Erwartungswert

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was stellt der Erwartungswert eines Zufallsexperiments dar?
1. a)Das langfristige Durchschnittsergebnis
2. b)Das minimal mögliche Ergebnis
3. c)Das maximal mögliche Ergebnis
4. d)Das wahrscheinlichste Ergebnis
Lösung: Das langfristige Durchschnittsergebnis
Der Erwartungswert ist das langfristige Durchschnittsergebnis. Wenn du das Experiment viele Male wiederholst, nähert sich dein Durchschnittsergebnis dem Erwartungswert.
2.
Was ist der Erwartungswert beim Werfen einer fairen Münze, wobei Kopf = 1 und Zahl = 0?
Lösung: 0.5
. Der Erwartungswert ist 0,5, was genau zwischen 0 und 1 liegt.
3.
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird geworfen. Was ist der Erwartungswert?
1. a)3
2. b)3,5
3. c)4
4. d)3,25
Lösung: 3,5
. Auch wenn du nie 3,5 würfeln kannst, ist dies der Durchschnitt, den du über viele Würfe erwartest.
4.
Ein Glücksrad hat 4 gleiche Abschnitte mit den Zahlen 2, 4, 6 und 8. Finde den Erwartungswert.
Lösung: 5
1. Was ist die Wahrscheinlichkeit, auf jedem Abschnitt zu landen? 1/4
2. Was ist die Summe aller Ergebnisse? (2+4+6+8) 20
3. Berechne den Erwartungswert: Summe geteilt durch Anzahl der Ergebnisse 5
5.
Eine manipulierte Münze hat 60% Chance auf Kopf (gewinne 3 Euro) und 40% Chance auf Zahl (verliere 2 Euro). Was ist der Erwartungswert?
Lösung: 1
Euro. Im Durchschnitt gewinnst du 1 Euro pro Wurf.
6.
Ein Spiel kostet 5 Euro zum Spielen. Du würfelst und gewinnst 12 Euro, wenn du eine 6 würfelst, sonst gewinnst du nichts. Was ist der erwartete Gewinn?
1. a)0 Euro
2. b)-3 Euro
3. c)-2 Euro
4. d)2 Euro
Lösung: -3 Euro
Euro. Euro. Du verlierst im Durchschnitt 3 Euro.
7.
Ein Lotterielos kostet 2 Euro. Es gibt eine 5% Chance, 20 Euro zu gewinnen, und eine 95% Chance, nichts zu gewinnen. Berechne den erwarteten Gewinn.
Lösung: -1
1. Berechne (erwartete Gewinne vom Preis) 1
2. Berechne (erwartete Gewinne ohne Preis) 0
3. Was ist der gesamte erwartete Gewinn? 1
4. Ziehe die Loskosten (2 Euro) ab, um den erwarteten Profit zu erhalten -1
8.
Wenn ein Spiel einen Erwartungswert von -2 Euro hat, was bedeutet das?
1. a)Du wirst immer 2 Euro verlieren
2. b)Du kannst nie gewinnen
3. c)Im Durchschnitt verlierst du 2 Euro pro Spiel
4. d)Das Spiel kostet 2 Euro zum Spielen
Lösung: Im Durchschnitt verlierst du 2 Euro pro Spiel
Ein negativer Erwartungswert bedeutet, dass du im Durchschnitt Geld verlierst. Du könntest manchmal gewinnen und manchmal verlieren, aber über viele Spiele verlierst du durchschnittlich etwa 2 Euro pro Spiel.
9.
Ein Glücksrad hat 3 Abschnitte: rot (50%), blau (30%), gelb (20%). Rot gewinnt 4 Euro, blau gewinnt 2 Euro, gelb verliert 5 Euro. Was ist der Erwartungswert?
Lösung: 1.6
Euro. Dies ist ein vorteilhaftes Spiel mit positivem Erwartungswert.
10.
Eine Versicherung berechnet 200 Euro pro Jahr. 3% der Kunden reichen Ansprüche von durchschnittlich 4000 Euro ein. Was ist der erwartete Gewinn pro Kunde?
Lösung: 80
1. Berechne die erwartete Auszahlung: 120
2. Was ist die jährlich erhobene Prämie? 200
3. Berechne den erwarteten Gewinn: Prämie minus erwartete Auszahlung 80
11.
Beim europäischen Roulette zahlt ein 10-Euro-Einsatz auf eine einzelne Zahl 350 Euro bei Gewinn (Quote 35:1). Es gibt 37 Zahlen. Was ist der Erwartungswert dieser Wette?
Lösung: -0.27
Euro. Der Hausvorteil beträgt etwa 2,7%.
12.
Eine Spielshow bietet: behalte 1000 Euro ODER wirf eine Münze, wobei Kopf 2500 Euro gewinnt und Zahl 0 Euro gewinnt. Was hat den höheren Erwartungswert und um wie viel?
Lösung: 250
1. Was ist der Erwartungswert, wenn du die 1000 Euro behältst? 1000
2. Berechne den Erwartungswert des Münzwurfs: 1250
3. Welche Option hat den höheren Erwartungswert? Wurf
4. Um wie viel ist er höher? 250
13.
Investition A: 40% Chance auf +30%, 60% Chance auf -10%. Investition B: 80% Chance auf +10%, 20% Chance auf +5%. Welche hat die höhere erwartete Rendite?
1. a)Investition A (9%)
2. b)Sie sind gleich
3. c)Investition A (6%)
4. d)Investition B (9%)
Lösung: Investition B (9%)
A: . B: . B hat die höhere erwartete Rendite (9% vs 6%).
14.
Ein Unternehmen stellt Produkte her. 2% sind defekt und kosten jeweils 500 Euro zum Ersetzen. Gute Produkte bringen 20 Euro Gewinn. Was ist der erwartete Gewinn pro Produkt?
Lösung: 9.6
1. Was ist die Wahrscheinlichkeit eines guten Produkts? 0,98
2. Berechne den erwarteten Gewinn aus guten Produkten: 19,6
3. Berechne den erwarteten Verlust aus Defekten: -10
4. Addiere, um den gesamten erwarteten Gewinn zu finden 9,6
15.
Warum kannst du bei einem einzelnen Würfelwurf nicht erwarten, 3,5 zu würfeln, obwohl der Erwartungswert 3,5 ist?
1. a)Der Erwartungswert ist falsch
2. b)3,5 ist kein mögliches Ergebnis auf einem Würfel
3. c)Du musst zweimal würfeln
4. d)Der Würfel ist unfair
Lösung: 3,5 ist kein mögliches Ergebnis auf einem Würfel
Ein Würfel hat nur Seiten mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Du kannst niemals 3,5 würfeln! Der Erwartungswert ist ein theoretischer Durchschnitt, der über viele Würfe entsteht, kein einzelnes Ergebnis.
16.
Zwei Würfel werden geworfen und ihre Summe wird notiert. Was ist der Erwartungswert der Summe?
Lösung: 7
. Deshalb ist 7 die häufigste Summe beim Werfen von zwei Würfeln!