Leitfaden für Lehrer: Produktregel für Logarithmen

Lerne, warum der Logarithmus eines Produkts die Summe der Logarithmen ist, und nutze die Regel zum Zerlegen, Zusammenfassen und Berechnen.

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10 Fragen zu Logarithmen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die Produktregel für Logarithmen und die Bedingungen an Basis und Argumente angeben
Die Regel mit dem Potenzgesetz $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ begründen
Logarithmen von Produkten in Summen von Logarithmen zerlegen
Summen von Logarithmen mit gleicher Basis zu einem einzigen Logarithmus zusammenfassen
Logarithmen von Produkten aus bekannten Werten wie $\log 2 \approx 0{,}301$ näherungsweise berechnen

Voraussetzungen

• Definition des Logarithmus: $\log_b y = x$ bedeutet $b^x = y$
• Potenzgesetz für das Multiplizieren: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
• Dekadischer Logarithmus (Basis 10): $\log x$ als $\log_{10} x$ lesen
• Eigenschaften von Logarithmen: Überblick über die Logarithmengesetze

Diskussionsstarter

1. Warum addieren sich die Logarithmen, wenn man zwei Zahlen multipliziert? Inwiefern ist das dasselbe wie $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ ?
2. Wenn $\log 2 \approx 0{,}301$ ist, was ist dann $\log 20$ ? Und $\log 200$ ? Welches Muster erkennst du?
3. Dein Freund schreibt $\log(x + 5) = \log x + \log 5$ . Wie würdest du ihn überzeugen, dass das falsch ist?
4. Warum machte eine Logarithmentafel das Multiplizieren großer Zahlen vor der Zeit der Taschenrechner leichter?

Häufige Missverständnisse

$\log$ wie eine Zahl behandeln, die man über eine Summe verteilt: $\log(M + N) = \log M + \log N$

Abhilfe: Lass die Lernenden im Taschenrechner $\log(6 + 4)$ und $\log 6 + \log 4$ vergleichen. Betone, dass $\log$ eine Funktion ist und kein Faktor, und dass die Regel ein Produkt im Logarithmus braucht.

Glauben, der Logarithmus eines Produkts sei das Produkt der Logarithmen

Abhilfe: Vergleiche $\log_2(4 \cdot 8) = 5$ mit $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 6$ . Verbinde es mit den Exponenten: $2^2 \cdot 2^3 = 2^5$ , die Exponenten werden addiert, nicht multipliziert.

Glauben, man könne beliebige Logarithmen zusammenfassen, auch mit verschiedenen Basen

Abhilfe: Geh den Beweis noch einmal durch: Er braucht eine Basis $b$ für beide Potenzen. Zeige, dass $\log_2 8 + \log_4 16 = 3 + 2 = 5$ ist, das Produkt aber $8 \cdot 16 = 128$ und $\log_2 128 = 7$ , $\log_4 128 = 3{,}5$ : Keine der beiden Basen ergibt $5$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Basis 2 und Zweierpotenzen beginnen, damit jeder Logarithmus ganzzahlig ist ( $\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 32$ )
• Jede Zahl zuerst als Potenz schreiben ( $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ ) und die Exponenten addieren
• Jede Zerlegung im Taschenrechner numerisch prüfen

Für Schüler auf Niveau:

• Ausdrücke wie $\log_5(25xy)$ zerlegen und Summen wie $\log_6 4 + \log_6 9$ zusammenfassen
• $\log 6$ , $\log 12$ und $\log 2000$ aus $\log 2$ und $\log 3$ näherungsweise berechnen
• Wahre und falsche Aussagen über Logarithmen erkennen und die falschen berichtigen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Die Produktregel mit eigenen Worten aus der Definition des Logarithmus beweisen
• Mit dem Graphen erklären, warum $y = \log_2(ax)$ eine Verschiebung von $y = \log_2 x$ nach oben ist
• Ausdrücke mit Variablen zusammenfassen und die Definitionsmenge angeben, etwa $\log x + \log(x - 4)$

Standardausrichtung

HSF-LE.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.4)
Die Lösung eines exponentiellen Modells als Logarithmus ausdrücken und den Logarithmus mit Hilfsmitteln berechnen
HSF-BF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.B.5)
Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen als Umkehrung verstehen und zum Lösen von Aufgaben nutzen
HSA-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)
Die Struktur eines Ausdrucks nutzen, um Möglichkeiten zum Umformen zu erkennen

Lektionsressourcen

visualVerschobener Logarithmusgraph
Verändere $a$ und sieh, dass $y = \log_2(a x)$ der Graph von $y = \log_2 x$ ist, um $\log_2 a$ nach oben verschoben
activityTaschenrechner-Probe
Die Lernenden prüfen wahre und falsche Aussagen wie $\log 20 = \log 4 + \log 5$ und $\log(6 + 4) = \log 6 + \log 4$
worksheetZerlegen und Zusammenfassen
Gemischte Übungen zum Zerlegen von Produkten und Zusammenfassen von Summen, dazu Schätzungen mit $\log 2$ und $\log 3$

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Die Produktregel für Logarithmen (ein Logarithmengesetz) besagt: Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen seiner Faktoren:

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Sie gilt für jede Basis

b > 0

b \neq 1

, und alle positiven Zahlen

M

und

N

Warum sie gilt: Ein Logarithmus ist ein Exponent. Schreibe

M = b^m

und

N = b^n

, also

\log_b M = m

und

\log_b N = n

. Wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten:

MN = b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Der Exponent von

MN

ist also

m + n

, das heißt

\log_b(MN) = m + n = \log_b M + \log_b N

Probe mit Zahlen:

\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 32 = 5

und

\log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5

Von links nach rechts angewendet zerlegt die Regel den Logarithmus eines Produkts in eine Summe. Von rechts nach links fasst sie eine Summe von Logarithmen (gleiche Basis) zu einem einzigen Logarithmus zusammen.

Lösungsbeispiele

Zeige, dass $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8$ gilt.

Berechne die linke Seite

$4 \cdot 8 = 32$ und $2^5 = 32$ → $\log_2 32 = 5$

Berechne jeden Logarithmus auf der rechten Seite

$2^2 = 4$ und $2^3 = 8$ → $\log_2 4 = 2$ , $\log_2 8 = 3$

Addiere und vergleiche

$2 + 3 = 5$ , genau wie links → $5 = 5$

Antwort: Beide Seiten ergeben $5$ : Die Multiplikation von $4$ mit $8$ addiert die Exponenten $2$ und $3$ .

Häufige Fehler

$\log(M + N) = \log M + \log N$ schreiben

Warum es falsch ist: Die Regel gilt für ein Produkt im Logarithmus, nicht für eine Summe. Probe: $\log(6 + 4) = \log 10 = 1$ , aber $\log 6 + \log 4 \approx 0{,}778 + 0{,}602 = 1{,}380$ .

Richtig: Nur $\log(MN) = \log M + \log N$ gilt. Der Logarithmus einer Summe, wie $\log(x + 3)$ , lässt sich nicht aufteilen.

Die Logarithmen multiplizieren: $\log_b(MN) = \log_b M \cdot \log_b N$

Warum es falsch ist: Wenn man die Zahlen multipliziert, werden die Exponenten addiert, nicht multipliziert. Probe: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 2 \cdot 3 = 6$ , aber $\log_2 32 = 5$ .

Richtig: Ein Produkt innen wird außen zu einer Summe: $\log_2(4 \cdot 8) = 2 + 3 = 5$ .

Logarithmen mit verschiedenen Basen zusammenfassen: $\log_2 x + \log_3 y = \log_6(xy)$

Warum es falsch ist: Der Beweis nutzt $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ , und das gilt nur, wenn beide Potenzen dieselbe Basis $b$ haben.

Richtig: Fasse nur Logarithmen mit gleicher Basis zusammen. $\log_2 x + \log_3 y$ bleibt so stehen (oder nutze zuerst die Basiswechselformel).

Die Regel mit negativen Faktoren anwenden: $\log\big((-2)(-5)\big) = \log(-2) + \log(-5)$

Warum es falsch ist: $\log 10 = 1$ existiert, aber $\log(-2)$ und $\log(-5)$ nicht: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein.

Richtig: Die Regel braucht $M > 0$ und $N > 0$ . Beim Zusammenfassen behältst du die Definitionsmenge der ursprünglichen Logarithmen (zum Beispiel $x > 0$ ).

Warum es wichtig ist

Die Produktregel macht aus Multiplikation eine Addition, und genau dafür wurden Logarithmen erfunden:

Rechnen von Hand: Vor den Taschenrechnern multiplizierte man große Zahlen, indem man ihre Logarithmen aus einer Tafel addierte (auch der Rechenschieber addiert Längen).
Logarithmen berechnen: Wenn du $\log 2 \approx 0{,}301$ und $\log 3 \approx 0{,}477$ kennst, bekommst du $\log 6 \approx 0{,}778$ ohne Taschenrechner.
Schall und Naturwissenschaft: Wird ein Ton 100-mal intensiver, steigt sein Pegel in Dezibel um einen festen Betrag, denn $\log(100 \cdot I) = 2 + \log I$ .
Gleichungen lösen: In der Lektion Logarithmusgleichungen lösen fasst du $\log_2 x + \log_2(x+2)$ zu einem Logarithmus zusammen, bevor du lösen kannst.
Informatik: Unabhängige Auswahlen multiplizieren die Möglichkeiten, addieren aber die Bits, denn $\log_2(16 \cdot 64) = 4 + 6$ .

Anwendungen im echten Leben

Dezibel und Schallintensität

Der Schallpegel in Dezibel ist $L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$. Wird die Intensität $I$ mit einem Faktor $k$ multipliziert, liefert die Produktregel $\log(k \cdot \frac{I}{I_0}) = \log k + \log\frac{I}{I_0}$, der Pegel steigt also um $10 \log k$.

Beispiel:

Ein Ton, der 10-mal intensiver wird, steigt um $10 \log 10 = 10$ Dezibel, egal bei welchem Pegel er beginnt.

1Probiere es selbst

An einer Straße werden $60$ Dezibel gemessen. Eine Baumaschine macht die Schallintensität $1000$ -mal größer.

Wie hoch ist der neue Schallpegel in Dezibel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere $10 \log(1000)$ zum alten Pegel:

Rechenschieber: Multiplizieren durch Addieren

Ein Rechenschieber markiert jede Zahl $x$ im Abstand $\log x$ vom Anfang. Verschiebt man eine Skala an der anderen, addiert man zwei Abstände, und nach der Produktregel ist die Summe der Abstände der Logarithmus des Produkts.

Beispiel:

Für $2 \cdot 3$ addiert man $\log 2 + \log 3 \approx 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ , und genau dort steht die $6$ .

2Probiere es selbst

Auf einem Rechenschieber steht die $4$ im Abstand $\log 4 \approx 0{,}602$ und die $5$ im Abstand $\log 5 \approx 0{,}699$ . Hintereinander gelegt ergeben sie einen Gesamtabstand.

Welches Produkt zeigt der Rechenschieber?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde die Zahl, deren Logarithmus der Gesamtabstand ist:

Bits an Information

In der Informatik braucht man $\log_2 N$ Bits, um eine von $N$ gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten zu speichern. Zwei unabhängige Auswahlen multiplizieren die Möglichkeiten, addieren aber die Bits.

Beispiel:

Eine Auswahl aus $8$ Symbolen braucht $\log_2 8 = 3$ Bits, eine Auswahl aus $4$ braucht $2$ Bits, zusammen gibt es $32$ Möglichkeiten: $\log_2 32 = 3 + 2 = 5$ Bits.

3Probiere es selbst

Eine Spielfigur wird mit einer von $16$ Farben und einer von $64$ Formen gespeichert.

Wie viele Bits braucht man, um Farbe und Form zusammen zu speichern?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Nutze $\log_2(16 \cdot 64) = \log_2 16 + \log_2 64$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Produktregel: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ für $M > 0$ , $N > 0$ , $b > 0$ , $b \neq 1$
2Sie folgt aus dem Potenzgesetz $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$ : Beim Multiplizieren von Zahlen werden ihre Exponenten addiert
3Zerlegen: den Logarithmus eines Produkts als Summe schreiben, etwa $\log_3(9x) = 2 + \log_3 x$
4Zusammenfassen: eine Summe von Logarithmen mit gleicher Basis zu einem Logarithmus machen, etwa $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 16$
5Mit $\log 2 \approx 0{,}301$ und $\log 3 \approx 0{,}477$ kannst du Logarithmen von Produkten nähern, etwa $\log 6 \approx 0{,}778$
6Für $\log(M + N)$ gibt es keine Regel: Der Logarithmus einer Summe lässt sich nicht aufteilen

Häufig gestellte Fragen

Gilt die Produktregel auch für mehr als zwei Faktoren?

Ja. Wende sie einfach mehrmals an:

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

. Zum Beispiel

\log 42 = \log 2 + \log 3 + \log 7

Gilt sie auch für den natürlichen Logarithmus?

Ja, sie gilt für jede zulässige Basis, auch für

e

\ln(MN) = \ln M + \ln N

. Zum Beispiel

\ln 2 + \ln 5 = \ln 10

Gibt es eine Regel für $\log(M + N)$ ?

Nein. Der Logarithmus einer Summe hat im Allgemeinen keine einfachere Form.

\log(6 + 4) = \log 10 = 1

, aber

\log 6 + \log 4 \approx 1{,}380

Was ist der Unterschied zur Quotienten- und zur Potenzregel?

Sie sind Geschwister derselben Idee. Die Produktregel macht aus Multiplikation eine Addition, die Quotientenregel für Logarithmen macht aus Division eine Subtraktion, die Potenzregel für Logarithmen macht aus einer Potenz eine Multiplikation mit dem Exponenten.

Glossar

Produktregel: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$ : Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen
Zerlegen: Einen Logarithmus als Summe einfacherer Logarithmen schreiben, etwa $\log(2x) = \log 2 + \log x$
Zusammenfassen: Eine Summe von Logarithmen mit gleicher Basis zu einem einzigen Logarithmus machen
Argument (Numerus): Die Zahl im Logarithmus, $M$ in $\log_b M$ ; sie muss positiv sein
Dekadischer Logarithmus: Der Logarithmus zur Basis 10, geschrieben $\log x$

Formelkarte

Produktregel

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Für $M, N > 0$ und $b > 0$, $b \neq 1$

Woher sie kommt

b^m \cdot b^n = b^{m+n}

Beim Multiplizieren von Potenzen werden die Exponenten addiert

Drei Faktoren

\log_b(MNP) = \log_b M + \log_b N + \log_b P

Die Regel mehrmals anwenden

Nützliche Werte

\log 2 \approx 0{,}301

\log 3 \approx 0{,}477

Dekadische Logarithmen zum Schätzen von Logarithmen von Produkten

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Dezibel und Schallintensität

Rechenschieber: Multiplizieren durch Addieren

Bits an Information

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Produktregel

Woher sie kommt

Drei Faktoren

Nützliche Werte

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