabelle ist eine Schätzung: Oszillierende Funktionen wie $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ und Rundung können sie täuschen, also bestätige mit einem Graphen oder einer Rechnung

Häufig gestellte Fragen

Wie viele Werte brauche ich in der Tabelle?

Meist reichen drei auf jeder Seite, etwa

a \pm 0{,}1

a \pm 0{,}01

a \pm 0{,}001

, um einen klaren Trend zu sehen. Ist der Trend nicht eindeutig, nimm Werte, die noch näher liegen, wie

a \pm 0{,}0001

Warum setze ich nicht einfach $x = a$ ein?

Weil es beim Grenzwert um die Werte in der Nähe von

a

geht, nicht um den Wert bei

a

. Oft ist

f(a)

nicht definiert (eine Lücke oder

\frac{0}{0}

), und manchmal existiert

f(a)

, weicht aber vom Grenzwert ab. Die Tabelle zeigt den Trend, den

f(a)

nicht zeigen kann.

Ist eine Tabelle ein Beweis, dass der Grenzwert stimmt?

Nein. Eine Tabelle liefert nur starke Hinweise. Exakte Ergebnisse kommen aus der Algebra (Grenzwerte durch direktes Einsetzen, Faktorisieren) oder aus den Grenzwertsätzen. Tabellen eignen sich hervorragend zum Schätzen und zum Überprüfen einer Rechnung.

Was bedeutet es, wenn mein Taschenrechner sehr nahe an $a$ seltsame Werte zeigt?

Bei extrem kleinen Abständen wie

x - a = 0{,}0000000001

kann ein Taschenrechner Stellen verlieren, wenn er fast gleiche Zahlen subtrahiert. Springen die Werte plötzlich hin und her, geh zurück zu

a \pm 0{,}001

oder

a \pm 0{,}0001

, wo die Rechnung noch zuverlässig ist.

Glossar

Wertetabelle: Eine Liste gewählter Eingaben $x$ und ihrer Funktionswerte $f(x)$ , mit der man einen Trend erkennt
Linksseitiger Grenzwert: Der Wert, dem sich $f(x)$ nähert, wenn $x \to a$ über Werte kleiner als $a$ läuft, geschrieben $\lim_{x \to a^-} f(x)$
Rechtsseitiger Grenzwert: Der Wert, dem sich $f(x)$ nähert, wenn $x \to a$ über Werte größer als $a$ läuft, geschrieben $\lim_{x \to a^+} f(x)$
Existiert nicht: Die Funktionswerte nähern sich keiner einzelnen endlichen Zahl, zum Beispiel weil die beiden Seiten nicht übereinstimmen oder die Funktion schwingt
Unbeschränktes Wachstum: Die Funktionswerte werden größer als jede Zahl, die du wählst; man schreibt den Grenzwert als $\infty$ (uneigentlicher Grenzwert)
Oszillation: Verhalten, bei dem die Funktionswerte ständig hin und her schwingen, statt sich einzupendeln, wie $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ nahe $0$

Formelkarte

Tabellenmuster

x = a - 0{,}1;\ a - 0{,}01;\ a - 0{,}001 \ \mid\ a + 0{,}001;\ a + 0{,}01;\ a + 0{,}1

Nähere dich $a$ von beiden Seiten, bei jedem Schritt zehnmal näher, und verwende nie $x = a$ selbst

Grenzwert existiert

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L

Beide Spalten der Tabelle streben gegen dieselbe Zahl

Grenzwert existiert nicht

\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)

Die beiden Spalten nähern sich verschiedenen Zahlen, oder die Werte schwingen

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Momentangeschwindigkeit in der Physik

Wachstumsraten in der Biologie

Signalverarbeitung und Audio

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Tabellenmuster

Grenzwert existiert

Grenzwert existiert nicht

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Einführung in Grenzwerte

Grenzwertschreibweise

Grenzwerte am Graphen ablesen

Grenzwerte durch direktes Einsetzen