Produktregel für Logarithmen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welcher Ausdruck ist gleich $\log_b(MN)$ (mit $M, N > 0$ )?
1. a) $\log_b M + \log_b N$
2. b) $\log_b M \cdot \log_b N$
3. c) $\log_b(M + N)$
4. d) $\log_b M - \log_b N$
Lösung: $\log_b M + \log_b N$
Nach der Produktregel gilt $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ . Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen, nicht ihr Produkt.
2.
Nutze die Produktregel: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = \;?$
Lösung: 5
$\log_2 4 = 2$ und $\log_2 8 = 3$ , die Summe ist also $5$ . Probe: $4 \cdot 8 = 32 = 2^5$ .
3.
Zerlege $\log_3(5x)$ für $x > 0$ .
1. a) $\log_3(5 + x)$
2. b) $5 \log_3 x$
3. c) $\log_3 5 + \log_3 x$
4. d) $\log_3 5 \cdot \log_3 x$
Lösung: $\log_3 5 + \log_3 x$
$\log_3(5x) = \log_3 5 + \log_3 x$ . Der Faktor $5$ wandert nicht vor den Logarithmus (dafür bräuchte man eine Potenz, $x^5$ ).
4.
Berechne $\log 2 + \log 50$ (dekadischer Logarithmus, Basis 10) ohne Taschenrechner.
Lösung: 2
$\log 2 + \log 50 = \log 100 = 2$ , denn $10^2 = 100$ .
5.
Schreibe $\log_6 4 + \log_6 9$ als einen einzigen Logarithmus und berechne ihn.
Lösung: 2
1. Multipliziere die Argumente: $4 \cdot 9 = \;?$ 36
2. Was ist $\log_6 36$ ? 2
6.
Prüfe, dass $\log_2 32 = \log_2 4 + \log_2 8$ gilt.
Lösung: 5
1. Was ist $\log_2 4$ ? 2
2. Was ist $\log_2 8$ ? 3
3. Was ist $\log_2 32$ ? (Es sollte die Summe der beiden Ergebnisse sein.) 5
7.
Welche Aussage ist wahr?
1. a) $\log(10 + 10) = 2$
2. b) $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
3. c) $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
4. d) $\log 2 \cdot \log 5 = \log 10$
Lösung: $\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$
$\log(2 \cdot 5) = \log 2 + \log 5$ ist die Produktregel ( $= \log 10 = 1$ ). Die anderen sind falsch: $\log(6+4) = 1$ , aber $\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380$ ; $\log 2 \cdot \log 5 \approx 0{,}210$ ; $\log 20 \approx 1{,}301$ , nicht $2$ .
8.
Nutze $\log 2 \approx 0{,}301$ und $\log 3 \approx 0{,}477$ , um $\log 6$ zu nähern. Gib das Ergebnis mit 3 Nachkommastellen an.
Lösung: 0.778
$\log 6 = \log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ . (Der Taschenrechner liefert $0{,}77815\ldots$ )
9.
Wenn $\log_b M = 3{,}2$ und $\log_b N = 1{,}5$ ist, was ist dann $\log_b(MN)$ ?
Lösung: 4.7
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N = 3{,}2 + 1{,}5 = 4{,}7$ . Du musst $b$ , $M$ und $N$ nicht kennen.
10.
Nähere $\log 12$ mit $\log 2 \approx 0{,}301$ und $\log 3 \approx 0{,}477$ . Gib das Ergebnis mit 3 Nachkommastellen an.
Lösung: 1.079
1. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ . Wie viele Faktoren $2$ gibt es? 2
2. Was ist $\log 2 + \log 2$ ? 0.602
3. Addiere $\log 3$ : Was ist $\log 12$ ? 1.079
11.
Zerlege $\log_2(8xy) = \log_2 8 + \log_2 x + \log_2 y$ und berechne den Wert für $x = 4$ und $y = 16$ .
Lösung: 9
1. Was ist $\log_2 8$ ? 3
2. Was ist $\log_2 x$ für $x = 4$ ? 2
3. Was ist $\log_2 y$ für $y = 16$ ? 4
4. Addiere die drei Ergebnisse. Was ist $\log_2(8xy)$ ? 9
12.
Fasse $\log_4 2 + \log_4 32$ zu einem Logarithmus zusammen und berechne ihn.
Lösung: 3
1. Multipliziere die Argumente: $2 \cdot 32 = \;?$ 64
2. Was ist $\log_4 64$ ? 3
13.
Fasse $\log_5 x + \log_5(x + 3)$ zu einem einzigen Logarithmus zusammen.
1. a) $2\log_5 x + 3$
2. b) $\log_5(x^2 + 3x)$
3. c) $\log_5(x^2 + 3)$
4. d) $\log_5(2x + 3)$
Lösung: $\log_5(x^2 + 3x)$
$\log_5 x + \log_5(x+3) = \log_5\big(x(x+3)\big) = \log_5(x^2 + 3x)$ , gültig für $x > 0$ .
14.
Für welche Werte von $x$ gilt $\log x + \log(x - 4) = \log(x^2 - 4x)$ ?
1. a)Für $x > 4$
2. b)Für alle reellen Zahlen $x$
3. c)Für $x > 0$
4. d)Für $x < 0$ oder $x > 4$
Lösung: Für $x > 4$
Die linke Seite existiert nur für $x > 0$ und $x > 4$ , also für $x > 4$ . Die rechte Seite existiert auch für $x < 0$ (zum Beispiel ergibt $x = -1$ den Wert $\log 5$ ), aber dann existiert $\log(-1)$ links nicht. Die Gleichheit gilt genau für $x > 4$ .
15.
Nutze $\log 2 \approx 0{,}301$ , um $\log 2000$ zu nähern. Gib das Ergebnis mit 3 Nachkommastellen an.
Lösung: 3.301
$\log 2000 = \log 2 + \log 1000 \approx 0{,}301 + 3 = 3{,}301$ . Multiplizieren mit $1000$ addiert einfach $3$ zum Logarithmus.
16.
Fasse $\log_3 x + \log_3 9 + \log_3 x$ zu einem Logarithmus $\log_3(9x^2)$ zusammen und berechne ihn für $x = 3$ .
Lösung: 4
1. Was ist das Argument $9x^2$ für $x = 3$ ? 81
2. Was ist $\log_3 81$ ? 4
3. Prüfe mit der ursprünglichen Summe: $\log_3 3 + \log_3 9 + \log_3 3 = \;?$ 4
17.
Ein Geräusch hat einen Pegel von $50$ Dezibel: $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right) = 50$ . Seine Intensität wird mit $100$ multipliziert. Nutze $10 \log\left(100 \cdot \frac{I}{I_0}\right) = 10 \log 100 + 10 \log\frac{I}{I_0}$ , um den neuen Pegel zu finden.
Lösung: 70
1. Was ist $\log 100$ ? 2
2. Was ist $10 \log 100$ ? 20
3. Wie hoch ist der neue Pegel in Dezibel? 70
18.
Nutze $\log 2 \approx 0{,}301$ , $\log 3 \approx 0{,}477$ und $\log 7 \approx 0{,}845$ , um $\log 42$ zu nähern. Gib das Ergebnis mit 3 Nachkommastellen an.
Lösung: 1.623
1. $42 = 2 \cdot 3 \cdot \;?$ 7
2. Was ist $\log 2 + \log 3$ ? 0.778
3. Addiere $\log 7$ : Was ist $\log 42$ ? 1.623