Amplitude und Periode

Lerne, wie Amplitude und Periode Sinus- und Kosinuswellen transformieren und deren Höhe und Breite steuern.

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Definition

Die Amplitude und die Periode sind zwei grundlegende Eigenschaften, die beschreiben, wie sich eine trigonometrische Funktion verhält.

Amplitude

Die Amplitude ist der Abstand von der Mittellinie zum Maximum (oder Minimum) der Welle. Für die allgemeine Form:
y=Asin⁡(Bx)odery=Acos⁡(Bx)y = A \sin(Bx) \quad \text{oder} \quad y = A \cos(Bx)
Die Amplitude ist ∣A∣|A| (der Absolutwert von AA).
  • Wenn ∣A∣>1|A| > 1: Die Welle wird vertikal gestreckt (höher)
  • Wenn 0<∣A∣<10 < |A| < 1: Die Welle wird vertikal gestaucht (niedriger)
  • Wenn A<0A < 0: Die Welle wird an der x-Achse gespiegelt

Periode

Die Periode ist die horizontale Länge eines vollständigen Zyklus. Für die allgemeine Form:
y=Asin⁡(Bx)odery=Acos⁡(Bx)y = A \sin(Bx) \quad \text{oder} \quad y = A \cos(Bx)
Die Periode ist 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}.
  • Wenn ∣B∣>1|B| > 1: Die Welle wird horizontal gestaucht (mehr Zyklen im gleichen Raum)
  • Wenn 0<∣B∣<10 < |B| < 1: Die Welle wird horizontal gestreckt (weniger Zyklen)

Probier es gleich aus

Wie groß ist die Amplitude von y=5sin⁡(x)y = 5\sin(x)?

Lösungsbeispiele

Bestimme die Amplitude von y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x)
1

Identifiziere den Koeffizienten A

Vergleiche y=3sin⁡(x)y = 3\sin(x) mit y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) → A=3A = 3
2

Berechne die Amplitude

Amplitude =∣A∣=∣3∣= |A| = |3| → Amplitude=3\text{Amplitude} = 3
3

Interpretiere das Ergebnis

Die Welle erreicht 3 Einheiten über und unter der Mittellinie → Maximum: 3, Minimum: −3-3

Häufige Fehler

Denken, dass die Amplitude negativ sein kann

Warum es falsch ist: Die Amplitude ist immer positiv, weil sie einen Abstand darstellt. Bei y=−3sin⁡(x)y = -3\sin(x) ist die Amplitude trotzdem 3.

Richtig: Amplitude =∣A∣= |A|. Ein negatives AA verursacht eine Spiegelung, keine negative Amplitude.

Verwechslung von BB mit der Periode

Warum es falsch ist: Schüler denken oft, BB sei die Periode. Tatsächlich beeinflusst BB, wie stark die Welle gestaucht ist.

Richtig: Periode =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}. Wenn BB größer wird, wird die Periode kleiner (umgekehrte Beziehung).

Vergessen des 2π2\pi in der Periodenformel

Warum es falsch ist: Die Standard-Sinus-/Kosinuswelle hat die Periode 2π2\pi, nicht 1. Alle Periodenberechnungen basieren darauf.

Richtig: Periode =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|}, nicht 1B\frac{1}{B}. Das 2π2\pi kommt von der natürlichen Periode von Sinus und Kosinus.

Berechnung der Periode von sin⁡(x/2)\sin(x/2) als 2π1/2=π\frac{2\pi}{1/2} = \pi

Warum es falsch ist: Division durch einen Bruch erfordert Kehrwertbildung und Multiplikation.

Richtig: 2π1/2=2π×2=4π\frac{2\pi}{1/2} = 2\pi \times 2 = 4\pi. Wenn B<1B < 1, ist die Periode LÄNGER als 2π2\pi.

Interaktive Visualisierung

Funktionsgraph

-2π-π0π2π-4-2024xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

  • Amplitude = 3
  • Periode = π
y = sin(x)y = A·sin(Bx)

Funktionsgraph

0π2π3π4π-6-4-20246xy(0 | 0)(6,28 | 0)(12,57 | 0)(3,14 | 5)(9,42 | -5)

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

y = 5·sin(x/2)
  • Nullstelle: (0 | 0)
  • Nullstelle: (6,28 | 0)
  • Nullstelle: (12,57 | 0)
  • Hochpunkt: (3,14 | 5)
  • Tiefpunkt: (9,42 | -5)

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-3π-2π-π0π2π3π-4-2024xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

3sin(x)

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Wie groß ist die Amplitude von y=5sin⁡(x)y = 5\sin(x)?

Warum es wichtig ist

Amplitude und Periode erscheinen überall, wo Wellen existieren:
  • Schallwellen: Die Amplitude bestimmt die Lautstärke (lauter = größere Amplitude), die Periode bestimmt die Tonhöhe (höherer Ton = kürzere Periode)
  • Ozeanwellen: Die Amplitude ist die Wellenhöhe, die Periode ist die Zeit zwischen den Wellen
  • Elektrizität: Wechselstrom hat Amplitude (Spannung) und Periode (50 Hz in Europa = Periode von 150\frac{1}{50} Sekunde)
  • Musik: Jeder Musikton ist eine Welle mit bestimmter Amplitude und Periode
  • Licht: Verschiedene Farben haben verschiedene Perioden (Wellenlängen)
Ingenieure, Musiker und Wissenschaftler nutzen diese Konzepte täglich, um alles zu entwerfen – von Lautsprechern über Brücken bis hin zu MRT-Geräten!

Anwendungen im echten Leben

Tontechnik

Toningenieure passen Amplitude (Lautstärke) und Periode (Tonhöhe) an, um Musik zu mischen und Lautsprecher zu entwickeln.

Beispiel:

Eine Bassdrum erzeugt Wellen mit langer Periode (niedrige Frequenz ~60 Hz), während ein Becken eine kurze Periode hat (hohe Frequenz ~10.000 Hz).

1Probiere es selbst

Ein Lautsprecher erzeugt einen Ton, der durch y=Asin⁡(440⋅2πt)y = A\sin(440 \cdot 2\pi t) modelliert wird, wobei tt in Sekunden ist. Dies ist der Ton A4 (440 Hz).

Wie groß ist die Periode dieser Welle in Sekunden?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende die Periodenformel mit B=440⋅2πB = 440 \cdot 2\pi:

Elektrizität und Strom

Wechselstrom (AC) folgt einem Sinuswellenmuster. In Europa ist der Standard 230V bei 50 Hz.

Beispiel:

Die Spannung kann modelliert werden als V(t)=325sin⁡(100πt)V(t) = 325\sin(100\pi t). Die Amplitude ist 325V (Spitzenspannung), und die Periode ist 150\frac{1}{50} Sekunde.

2Probiere es selbst

US-amerikanischer Strom verwendet 60 Hz statt 50 Hz.

Wie groß ist die Periode des US-amerikanischen Wechselstroms?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne 1Frequenz\frac{1}{\text{Frequenz}}:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Amplitude =∣A∣= |A| bestimmt die Höhe der Welle (Abstand von der Mittellinie zum Scheitel)
  • 2Periode =2π∣B∣= \frac{2\pi}{|B|} bestimmt die Breite eines vollständigen Zyklus
  • 3Größeres ∣A∣|A| macht die Welle höher; kleineres ∣A∣|A| macht sie niedriger
  • 4Größeres ∣B∣|B| staucht die Welle horizontal; kleineres ∣B∣|B| streckt sie
  • 5Für y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) oder y=Acos⁡(Bx)y = A\cos(Bx): identifiziere AA und BB, dann wende die Formeln an

Häufig gestellte Fragen

Wenn A=0A = 0, wird die Funktion zu y=0y = 0 (eine flache horizontale Linie). Es gibt überhaupt keine Welle.
Wenn A=0A = 0, wird die Funktion zu y=0y = 0 (eine flache horizontale Linie). Es gibt überhaupt keine Welle.
Nein. Die Periode ist ein Abstand (Länge eines Zyklus), daher ist sie immer positiv. Deshalb verwenden wir ∣B∣|B| in der Formel.
Da B=1B = 1, ist die Periode 2π1=2π\frac{2\pi}{1} = 2\pi. Dies ist die 'Standard'-Periode für Sinus und Kosinus.
Finde den Maximalwert und den Minimalwert, dann: Amplitude =Max−Min2= \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}

Glossar

Amplitude
Die maximale Auslenkung von der Mittellinie einer Welle; entspricht ∣A∣|A| in y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx)
Periode
Die horizontale Länge eines vollständigen Zyklus; entspricht 2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|} in y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx)
Frequenz
Die Anzahl der Zyklen pro Einheit; Frequenz =1Periode= \frac{1}{\text{Periode}}
Mittellinie
Die horizontale Linie in der Mitte zwischen dem Maximum und Minimum einer Welle
Zyklus
Eine vollständige Wiederholung des Musters einer periodischen Funktion

Formelkarte

Allgemeine Form

y=Asin⁡(Bx)y = A\sin(Bx) oder y=Acos⁡(Bx)y = A\cos(Bx)

Standardform von Sinus und Kosinus mit Amplitude A und Frequenz B

Amplitude

∣A∣|A|

Höhe der Welle von der Mittellinie zum Scheitel

Periode

2π∣B∣\frac{2\pi}{|B|}

Horizontale Länge eines vollständigen Zyklus

Frequenz

∣B∣2π\frac{|B|}{2\pi}

Anzahl der Zyklen pro Einheit

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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