Leitfaden für Lehrer: Stichprobenverteilungen

Lerne, wie Stichprobenmittelwerte und Stichprobenanteile von Stichprobe zu Stichprobe schwanken, was der Standardfehler ist und warum sie nach dem zentralen Grenzwertsatz annähernd normalverteilt sind.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Parameter und Stichprobenkennwert unterscheiden und die Symbole $\mu$ , $\sigma$ , $p$ , $\bar{x}$ , $\hat{p}$ richtig verwenden
Mittelwert und Standardfehler der Stichprobenverteilung von $\bar{x}$ und von $\hat{p}$ bestimmen
Den zentralen Grenzwertsatz formulieren und entscheiden, wann eine Stichprobenverteilung annähernd normalverteilt ist
Wahrscheinlichkeiten für einen Stichprobenmittelwert oder Stichprobenanteil mit z-Werten und der z-Tabelle berechnen
Erklären, warum größere Stichproben genauere Schätzungen liefern, und den Stichprobenumfang für einen vorgegebenen Standardfehler bestimmen

Voraussetzungen

• Einführung in die Normalverteilung: Mittelwert, Standardabweichung und Glockenkurve
• z-Werte (Standardisierung): $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$
• Standardnormalverteilung: Ablesen der z-Tabelle
• Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung: Flächen links, rechts und zwischen Werten
• Standardabweichung berechnen: Streuung eines Datensatzes

Diskussionsstarter

1. Zwei Umfragen zur selben Wahl ergeben 48 % und 52 %. Heißt das, dass eine der beiden einen Fehler gemacht hat?
2. Warum ist es viel unwahrscheinlicher, dass der Mittelwert von 36 Akkus unter 47 Stunden liegt, als dass ein einzelner Akku das tut?
3. Eine Firma sagt, sie habe 10 Kunden befragt und 90 % seien zufrieden. Was würdest du wissen wollen, bevor du dieser Zahl traust?
4. Warum halbiert die doppelte Stichprobengröße den Standardfehler nicht?

Häufige Missverständnisse

Eine große Stichprobe macht die Daten normalverteilt

Abhilfe: Vergleiche im Simulator das Histogramm EINER großen Stichprobe (es sieht aus wie die schiefe Grundgesamtheit) mit dem Histogramm vieler Stichproben-MITTELWERTE (es wird zur Glockenkurve).

Standardfehler und Standardabweichung sind dasselbe

Abhilfe: Zeige das Feld der Grundgesamtheit ( $\sigma$ ) neben der Standardabweichung der Mittelwerte im Simulator. Lass die Lernenden den zweiten Wert mit $\sigma / \sqrt{n}$ vorhersagen, bevor sie den Knopf drücken.

Eine größere Grundgesamtheit braucht eine größere Stichprobe

Abhilfe: Zeige, dass in der Formel $\sigma / \sqrt{n}$ keine Größe der Grundgesamtheit vorkommt. Vergleiche es mit dem Probieren einer Suppe: Ein Löffel verrät den Geschmack eines kleinen oder großen Topfes gleich gut, wenn umgerührt wurde.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Beginne mit dem Würfel-Simulator und nur mit der Lage: Die Mittelwerte häufen sich immer um 3,5
• Gib eine Tabelle mit $n$ , $\sqrt{n}$ und $\sigma / \sqrt{n}$ für Quadratzahlen (4, 9, 16, 25, 36, 100)
• Übe das Sortieren von Zahlen in Parameter und Kennwert, bevor Formeln kommen

Für Schüler auf Niveau:

• Standardfehler und z-Werte für Stichprobenmittelwerte mit der z-Tabelle berechnen
• Die Bedingungen für die Normalverteilung von $\hat{p}$ prüfen und den Standardfehler berechnen
• Die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert mit der für einen Stichprobenmittelwert vergleichen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Den nötigen Stichprobenumfang für einen vorgegebenen Standardfehler oder eine Fehlertoleranz bestimmen
• Die schiefe und die zweigipflige Grundgesamtheit untersuchen und sehen, wie schnell der zentrale Grenzwertsatz wirkt
• $\sigma / \sqrt{n}$ aus der Regel herleiten, dass sich Varianzen unabhängiger Werte addieren

Standardausrichtung

HSS-IC.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.A.1)
Statistik als Verfahren verstehen, mit dem aus einer Zufallsstichprobe auf Parameter der Grundgesamtheit geschlossen wird
HSS-IC.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.IC.B.4)
Mit Daten aus einer Stichprobenerhebung einen Mittelwert oder Anteil der Grundgesamtheit schätzen; eine Fehlertoleranz mit Simulationen von Zufallsstichproben entwickeln
HSS-ID.A.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSS.ID.A.4)
Mit Mittelwert und Standardabweichung eines Datensatzes eine Normalverteilung anpassen und Anteile der Grundgesamtheit schätzen

Lektionsressourcen

visualStichproben-Simulator
Ziehe 1, 100 oder 1000 Stichproben aus einer schiefen Grundgesamtheit, einem Würfel oder einer Ja/Nein-Grundgesamtheit und sieh zu, wie das Histogramm der Mittelwerte normal wird
activityWürfelexperiment in der Klasse
Alle würfeln mit 5 Würfeln und melden den Mittelwert; die Klasse erstellt ein Punktdiagramm der Mittelwerte und vergleicht es mit einzelnen Würfen
worksheetWahrscheinlichkeiten für Mittelwerte und Anteile
Übungen zu Standardfehlern, Bedingungen und Wahrscheinlichkeiten aus der z-Tabelle für Stichprobenmittelwerte und -anteile

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein Parameter ist eine Zahl, die eine ganze Grundgesamtheit beschreibt, zum Beispiel den Mittelwert (Erwartungswert)

\mu

, die Standardabweichung

\sigma

oder den Anteil

p

der Grundgesamtheit. Ein Stichprobenkennwert (eine Statistik) wird aus einer Stichprobe berechnet, zum Beispiel der Stichprobenmittelwert

\bar{x}

oder der Stichprobenanteil

\hat{p}

. Der Parameter ist fest (aber meist unbekannt), der Kennwert ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe.

Die Stichprobenverteilung eines Kennwerts ist die Verteilung seiner Werte über alle möglichen Zufallsstichproben desselben Umfangs

n

Stichprobenverteilung des Mittelwerts $\bar{x}$

Lage: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (die Stichprobenmittelwerte liegen um den Mittelwert der Grundgesamtheit)
Streuung: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , der Standardfehler
Form (zentraler Grenzwertsatz): Ist die Grundgesamtheit normalverteilt, ist $\bar{x}$ für jedes $n$ normalverteilt. Wenn nicht, ist $\bar{x}$ bei großem $n$ trotzdem annähernd normalverteilt, meist ab $n \geq 30$ .

Eine Wahrscheinlichkeit für einen Stichprobenmittelwert berechnest du daher mit dem z-Wert

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Stichprobenverteilung des Anteils $\hat{p}$

Lage: $\mu_{\hat{p}} = p$
Streuung: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Form: annähernd normalverteilt, wenn $np \geq 10$ und $n(1-p) \geq 10$

Diese Formeln setzen eine Zufallsstichprobe mit unabhängigen Werten voraus (in der Praxis: die Stichprobe umfasst weniger als etwa 10 % der Grundgesamtheit).

Lösungsbeispiele

Eine Schule hat 1200 Schülerinnen und Schüler. Ihre mittlere Körpergröße beträgt 165 cm. Ein Klassenprojekt misst eine Zufallsstichprobe von 50 Lernenden und erhält einen Mittelwert von 163,2 cm. Welche Zahl ist ein Parameter, welche ein Stichprobenkennwert?

Finde die Zahl, die die ganze Grundgesamtheit beschreibt

165 cm ist der Mittelwert aller 1200 Lernenden → Parameter:

\mu = 165

Finde die Zahl, die aus der Stichprobe stammt

163,2 cm ist der Mittelwert der 50 gemessenen Lernenden → Kennwert:

\bar{x} = 163{,}2

Denk an eine zweite Stichprobe

Eine andere Zufallsstichprobe von 50 Lernenden ergäbe einen etwas anderen Mittelwert, zum Beispiel 166,0 cm →

\bar{x}

schwankt,

\mu

bleibt fest

Antwort: $\mu = 165$ cm ist der Parameter, $\bar{x} = 163{,}2$ cm ist ein Stichprobenkennwert. Der Kennwert ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe, und genau das beschreibt eine Stichprobenverteilung.

Häufige Fehler

Bei einer Frage zum Stichprobenmittelwert $\sigma$ statt $\sigma / \sqrt{n}$ verwenden

Warum es falsch ist: $\sigma$ ist die Streuung einzelner Werte. Mittelwerte schwanken viel weniger, mit $\sigma$ wirken ungewöhnliche Mittelwerte viel zu wahrscheinlich.

Richtig: Teile bei $\bar{x}$ immer durch den Standardfehler: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Für einen einzelnen Wert gilt $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Durch $n$ statt durch $\sqrt{n}$ teilen

Warum es falsch ist: Mit $\sigma = 12$ und $n = 36$ ergibt die Division durch $n$ den Wert $0{,}33$ statt des richtigen Standardfehlers $2$ , jeder z-Wert wird dadurch 6-mal zu groß.

Richtig: Zieh zuerst die Wurzel aus $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Glauben, der zentrale Grenzwertsatz mache die Grundgesamtheit oder die Daten normalverteilt

Warum es falsch ist: Eine große Stichprobe aus einer schiefen Grundgesamtheit ist immer noch schief: Ihr Histogramm sieht aus wie die Grundgesamtheit. Nur die Verteilung der Stichproben-MITTELWERTE wird normal.

Richtig: Der zentrale Grenzwertsatz handelt von der Stichprobenverteilung von $\bar{x}$ , nicht von einzelnen Werten.

Für $\hat{p}$ die Normalverteilung benutzen, ohne $np \geq 10$ und $n(1-p) \geq 10$ zu prüfen

Warum es falsch ist: Mit $p = 0{,}05$ und $n = 40$ ist $np = 2$ : Die meisten Stichproben haben 0, 1, 2 oder 3 Treffer, und die Verteilung von $\hat{p}$ ist stark schief.

Richtig: Prüfe zuerst beide Bedingungen. Ist eine verletzt, nimm eine größere Stichprobe oder benutze die Binomialverteilung.

Warum es wichtig ist

Fast jede Zahl aus einer Umfrage in den Nachrichten ist ein Stichprobenkennwert, kein Parameter:

Wahlumfragen: Eine Umfrage unter 1000 Wählern schätzt den Anteil unter allen Wählern. Der Standardfehler sagt dir, wie weit die Umfrage wahrscheinlich von der Wahrheit entfernt ist.
Qualitätskontrolle: Eine Fabrik prüft das mittlere Gewicht einer Stichprobe von Packungen, statt jede Packung zu wiegen.
Medizin: Eine klinische Studie misst die mittlere Wirkung an einigen hundert Patienten und zieht Schlüsse für alle.
Naturwissenschaften: Der Mittelwert wiederholter Messungen verringert zufällige Fehler.

Die Kernidee: Der Standardfehler

\sigma / \sqrt{n}

wird kleiner, wenn die Stichprobe wächst. Viermal so viele Personen halbieren den Fehler, deshalb sind größere Umfragen genauer. Der zentrale Grenzwertsatz erlaubt dir dann, die Normalverteilung, z-Werte und die z-Tabelle zu benutzen, die du schon kennst, auch wenn die Grundgesamtheit selbst nicht normalverteilt ist.

Anwendungen im echten Leben

Wahlumfragen

Umfrageinstitute befragen etwa 1000 Personen und geben eine Fehlertoleranz an. Diese Toleranz kommt direkt aus dem Standardfehler von $\hat{p}$.

Beispiel:

Wenn die wahre Zustimmung $p = 0{,}5$ ist, hat eine Umfrage mit 1000 Personen den Standardfehler $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , also liegen etwa 95 % solcher Umfragen höchstens rund 3 Prozentpunkte neben der Wahrheit.

1Probiere es selbst

Eine kleinere Umfrage befragt $n = 400$ zufällig ausgewählte Wähler. Die wahre Zustimmung für eine Kandidatin ist $p = 0{,}5$ .

Wie groß ist der Standardfehler des Stichprobenanteils $\hat{p}$ ?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Qualitätskontrolle im Café

Abfüllmaschinen für Becher werden mit Mittelwerten kleiner Stichproben überwacht. Liegt ein Mittelwert, gemessen in Standardfehlern, zu weit vom Sollwert entfernt, gibt es Alarm.

Beispiel:

Eine Maschine füllt Becher mit $\mu = 250$ mL und $\sigma = 8$ mL. Ein Prüfer misst 16 Becher, der Standardfehler ist also $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Probiere es selbst

Die 16 Becher haben den Mittelwert $\bar{x} = 246$ mL. Die Maschine ist auf $\mu = 250$ mL mit $\sigma = 8$ mL eingestellt.

Wie groß ist der z-Wert dieses Stichprobenmittelwerts?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Planung einer medizinischen Studie

Vor Beginn einer Studie wählen Forschende den Stichprobenumfang so, dass der Standardfehler klein genug ist. Wegen der Wurzel braucht man für den halben Fehler viermal so viele Patienten.

Beispiel:

Der Blutdruck hat $\sigma = 20$ mmHg. Mit 25 Patienten ist der Standardfehler $20 / 5 = 4$ mmHg, mit 100 Patienten $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Probiere es selbst

Forschende wollen, dass der Standardfehler des mittleren Blutdrucks 2 mmHg beträgt. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist $\sigma = 20$ mmHg.

Wie viele Patienten brauchen sie?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Aus $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ folgt $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Wichtige Erkenntnisse

1Ein Parameter ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) beschreibt die Grundgesamtheit und ist fest; ein Stichprobenkennwert ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) stammt aus einer Stichprobe und schwankt von Stichprobe zu Stichprobe
2Die Stichprobenverteilung von $\bar{x}$ hat den Mittelwert $\mu$ und den Standardfehler $\sigma / \sqrt{n}$
3Zentraler Grenzwertsatz: Ab etwa $n \geq 30$ ist der Stichprobenmittelwert annähernd normalverteilt, egal welche Form die Grundgesamtheit hat; ist die Grundgesamtheit normalverteilt, für jedes $n$
4Für eine Wahrscheinlichkeit zum Stichprobenmittelwert benutzt du $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ und die z-Tabelle
5Der Stichprobenanteil $\hat{p}$ hat den Mittelwert $p$ und den Standardfehler $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; er ist annähernd normalverteilt, wenn $np \geq 10$ und $n(1-p) \geq 10$
6Größere Stichproben liefern genauere Schätzungen: der vierfache Stichprobenumfang halbiert den Standardfehler

Häufig gestellte Fragen

Warum steht im Standardfehler $\sqrt{n}$ und nicht $n$ ?

Die Varianz eines Mittelwerts aus

n

unabhängigen Werten ist

\sigma^2 / n

. Der Standardfehler ist ihre Wurzel:

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. Deshalb brauchst du viermal so viele Werte, um den Fehler zu halbieren.

Ist 30 eine magische Zahl?

Nein, das ist eine Faustregel. Ist die Grundgesamtheit schon fast normalverteilt, reichen viel kleinere Stichproben; bei einer sehr schiefen Grundgesamtheit (etwa Einkommen) brauchst du eventuell mehr als 30. Probier es im Simulator aus: Die schiefe Grundgesamtheit braucht ein größeres

n

als der Würfel.

Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung und Standardfehler?

Die Standardabweichung

\sigma

misst, wie stark einzelne Werte schwanken. Der Standardfehler

\sigma / \sqrt{n}

misst, wie stark ein Kennwert, etwa der Stichprobenmittelwert, von Stichprobe zu Stichprobe schwankt. Für

n > 1

ist der Standardfehler immer kleiner.

Spielt die Größe der Grundgesamtheit eine Rolle?

Kaum, solange die Stichprobe nur ein kleiner Teil der Grundgesamtheit ist (weniger als etwa 10 %). Eine Zufallsstichprobe von 1000 Personen ist für eine Stadt etwa genauso genau wie für ein ganzes Land. Entscheidend ist der Stichprobenumfang

n

Glossar

Parameter: Eine Zahl, die eine ganze Grundgesamtheit beschreibt, etwa $\mu$ , $\sigma$ oder $p$ ; meist unbekannt
Stichprobenkennwert: Eine aus einer Stichprobe berechnete Zahl, etwa $\bar{x}$ oder $\hat{p}$ ; sie ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe
Stichprobenverteilung: Die Verteilung eines Kennwerts über alle möglichen Zufallsstichproben desselben Umfangs $n$
Standardfehler: Die Standardabweichung einer Stichprobenverteilung, zum Beispiel $\sigma / \sqrt{n}$ für den Stichprobenmittelwert
Zentraler Grenzwertsatz: Bei großem $n$ ist die Stichprobenverteilung des Mittelwerts annähernd normalverteilt, egal welche Form die Grundgesamtheit hat
Stichprobenanteil: Der Anteil der Treffer in einer Stichprobe (relative Häufigkeit), $\hat{p} = \dfrac{\text{Anzahl der Treffer}}{n}$

Formelkarte

Mittelwert des Stichprobenmittelwerts

\mu_{\bar{x}} = \mu

Stichprobenmittelwerte liegen um den Mittelwert der Grundgesamtheit

Standardfehler des Mittelwerts

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Streuung der Stichprobenmittelwerte; wird kleiner, wenn $n$ wächst

z-Wert eines Stichprobenmittelwerts

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Mit der z-Tabelle benutzen, wenn $n \geq 30$ oder die Grundgesamtheit normalverteilt ist

Standardfehler eines Anteils

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Normalverteilung, wenn $np \geq 10$ und $n(1-p) \geq 10$

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Stichprobenverteilung des Mittelwerts xˉ\bar{x}xˉ

Stichprobenverteilung des Anteils p^\hat{p}p^​

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Wahlumfragen

Qualitätskontrolle im Café

Planung einer medizinischen Studie

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Mittelwert des Stichprobenmittelwerts

Standardfehler des Mittelwerts

z-Wert eines Stichprobenmittelwerts

Standardfehler eines Anteils

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Diskrete vs stetige Verteilungen

Erwartungswert

Stichprobenverteilung des Mittelwerts $\bar{x}$

Stichprobenverteilung des Anteils $\hat{p}$