Fibonacci-Folge

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche Zahl kommt als Nächstes? $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
1. a)20
2. b)18
3. c)21
4. d)26
Lösung: 21
Das nächste Glied ist $8 + 13 = 21$ .
2.
Mit $F_1 = F_2 = 1$ : Wie lautet $F_{10}$ , die 10. Fibonacci-Zahl?
Lösung: 55
$F_8 = 21$ und $F_9 = 34$ , also $F_{10} = 21 + 34 = 55$ .
3.
Welche Regel erzeugt die Fibonacci-Folge?
1. a)Die beiden vorherigen Glieder addieren
2. b)Das vorherige Glied quadrieren
3. c)Das vorherige Glied mit 2 multiplizieren
4. d)Zum vorherigen Glied 2 addieren
Lösung: Die beiden vorherigen Glieder addieren
Jedes Glied ist die Summe der beiden vorherigen: $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ . Verdoppeln würde stattdessen $1, 2, 4, 8, \ldots$ ergeben.
4.
Zwei benachbarte Fibonacci-Zahlen sind $34$ und $55$ . Wie lautet das nächste Glied?
Lösung: 89
$34 + 55 = 89$ .
5.
In Fibonaccis Kaninchenaufgabe gibt es in den Monaten 1 bis 4 jeweils $1, 1, 2, 3$ Paare. Wie viele Paare gibt es im Monat 7?
Lösung: 13
1. Wie viele Paare gibt es im Monat 5? 5
2. Wie viele Paare gibt es im Monat 6? 8
3. Wie viele Paare gibt es im Monat 7? 13
6.
Beginne bei $F_4 = 3$ und $F_5 = 5$ und bestimme $F_8$ .
Lösung: 21
1. Wie lautet $F_6$ ? 8
2. Wie lautet $F_7$ ? 13
3. Wie lautet $F_8$ ? 21
7.
Welcher Quotient benachbarter Fibonacci-Zahlen liegt am nächsten am goldenen Schnitt $\varphi \approx 1{,}618$ ?
1. a)13/8
2. b)89/55
3. c)3/2
4. d)8/5
Lösung: 89/55
$\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ , dagegen $\frac{8}{5} = 1{,}6$ , $\frac{3}{2} = 1{,}5$ und $\frac{13}{8} = 1{,}625$ . Je später die Glieder, desto näher an $\varphi$ .
8.
Berechne die Summe der ersten 10 Fibonacci-Zahlen: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55$ .
Lösung: 143
Die Summe ist $F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$ .
9.
Zwei benachbarte Fibonacci-Zahlen sind $233$ und $377$ . Rechne rückwärts: Welches Glied steht zwei Plätze vor $233$ ?
Lösung: 89
1. Welches Glied steht direkt vor $233$ ? 144
2. Welches Glied steht davor? 89
3. Probe: Was ist $89 + 144$ ? 233
10.
Jede dritte Fibonacci-Zahl ist gerade. Welches dieser Glieder ist gerade?
1. a) $F_{24}$
2. b) $F_{20}$
3. c) $F_{22}$
4. d) $F_{25}$
Lösung: $F_{24}$
$24 = 3 \cdot 8$ ist ein Vielfaches von 3, also ist $F_{24}$ gerade (es ist $46368$ ). 20, 22 und 25 sind keine Vielfachen von 3.
11.
Die Lucas-Zahlen verwenden die Fibonacci-Regel, beginnen aber mit 2 und 1: $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, \ldots$ Wie lautet das nächste Glied?
Lösung: 29
$11 + 18 = 29$ .
12.
Die Fibonacci-Zahlen $8$ und $13$ sind Nachbarn. Bestimme das nächste Glied und dann den Quotienten aus diesem Glied und $13$ , auf 3 Nachkommastellen gerundet.
Lösung: 1.615
1. Wie lautet das nächste Glied nach $13$ ? 21
2. Was ist $\frac{21}{13}$ auf 3 Nachkommastellen gerundet? 1.615
3. Wie weit ist $1{,}615$ von $1{,}618$ entfernt? 0.003
13.
Verwende die Summenregel $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ , um $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13$ zu berechnen.
Lösung: 33
1. Wie viele Glieder werden addiert? (Das ist $n$ .) 7
2. Die Regel braucht $F_{n+2}$ . Was ist $n + 2$ ? 9
3. Wie lautet $F_9$ ? 34
4. Wie groß ist die Summe $F_9 - 1$ ? 33
14.
Der goldene Schnitt hat die Eigenschaft $\varphi^2 = \varphi + 1$ . Was ist $\varphi^2$ mit $\varphi \approx 1{,}618$ ?
1. a)2,618
2. b)3,236
3. c)2,236
4. d)1,309
Lösung: 2,618
$\varphi^2 = \varphi + 1 \approx 1{,}618 + 1 = 2{,}618$ . Probe: $1{,}618 \cdot 1{,}618 \approx 2{,}618$ . ( $3{,}236$ ist $2\varphi$ , nicht $\varphi^2$ .)
15.
Du gehst eine Treppe hinauf und nimmst 1 oder 2 Stufen auf einmal. Für 1 Stufe gibt es 1 Weg, für 2 Stufen 2 Wege, und jede weitere Anzahl ist die Summe der beiden vorherigen. Auf wie viele Arten kannst du 10 Stufen hinaufgehen?
Lösung: 89
Für 1 bis 10 Stufen: $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$ . 10 Stufen kann man also auf $89$ Arten hinaufgehen (das ist $F_{11}$ ).
16.
Eine neue Folge verwendet die Fibonacci-Regel, beginnt aber mit $4$ und $10$ . Bestimme die Glieder 3 bis 6 und dann den Quotienten aus dem 6. und dem 5. Glied, auf 2 Nachkommastellen gerundet.
Lösung: 1.63
1. Wie lautet das 3. Glied? 14
2. Wie lautet das 4. Glied? 24
3. Wie lautet das 5. Glied? 38
4. Wie lautet das 6. Glied? 62
5. Was ist $\frac{62}{38}$ auf 2 Nachkommastellen gerundet? 1.63
17.
Wie viele der ersten 30 Fibonacci-Zahlen $F_1, F_2, \ldots, F_{30}$ sind gerade?
Lösung: 10
1. An welcher Position steht die erste gerade Fibonacci-Zahl? 3
2. An welcher Position steht die nächste gerade? 6
3. Gerade Glieder stehen an Vielfachen von 3. Wie viele Vielfache von 3 gibt es von 1 bis 30? 10
18.
Prüfe mit Zahlen, dass $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ die Gleichung $\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}$ erfüllt. Runde jedes Ergebnis auf 3 Nachkommastellen.
Lösung: 1.618
1. Was ist $\sqrt{5}$ auf 3 Nachkommastellen gerundet? 2.236
2. Was ist $\frac{1 + 2{,}236}{2}$ ? 1.618
3. Was ist $\frac{1}{1{,}618}$ auf 3 Nachkommastellen gerundet? 0.618
4. Was ist $1 + 0{,}618$ ? 1.618