Boxplots (Kastengrafiken)

Lerne, Boxplots zu erstellen und zu interpretieren, um die Datenverteilung mit der Fünf-Punkte-Zusammenfassung zu visualisieren.

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Definition

Ein Boxplot (auch Kastengrafik oder Box-Whisker-Diagramm genannt) ist eine visuelle Darstellung von Daten, die zeigt, wie die Daten verteilt sind. Er verwendet fünf Schlüsselwerte, die Fünf-Punkte-Zusammenfassung genannt werden:
  1. 1.Minimum - der kleinste Wert (ohne Ausreißer)
  2. 2.Q1 (Erstes Quartil) - der Median der unteren Hälfte (25. Perzentil)
  3. 3.Median (Q2) - der mittlere Wert (50. Perzentil)
  4. 4.Q3 (Drittes Quartil) - der Median der oberen Hälfte (75. Perzentil)
  5. 5.Maximum - der größte Wert (ohne Ausreißer)
Die Box zeigt, wo die mittleren 50% der Daten liegen (von Q1 bis Q3). Die Whisker (Antennen) erstrecken sich bis zum Minimum und Maximum. Punkte außerhalb der Whisker sind Ausreißer.

Probier es gleich aus

Für den Datensatz: 5, 8, 12, 15, 18, 22, 25, was ist der Median?

Lösungsbeispiele

Finde die Fünf-Punkte-Zusammenfassung für diesen Datensatz: 12, 18, 22, 25, 28, 30, 35, 42, 45
1

Ordne die Daten vom kleinsten zum größten Wert

Bereits geordnet: 12, 18, 22, 25, 28, 30, 35, 42, 45 → 9 Werte in Reihenfolge
2

Finde das Minimum und Maximum

Minimum = 12, Maximum = 45 → Min = 12, Max = 45
3

Finde den Median (mittlerer Wert)

Bei 9 Werten ist der Median der 5. Wert: 28 → Median = 28
4

Finde Q1 (Median der unteren Hälfte)

Untere Hälfte: 12, 18, 22, 25. Q1 = (18 + 22) / 2 = 20 → Q1 = 20
5

Finde Q3 (Median der oberen Hälfte)

Obere Hälfte: 30, 35, 42, 45. Q3 = (35 + 42) / 2 = 38,5 → Q3 = 38,5

Häufige Fehler

Den Median bei der Bestimmung von Q1 und Q3 einbeziehen

Warum es falsch ist: Bei einer ungeraden Anzahl von Datenpunkten ist der Median ein einzelner Wert. Bei der Bestimmung von Q1 und Q3 solltest du diesen Medianwert NICHT in eine der Hälften einbeziehen.

Richtig: Teile die Daten am Median und lasse ihn aus beiden Hälften heraus, dann finde den Median jeder Hälfte separat.

Denken, dass ein längerer Whisker mehr Datenpunkte bedeutet

Warum es falsch ist: Die Whiskerlänge zeigt die Spannweite der Daten, nicht die Menge. Ein langer Whisker könnte nur wenige weit gestreute Werte darstellen.

Richtig: Jeder Abschnitt eines Boxplots (jedes Quartil) enthält 25% der Daten, unabhängig davon, wie breit oder schmal er erscheint.

Median mit Mittelwert verwechseln

Warum es falsch ist: Die Linie in der Box zeigt den Median (mittlerer Wert), nicht den Mittelwert (Durchschnitt). Diese können sehr unterschiedlich sein, besonders bei Ausreißern.

Richtig: Boxplots verwenden den Median, weil er nicht von Extremwerten beeinflusst wird, was ihn zu einem besseren Maß für den typischen Wert macht.

Interaktive Visualisierung

Boxplot-Ersteller

12Q1: 2028Q3: 38,545
Min
12
Q1
20
Median
28
Q3
38,5
Max
45
IQR (Q3 - Q1):18,5
Spannweite:33
Sortierte Daten:
12; 18; 22; 25; 28; 30; 35; 42; 45
n = 9

Klicke auf Teile des Boxplots, um zu erfahren, was sie darstellen.

Boxplot-Ersteller

52Q1: 6572Q3: 8095
Min
52
Q1
65
Median
72
Q3
80
Max
95
IQR (Q3 - Q1):15
Spannweite:43
Ausreißer:38

Klicke auf Teile des Boxplots, um zu erfahren, was sie darstellen.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was stellt die Linie innerhalb eines Boxplots dar?

Warum es wichtig ist

Boxplots sind mächtige Werkzeuge, die überall verwendet werden:
  • Wissenschaft: Vergleich von Versuchsergebnissen verschiedener Gruppen
  • Sport: Analyse von Spielerstatistiken (erzielte Punkte, Tordurchschnitte)
  • Wirtschaft: Vergleich von Gehältern, Verkaufszahlen oder Kundenzufriedenheit zwischen Abteilungen
  • Gesundheitswesen: Vergleich von Patientengenesungszeiten oder Testergebnissen
  • Bildung: Visualisierung von Testergebnisverteilungen zwischen Klassen
Anders als Balkendiagramme oder Kreisdiagramme zeigen Boxplots die Streuung und den Mittelpunkt der Daten auf einen Blick, wodurch es einfach ist, ungewöhnliche Werte zu erkennen und Gruppen zu vergleichen.

Anwendungen im echten Leben

Sportleistungen vergleichen

Trainer nutzen Boxplots, um Spielerstatistiken zu vergleichen und konstante Leistungsträger zu identifizieren.

Beispiel:

Die Punkte pro Spiel von zwei Basketballspielern werden in Boxplots dargestellt. Spieler A: Median 18, IQR 4. Spieler B: Median 20, IQR 12. Spieler B erzielt durchschnittlich mehr, aber Spieler A ist konstanter.

1Probiere es selbst

Die Tore pro Spiel einer Fußballmannschaft letzte Saison: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 6

Finde die Fünf-Punkte-Zusammenfassung, um das Tormuster der Mannschaft zu analysieren.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Finde zuerst den Median (mittlerer Wert von 11 Datenpunkten):

Testergebnisse analysieren

Lehrer nutzen Boxplots, um die Klassenleistung zu verstehen und Schüler zu identifizieren, die zusätzliche Hilfe benötigen.

Beispiel:

Wenn eine Klasse einen Median von 75%, Q1 bei 68% und Q3 bei 85% hat, haben etwa 25% der Schüler unter 68% erzielt und benötigen möglicherweise zusätzliche Unterstützung.

2Probiere es selbst

Zwei Klassen haben denselben Test geschrieben. Klasse A: Min 45, Q1 60, Median 72, Q3 82, Max 98. Klasse B: Min 55, Q1 70, Median 75, Q3 80, Max 90.

Welche Klasse hat insgesamt besser abgeschnitten? Welche hatte konstantere Ergebnisse?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne den IQR für jede Klasse:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein Boxplot stellt Daten mit der Fünf-Punkte-Zusammenfassung dar: Minimum, Q1, Median, Q3, Maximum
  • 2Die Box zeigt die mittleren 50% der Daten (Interquartilsabstand = Q3 - Q1)
  • 3Die Medianlinie zeigt, wo die Mitte der Daten liegt
  • 4Whisker erstrecken sich bis zu den kleinsten und größten Werten, die keine Ausreißer sind
  • 5Ausreißer sind Werte, die mehr als das 1,5-fache des IQR über Q3 oder unter Q1 liegen
  • 6Boxplots eignen sich hervorragend zum Vergleich von Verteilungen zwischen Gruppen

Häufig gestellte Fragen

Boxplots zeigen viel mehr Informationen: den Median (der nicht von Ausreißern beeinflusst wird), wie stark die mittleren 50% gestreut sind, ob die Daten symmetrisch oder schief sind, und welche Werte ungewöhnliche Ausreißer sind. Mittelwert und Spannweite können irreführend sein, wenn Extremwerte existieren.
Boxplots zeigen viel mehr Informationen: den Median (der nicht von Ausreißern beeinflusst wird), wie stark die mittleren 50% gestreut sind, ob die Daten symmetrisch oder schief sind, und welche Werte ungewöhnliche Ausreißer sind. Mittelwert und Spannweite können irreführend sein, wenn Extremwerte existieren.
Der Median gibt den typischen Wert an, aber die Boxgröße (IQR) sagt etwas über die Konstanz aus. Eine kleinere Box bedeutet, dass die Daten stärker um den Median gruppiert sind (konstanter), während eine größere Box mehr Variabilität bedeutet.
Berechne die Grenzen: Untere Grenze = Q1 - 1,5 ×\times IQR, Obere Grenze = Q3 + 1,5 ×\times IQR. Alle Datenpunkte außerhalb dieser Grenzen sind Ausreißer und sollten als einzelne Punkte eingezeichnet werden.

Glossar

Boxplot
Ein Diagramm, das die Fünf-Punkte-Zusammenfassung eines Datensatzes darstellt
Fünf-Punkte-Zusammenfassung
Das Minimum, Q1, der Median, Q3 und das Maximum eines Datensatzes
Quartil
Werte, die Daten in vier gleiche Teile unterteilen (Q1 = 25%, Q2/Median = 50%, Q3 = 75%)
IQR (Interquartilsabstand)
Die Spannweite der mittleren 50% der Daten, berechnet als Q3 - Q1
Ausreißer
Ein Datenwert, der ungewöhnlich weit vom Rest der Daten entfernt ist
Whisker
Die Linien, die sich von der Box zu den Minimum- und Maximumwerten erstrecken (ohne Ausreißer)
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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