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Leitfaden für Lehrer: Irreführende Diagramme

Lerne, Diagramme zu erkennen, die das Auge täuschen: abgeschnittene Achsen, gestreckte Skalen, ungleiche Abstände, übergroße Bilder und Kreisdiagramme, die nicht 100 % ergeben.

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10 Fragen zu Statistische Grafiken. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele
  • Abgeschnittene Achsen, gestreckte oder gestauchte Skalen und ungleiche Abstände in einem Diagramm erkennen
  • Berechnen, wie viel Mal höher eine Säule bei abgeschnittener Achse wirkt, und mit dem echten Verhältnis vergleichen
  • Die echte prozentuale Änderung aus abgelesenen Werten berechnen
  • Erklären, warum Bilder, die in zwei oder drei Richtungen vergrößert werden, Unterschiede übertreiben
  • Prüfen, ob ein Kreisdiagramm 100 % ergibt, und gezielt ausgewählte Zeiträume erkennen
Voraussetzungen
  • • Säulen- und Liniendiagramme lesen (Lektionen Säulendiagramme lesen und Liniendiagramme lesen)
  • • Kreisdiagramme lesen (Lektion Kreisdiagramme lesen)
  • • Prozentsätze und Verhältnisse berechnen
  • • Flächeninhalt von Rechtecken
Diskussionsstarter
  • 1. Wo hast du schon ein Diagramm gesehen, das etwas größer oder kleiner wirken ließ, als es war?
  • 2. Warum könnte eine Firma wollen, dass ihre Achse bei 95 statt bei 0 beginnt?
  • 3. Kann ein Diagramm mit wahren Zahlen trotzdem lügen? Wie?
  • 4. Wann wäre es fair, wenn ein Liniendiagramm nicht bei 0 beginnt?
  • 5. Warum vergleichen unsere Augen die Fläche von Bildern und nicht ihre Höhe?
Häufige Missverständnisse

Wenn die Zahlen in einem Diagramm stimmen, kann das Diagramm nicht irreführend sein

Abhilfe: Zeige die beiden Besucherdiagramme dieser Lektion nebeneinander. Die Zahlen sind gleich, doch eines zeigt eine Rakete und das andere eine flache Linie. Frage, welches zu einer Änderung von 5 % passt.

Eine Säule, die doppelt so hoch wirkt, bedeutet doppelt so viel

Abhilfe: Decke den unteren Teil eines fairen Säulendiagramms mit Papier ab, sodass nur die Spitzen sichtbar sind. Die Lernenden sehen, dass die Säulen plötzlich sehr verschieden wirken, obwohl sich die Werte nicht geändert haben.

Die prozentuale Änderung ist der Unterschied geteilt durch die größere Zahl

Abhilfe: Nimm den Preis eines Snacks: von 2 auf 3 ist eine Erhöhung um 50 %, von 3 auf 2 eine Senkung um 33 %. Die Basis ist immer der Anfangswert.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

  • • Beginne nur mit Säulendiagrammen und frage: Wo beginnt die Achse?
  • • Gib die gezeichneten Höhen und die echten Werte in einer Tabelle vor und vergleiche sie
  • • Nutze ganzzahlige prozentuale Änderungen (10 %, 20 %, 25 %, 50 %)

Für Schüler auf Niveau:

  • • Scheinbare Verhältnisse bei abgeschnittenen Achsen und echte prozentuale Änderungen berechnen
  • • Den Fehler in Kreis- und Bilddiagrammen finden
  • • Ein irreführendes Diagramm fair neu zeichnen

Für fortgeschrittene Schüler:

  • • Aus den gezeichneten Säulenhöhen bestimmen, wo eine abgeschnittene Achse beginnt
  • • 3D-Diagramme untersuchen: Ein Faktor k vervielfacht das Volumen um den Faktor k3k^3
  • • Ein echtes Nachrichtendiagramm analysieren und einen kurzen Bericht schreiben, was es verbirgt
Standardausrichtung
  • 7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)

    Proportionale Zusammenhänge nutzen, um mehrschrittige Verhältnis- und Prozentaufgaben zu lösen, auch prozentuale Zu- und Abnahme

  • 6.SP.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.6.SP.B.5)

    Numerische Datensätze in Bezug auf ihren Kontext zusammenfassen

  • 7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)

    Aufgaben mit maßstabsgetreuen Zeichnungen geometrischer Figuren lösen, auch echte Flächen aus einer Zeichnung berechnen

Lektionsressourcen
  • visualGleiche Daten, zwei Achsen

    Zwei Liniendiagramme derselben Besucherzahlen: Eine Achse beginnt bei 980, die andere bei 0

  • activityDiagramm-Detektive

    Die Lernenden bringen ein Diagramm aus Nachrichten oder Werbung mit, finden den Trick und berechnen die echte Änderung

  • activityMach es groß

    Gruppen bekommen dieselben kleinen Daten; die eine Hälfte zeichnet ein faires Diagramm, die andere das dramatischste mögliche, dann wird verglichen

  • worksheetRepariere das Diagramm

    Fünf irreführende Diagramme fair neu zeichnen und zu jedem einen ehrlichen Satz schreiben

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Ein irreführendes Diagramm zeigt richtige Zahlen so, dass ein falscher Eindruck entsteht. Die Daten können stimmen, während das Bild lügt.
Die häufigsten Tricks:
  • Abgeschnittene Achse: Die senkrechte Achse beginnt nicht bei 0, deshalb wirken kleine Unterschiede riesig
  • Gestreckte oder gestauchte Skala: Dieselbe Änderung sieht steil oder flach aus, je nachdem, wie weit die Zahlen auf der Achse auseinanderliegen
  • Ungleiche Abstände: Die Schritte auf einer Achse sind nicht gleich (zum Beispiel 2000, 2010, 2020, 2022), deshalb kann man Steigungen nicht vergleichen
  • Bild- und 3D-Diagramme: Ein Symbol, das doppelt so hoch *und* doppelt so breit ist, hat die 4-fache Fläche
  • Fehlerhafte Kreisdiagramme: Die Sektoren müssen zusammen genau 100 % ergeben
  • Ausgewählter Zeitraum: Es wird nur der Teil der Daten gezeigt, der eine Behauptung stützt
  • Fehlende Beschriftungen: kein Titel, keine Einheiten oder keine Skala, also kannst du nichts überprüfen
Das Gegenmittel: Schau kurz nicht auf das Bild, sondern rechne mit den Zahlen:
prozentuale A¨nderung=neu−altalt×100 %\text{prozentuale Änderung} = \frac{\text{neu} - \text{alt}}{\text{alt}} \times 100\,\%

Lösungsbeispiele

Bei einer Schulabstimmung bekam Saft A 52 Stimmen und Saft B 48 Stimmen. Ein Plakat zeigt ein Säulendiagramm, dessen senkrechte Achse bei 45 beginnt. Wie viel Mal höher wirkt Säule A, und wie viel größer ist A wirklich?
1

Bestimme die gezeichneten Höhen über dem Achsenanfang

A: 52−45=752 - 45 = 7, B: 48−45=348 - 45 = 3 → Gezeichnete Höhen 7 und 3
2

Vergleiche die gezeichneten Höhen

73≈2,33\frac{7}{3} \approx 2{,}33 → Säule A wirkt etwa 2,3-mal so hoch
3

Vergleiche die echten Werte

5248≈1,08\frac{52}{48} \approx 1{,}08 → A ist wirklich etwa das 1,08-Fache von B
4

Schreibe den echten Unterschied in Prozent

52−4848×100 %≈8,3 %\frac{52 - 48}{48} \times 100\,\% \approx 8{,}3\,\% → Etwa 8,3 % mehr Stimmen

Häufige Fehler

Die Größe eines Unterschieds nur nach der Höhe der Säulen beurteilen

Warum es falsch ist: Beginnt die Achse bei 45 statt bei 0, zeigen die Säulen nur den Teil über 45. Eine Säule für 52 wirkt dann mehr als doppelt so hoch wie eine Säule für 48.

Richtig: Schau immer, wo die Achse beginnt. Vergleiche die echten Werte: 5248≈1,08\frac{52}{48} \approx 1{,}08, nur etwa 8 % mehr.

Bei der prozentualen Änderung durch den neuen Wert teilen

Warum es falsch ist: Die prozentuale Änderung vergleicht immer mit dem Ausgangswert. Von 1000 auf 1050: Teilst du durch 1050, erhältst du etwa 4,8 %, und das ist nicht die Änderung.

Richtig: Teile die Änderung durch den alten Wert: 1050−10001000×100 %=5 %\frac{1050 - 1000}{1000} \times 100\,\% = 5\,\%.

Glauben, dass eine steile Linie immer eine große Änderung bedeutet

Warum es falsch ist: Wie steil eine Linie wirkt, hängt von der Skala ab. Eine gestreckte Achse lässt 5 % wie eine Rakete aussehen, eine gestauchte lässt 25 % flach wirken (siehe das Mietdiagramm oben, dessen Achse bis 10000 reicht).

Richtig: Lies die Zahlen am Anfang und am Ende der Linie ab und berechne die Änderung selbst.

Bild- oder 3D-Diagramme nur nach der Höhe vergleichen

Warum es falsch ist: Unsere Augen beurteilen die Fläche (oder das Volumen) eines Bildes. Ein Symbol, doppelt so hoch und doppelt so breit, hat die 4-fache Fläche; ein 3D-Quader mit lauter doppelt so langen Kanten hat das 8-fache Volumen.

Richtig: Vergleiche die Zahlen, für die die Bilder stehen, nicht die Größe der Bilder.

Warum es wichtig ist

Diagramme sind überall: in Nachrichten, in der Werbung, bei Wahlumfragen, in Geschäftsberichten und in sozialen Medien. Viele sollen überzeugen, nicht nur informieren.
  • Werbung: Ein Akku, der 21 statt 20 Stunden hält, kann als doppelt so hohe Säule gezeichnet werden
  • Nachrichten und Politik: Ein Vorsprung von 2 Punkten in einer Umfrage kann wie ein Erdrutschsieg aussehen
  • Geld: Ein Investmentfonds kann nur seine zwei besten Jahre zeigen und fünf schlechte verstecken
  • Wissenschaft und Gesundheit: Eine gestreckte Achse lässt einen winzigen Effekt dramatisch wirken, eine gestauchte kann ein echtes Problem verbergen
Wenn du die Tricks kennst, kannst du die Zahlen in wenigen Sekunden prüfen und selbst entscheiden. Das ist eine der nützlichsten Mathe-Fähigkeiten im Alltag.

Anwendungen im echten Leben

Werbung und Produktversprechen

Werbung nutzt oft Säulendiagramme mit abgeschnittener Achse, damit ein kleiner Vorteil riesig wirkt.

Beispiel:

Eine Akku-Werbung zeigt 21 Stunden für den eigenen Akku und 20 Stunden für die Konkurrenz. Beginnt die Achse bei 19, sind die Säulen 2 und 1 Einheiten hoch, also wirkt eine Säule doppelt so lang.

1Probiere es selbst

Akku A hält 21 Stunden und Akku B hält 20 Stunden. Die Achse im Säulendiagramm der Werbung beginnt bei 19.

Um wie viel Prozent hält Akku A wirklich länger als Akku B?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne den Prozentsatz: Änderung geteilt durch den Wert von B, mal 100

Investmentfonds und ausgewählte Zeiträume

Ein Fonds kann gut aussehen, wenn er nur die Jahre zeigt, in denen sein Kurs gestiegen ist.

Beispiel:

Ein Fondskurs lag 2019 bei 80, fiel 2022 auf 50 und stieg 2024 auf 60. Die Werbung zeigt nur 2022 bis 2024: "20 % Plus!"

2Probiere es selbst

Der Fondskurs lag Anfang 2019 bei 80 und Ende 2024 bei 60. Die Werbung zeigt nur die letzten zwei Jahre, in denen der Kurs von 50 auf 60 stieg.

Wie groß ist die echte prozentuale Änderung über den ganzen Zeitraum, von 80 auf 60?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne: (neu - alt) / alt × 100

Infografiken mit Bildern

Infografiken in den Nachrichten zeigen Mengen oft als Bilder (Säcke, Münzen, Menschen) und vergrößern die Bilder in beide Richtungen.

Beispiel:

Eine Schule sammelte letztes Jahr 2 Tonnen Altpapier und dieses Jahr 3 Tonnen. Die Infografik macht den zweiten Papiersack 1,5-mal so hoch und 1,5-mal so breit.

3Probiere es selbst

Die Menge stieg von 2 auf 3 Tonnen, das echte Verhältnis ist also 1,5. Das Bild des diesjährigen Sacks ist 1,5-mal so hoch und 1,5-mal so breit.

Wie viel Mal größer ist die Fläche des neuen Sackbildes?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die beiden Faktoren:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Ein irreführendes Diagramm kann wahre Zahlen zeigen und trotzdem einen falschen Eindruck erwecken
  • 2Prüfe immer, wo die senkrechte Achse beginnt: Eine Achse, die nicht bei 0 beginnt, lässt kleine Unterschiede groß wirken
  • 3Gestreckte oder gestauchte Skalen verändern, wie steil eine Linie wirkt, also lies die Zahlen statt der Steigung
  • 4Prüfe, ob die Schritte auf jeder Achse gleich sind und ob der Zeitraum nicht gezielt ausgewählt wurde
  • 5Bilder, die in zwei Richtungen wachsen, übertreiben: doppelte Höhe und Breite bedeutet 4-fache Fläche
  • 6Die Sektoren eines Kreisdiagramms müssen 100 % ergeben; berechne die echte Änderung mit neu−altalt×100 %\frac{\text{neu} - \text{alt}}{\text{alt}} \times 100\,\%

Häufig gestellte Fragen

Ist ein Diagramm, dessen Achse nicht bei 0 beginnt, immer irreführend?

Nicht immer. Bei Liniendiagrammen, etwa für die Körpertemperatur oder einen Aktienkurs, kann ein Achsenanfang nahe bei den Daten sinnvoll sein, um kleine Änderungen zu sehen, solange die Achse klar beschriftet ist. Bei Säulendiagrammen ist es fast immer irreführend, weil die Länge der Säule die Botschaft ist.

Wie finde ich die echte prozentuale Änderung in einem Diagramm?

Lies den Anfangswert und den Endwert auf der Achse ab und berechne neu−altalt×100 %\frac{\text{neu} - \text{alt}}{\text{alt}} \times 100\,\%. Achte nicht darauf, wie steil oder hoch das Bild aussieht.

Warum ist ein 3D-Diagramm schlechter als ein flaches?

3D-Effekte fügen Tiefe hinzu, deshalb vergleichen unsere Augen Volumen. Ein Quader mit lauter doppelt so langen Kanten hat das 23=82^3 = 8-fache Volumen. 3D-Kreisdiagramme kippen außerdem den Kreis, sodass vordere Sektoren größer wirken als hintere.

Kann ein irreführendes Diagramm nur wahre Zahlen enthalten?

Ja, und genau das macht es so tückisch. Alle Zahlen können stimmen, während die Skala, die Bilder oder der gewählte Zeitraum eine falsche Geschichte erzählen. Deshalb solltest du die Zahlen immer selbst nachrechnen.

Glossar

Irreführendes Diagramm
Ein Diagramm, das einen falschen Eindruck von den Daten vermittelt, auch wenn die Zahlen darauf stimmen
Abgeschnittene Achse
Eine Achse, die nicht bei 0 beginnt, sodass nur der obere Teil jedes Wertes gezeichnet wird
Skala
Die Zahlen auf einer Achse und ihr Abstand zueinander; sie bestimmt, wie groß eine Änderung wirkt
Intervall
Der Schritt zwischen zwei benachbarten Zahlen auf einer Achse; eine faire Achse hat gleiche Intervalle
Prozentuale Änderung
Die Änderung geteilt durch den Anfangswert, mal 100 %
Rosinenpickerei
Nur den Teil der Daten zeigen, der eine Behauptung stützt, und den Rest verstecken

Formelkarte

Prozentuale Änderung

neu−altalt×100 %\frac{\text{neu} - \text{alt}}{\text{alt}} \times 100\,\%

Die echte Größe einer Änderung, egal wie das Diagramm aussieht

Wie hoch Säulen bei abgeschnittener Achse wirken

a−sb−s\frac{a - s}{b - s}

Säulen für die Werte a und b auf einer Achse, die bei s beginnt

Bild in beide Richtungen mit k vergrößert

Fla¨che×k2\text{Fläche} \times k^2

Doppelt so hoch und doppelt so breit: 4-fache Fläche; in 3D wächst das Volumen um den Faktor $k^3$

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