Stichprobenverteilungen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Eine Umfrage unter 200 zufällig ausgewählten Wählern ergibt, dass 54 % ein neues Gesetz unterstützen. Die 54 % sind hier ein...
1. a)Standardfehler
2. b)Parameter
3. c)Stichprobenkennwert
4. d)Grundgesamtheit
Lösung: Stichprobenkennwert
Die 54 % wurden aus einer Stichprobe von 200 Wählern berechnet, also sind sie ein Stichprobenkennwert ( $\hat{p} = 0{,}54$ ). Der Anteil unter ALLEN Wählern wäre der Parameter $p$ .
2.
Eine Grundgesamtheit hat die Standardabweichung $\sigma = 18$ . Wie groß ist der Standardfehler des Stichprobenmittelwerts bei Stichproben vom Umfang $n = 36$ ?
Lösung: 3
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{18}{\sqrt{36}} = \dfrac{18}{6} = 3$ .
3.
Eine Grundgesamtheit hat den Mittelwert $\mu = 40$ und die Standardabweichung $\sigma = 8$ . Welchen Mittelwert hat die Stichprobenverteilung von $\bar{x}$ bei Stichproben vom Umfang $n = 25$ ?
1. a)8
2. b)40
3. c)200
4. d)1,6
Lösung: 40
$\mu_{\bar{x}} = \mu = 40$ , egal wie groß die Stichprobe ist. Der Umfang ändert nur die Streuung: Der Standardfehler ist $8 / \sqrt{25} = 1{,}6$ .
4.
Schrauben aus einer Maschine haben die mittlere Länge $\mu = 50$ mm und $\sigma = 2$ mm. Ein Arbeiter misst Zufallsstichproben von 16 Schrauben. Bestimme Mittelwert und Standardfehler von $\bar{x}$ .
Lösung: 0.5
1. Wie groß ist der Mittelwert der Stichprobenverteilung, $\mu_{\bar{x}}$ (in mm)? 50
2. Wie groß ist $\sqrt{16}$ ? 4
3. Wie groß ist der Standardfehler $2 / 4$ (in mm)? 0.5
5.
IQ-Werte haben in einer Testgruppe $\mu = 100$ und $\sigma = 10$ . Wie groß ist der Standardfehler des mittleren IQ von Zufallsstichproben mit $n = 100$ Personen?
Lösung: 1
$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{10}{\sqrt{100}} = \dfrac{10}{10} = 1$ . Der Mittelwert $\mu = 100$ spielt für den Standardfehler keine Rolle.
6.
20 % der Apps in einem Store sind Spiele ( $p = 0{,}2$ ). Du ziehst Zufallsstichproben von $n = 100$ Apps. Prüfe die Bedingungen und bestimme den Standardfehler von $\hat{p}$ .
Lösung: 0.04
1. Wie groß ist $np = 100 \cdot 0{,}2$ ? 20
2. Wie groß ist $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}8$ ? 80
3. Beide sind mindestens 10. Wie groß ist $\sqrt{\dfrac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{100}}$ ? 0.04
7.
Hauspreise in einer Region sind stark rechtsschief. Bei welchem Stichprobenumfang ist die Stichprobenverteilung des mittleren Preises am ehesten normal?
1. a)n = 5
2. b)n = 10
3. c)n = 40
4. d)n = 15
Lösung: n = 40
Die Grundgesamtheit ist schief, also macht nur eine große Stichprobe $\bar{x}$ annähernd normalverteilt (zentraler Grenzwertsatz, Faustregel $n \geq 30$ ). Von den Antworten erfüllt nur $n = 40$ diese Regel.
8.
Eine Grundgesamtheit hat $\mu = 80$ und $\sigma = 12$ . Eine Zufallsstichprobe mit $n = 16$ hat den Mittelwert $\bar{x} = 86$ . Wie groß ist der z-Wert dieses Stichprobenmittelwerts?
Lösung: 2
Standardfehler $= 12 / 4 = 3$ , also $z = \dfrac{86 - 80}{3} = \dfrac{6}{3} = 2$ . Der Stichprobenmittelwert liegt 2 Standardfehler über $\mu$ .
9.
Eine Grundgesamtheit hat $\sigma = 20$ . Vergleiche den Standardfehler von $\bar{x}$ für $n = 25$ und für $n = 100$ .
Lösung: 0.5
1. Wie groß ist der Standardfehler für $n = 25$ ? 4
2. Wie groß ist der Standardfehler für $n = 100$ ? 2
3. Wie groß ist (neuer Standardfehler) $\div$ (alter Standardfehler)? 0.5
10.
Eine Münze ist fair ( $p = 0{,}5$ ). Du wirfst sie $n = 100$ -mal und notierst den Anteil $\hat{p}$ für Kopf. Wie groß ist der Standardfehler von $\hat{p}$ ?
1. a)0,0025
2. b)0,5
3. c)0,05
4. d)0,25
Lösung: 0,05
$\sqrt{\dfrac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100}} = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05$ . Der Wert 0,0025 ist die Varianz (Wurzel vergessen), 0,25 ist $p(1-p)$ und 0,5 ist $p$ selbst.
11.
Prüfungsergebnisse sind normalverteilt mit $\mu = 70$ und $\sigma = 15$ . Bestimme für eine zufällige Klasse mit $n = 25$ Lernenden $P(\bar{x} < 67)$ . Benutze $P(Z < -1) = 0{,}1587$ .
Lösung: 0.1587
1. Wie groß ist $\sqrt{25}$ ? 5
2. Wie groß ist der Standardfehler $15 / 5$ ? 3
3. Wie groß ist $z = \dfrac{67 - 70}{3}$ ? -1
4. Wie groß ist $P(\bar{x} < 67)$ ? 0.1587
12.
Handyakkus halten $\mu = 50$ Stunden mit $\sigma = 12$ Stunden. Bestimme für eine Zufallsstichprobe von $n = 36$ Akkus $P(\bar{x} > 54)$ . Benutze $P(Z < 2) = 0{,}9772$ und gib das Ergebnis als Dezimalzahl an.
Lösung: 0.0228
$n = 36 \geq 30$ , also ist $\bar{x}$ annähernd normalverteilt. Standardfehler $= 12 / 6 = 2$ , $z = \dfrac{54 - 50}{2} = 2$ , $P(\bar{x} > 54) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$ .
13.
Etwa 5 % der Glühbirnen einer Fabrik sind defekt ( $p = 0{,}05$ ). Eine Prüferin zieht Zufallsstichproben von $n = 120$ Birnen. Darf sie für $\hat{p}$ die Normalverteilung benutzen? Wenn nicht, wie groß muss $n$ sein?
Lösung: 200
1. Wie groß ist $np = 120 \cdot 0{,}05$ ? 6
2. Wie groß ist $n(1-p) = 120 \cdot 0{,}95$ ? 114
3. Passt die Normalverteilung? Nein
4. Was ist das kleinste $n$ mit $n \cdot 0{,}05 \geq 10$ ? 200
14.
Das Gewicht von Äpfeln ist normalverteilt mit $\mu = 180$ g und $\sigma = 20$ g. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass EIN Apfel mehr als 185 g wiegt, und dass der Mittelwert einer Tüte mit 16 Äpfeln über 185 g liegt. Benutze $P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987$ und $P(Z < 1) = 0{,}8413$ .
Lösung: 0.1587
1. z-Wert eines Apfels mit 185 g: $\dfrac{185 - 180}{20}$ ? 0.25
2. $P$ (ein Apfel $> 185$ g)? 0.4013
3. Standardfehler des Tütenmittelwerts, $20 / \sqrt{16}$ ? 5
4. z-Wert eines Tütenmittelwerts von 185 g? 1
5. $P$ (Tütenmittelwert $> 185$ g)? 0.1587
15.
Welche Aussage über den zentralen Grenzwertsatz ist richtig?
1. a)Der Standardfehler wächst mit dem Stichprobenumfang
2. b)Bei großem n wird die Grundgesamtheit selbst normalverteilt
3. c)Er gilt nur, wenn die Grundgesamtheit schon normalverteilt ist
4. d)Bei großem n ist der Stichprobenmittelwert annähernd normalverteilt, egal welche Form die Grundgesamtheit hat
Lösung: Bei großem n ist der Stichprobenmittelwert annähernd normalverteilt, egal welche Form die Grundgesamtheit hat
Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass bei großem $n$ die Verteilung des Stichproben-MITTELWERTS annähernd normal ist, egal welche Form die Grundgesamtheit hat. Er ändert die Grundgesamtheit nicht, gilt auch für nicht normalverteilte Grundgesamtheiten, und der Standardfehler $\sigma / \sqrt{n}$ wird mit wachsendem $n$ kleiner, nicht größer.
16.
Lieferzeiten haben $\sigma = 15$ Minuten. Eine Firma möchte, dass der Standardfehler der mittleren Lieferzeit 1,5 Minuten beträgt. Wie viele Lieferungen muss sie erfassen? Wie viele für einen Standardfehler von 0,75 Minuten?
Lösung: 400
1. Aus $15 / \sqrt{n} = 1{,}5$ : Wie groß ist $\sqrt{n}$ ? 10
2. Wie groß ist also $n$ ? 100
3. Aus $15 / \sqrt{n} = 0{,}75$ : Wie groß ist $\sqrt{n}$ ? 20
4. Wie groß ist $n$ jetzt? 400
17.
40 % der Haushalte einer Stadt haben ein Haustier ( $p = 0{,}4$ ). Bestimme für eine Zufallsstichprobe von $n = 150$ Haushalten $P(\hat{p} > 0{,}46)$ . Benutze $P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332$ und gib das Ergebnis als Dezimalzahl an.
Lösung: 0.0668
Bedingungen: $np = 60$ , $n(1-p) = 90$ , beide mindestens 10. Standardfehler $= \sqrt{0{,}24 / 150} = \sqrt{0{,}0016} = 0{,}04$ . $z = \dfrac{0{,}46 - 0{,}4}{0{,}04} = 1{,}5$ , also $P(\hat{p} > 0{,}46) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
18.
LED-Lampen halten $\mu = 1000$ Stunden mit $\sigma = 80$ Stunden. Bestimme für eine Zufallsstichprobe von $n = 64$ Lampen $P(990 < \bar{x} < 1020)$ . Benutze $P(Z < -1) = 0{,}1587$ und $P(Z < 2) = 0{,}9772$ .
Lösung: 0.8185
1. Wie groß ist der Standardfehler $80 / \sqrt{64}$ ? 10
2. Wie groß ist der z-Wert von $\bar{x} = 990$ ? -1
3. Wie groß ist der z-Wert von $\bar{x} = 1020$ ? 2
4. Wie groß ist $P(990 < \bar{x} < 1020)$ ? 0.8185