Trigonometrische Identitäten beweisen

Lösung: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ist die grundlegende Pythagoreische Identität und gilt für jedes $x$. Die anderen drei sind Gleichungen: $\sin x = \cos x$ gilt bei $45°$, $\sin x + \cos x = 1$ bei $0°$ und $90°$, $\tan x = 1$ bei $45°$, aber keine gilt für jeden Winkel.

Lösung: 1

$(1 + 3) \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$, genau die rechte Seite. Die Probe passt zum Beweis $(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = \sec^2 x \cos^2 x = 1$.

Lösung: $\tan 30° \cos 30° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

1. Was ist die rechte Seite $\sin 30°$? 1/2
2. Was ist die linke Seite $\tan 30° \cdot \cos 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$? 1/2
3. Was ist linke Seite minus rechte Seite? 0

Lösung: Beide Seiten durch $\cos x$ dividieren

Beide Seiten durch $\cos x$ zu dividieren behandelt die Identität wie eine Gleichung, die schon gilt. Die anderen Schritte ändern nur eine Seite und erhalten ihren Wert: eine Quotientenidentität, Multiplizieren mit einer Form von 1, Kürzen eines gemeinsamen Faktors.

Lösung: -2

Linke Seite: $\sin 180° = 0$. Rechte Seite: $2\sin 90° = 2$. Die Differenz $0 - 2 = -2$ ist nicht $0$, also ist $x = 90°$ ein Gegenbeispiel und die Behauptung keine Identität.

Lösung: $\sin x \cot x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$

1. Schreibe $\cot x$ mit Sinus und Kosinus. Welcher Term ist es? $\dfrac{\cos x}{\sin x}$
2. Die linke Seite ist jetzt $\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$. Was bleibt nach dem Kürzen? $\cos x$
3. Probe bei $x = 60°$: Welchen Wert müssen beide Seiten liefern ($\cos 60°$)? 1/2

Lösung: Zähler und Nenner mit $1 - \cos x$ multiplizieren

Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck $\frac{1 - \cos x}{1 - \cos x}$ ergibt $\frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x\,(1 - \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$. Quadrieren oder auf beiden Seiten addieren verletzt die Regel, nur an einer Seite zu arbeiten.

Lösung: 3/2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1{,}5$. Die linke Seite ergibt dasselbe: $\sec 60° - \cos 60° = 2 - 0{,}5 = 1{,}5$.

Lösung: $\cos x\,(\sec x - \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

1. Ausmultiplizieren ergibt $\cos x \sec x - \cos^2 x$. Welche Zahl ist $\cos x \sec x$? 1
2. Die linke Seite ist also $1 - \cos^2 x$. Welchem Term ist das gleich? $\sin^2 x$
3. Probe bei $x = 30°$: Was ist $\sin^2 30°$? 1/4

Lösung: $\dfrac{2}{1 - \cos^2 x} = \dfrac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$

1. Mit dem gemeinsamen Nenner ist der Zähler $(1 + \cos x) + (1 - \cos x)$. Welche Zahl ist das? 2
2. Welchem Term ist der Nenner $(1 - \cos x)(1 + \cos x)$ gleich? $\sin^2 x$
3. Die linke Seite ist also $\frac{2}{\sin^2 x} = 2\csc^2 x$. Welchen Wert hat sie bei $x = 30°$? 8

Lösung: $45°$

Bei $0°$, $90°$ und $360°$ ist die Summe genau 1. Bei $45°$ ist sie $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \neq 1$, also ist $45°$ ein Gegenbeispiel.

Lösung: 3

$\frac{1 - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$. Bei $30°$: $\cot 30° = \sqrt{3}$, also $\cot^2 30° = 3$. Direkt: $\frac{1 - \frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{3/4}{1/4} = 3$.

Lösung: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

1. Bei $x = 45°$ ist $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$. Was ist die linke Seite $(\sqrt{2})^2$? 2
2. Die rechte Seite ist 1. Was ist linke Seite minus rechte Seite bei $45°$? 1
3. Ausmultiplizieren ergibt $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x\cos x$. Was ist $2\sin 45° \cos 45°$? 1

Lösung: $2\tan x \sec x$

$\frac{(1 + \sin x) - (1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^2 x} = 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 2\tan x \sec x$. Probe bei $60°$: $\frac{1}{1 - 0{,}866} - \frac{1}{1{,}866} \approx 7{,}46 - 0{,}54 = 6{,}93$ und $2\tan 60° \sec 60° = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \approx 6{,}93$. Die Auswahl $2\sec^2 x$ gehört zur Summe der beiden Brüche, nicht zur Differenz.

Lösung: 2

$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$, also ist die linke Seite $\sec^2 x + \tan^2 x = (1 + \tan^2 x) + \tan^2 x = 1 + 2\tan^2 x$. Also $A = 2$. Probe bei $45°$: $4 - 1 = 3 = 1 + 2 \cdot 1$.

Lösung: $\dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \dfrac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$

1. Mit welcher Form von 1 solltest du die linke Seite multiplizieren, damit du den Nenner mit einer Pythagoreischen Identität vereinfachen kannst? $\dfrac{1 - \sin x}{1 - \sin x}$
2. Welchem Term ist der neue Nenner $(1 + \sin x)(1 - \sin x)$ gleich? $\cos^2 x$
3. Die linke Seite ist jetzt $\frac{\cos x\,(1 - \sin x)}{\cos^2 x}$. Was erhältst du nach dem Kürzen eines $\cos x$? $\dfrac{1 - \sin x}{\cos x}$
4. Probe bei $x = 0°$: Welchen Wert liefern beide Seiten? 1

Lösung: $\cot^2 x - \cos^2 x = \cos^2 x \cdot \dfrac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \cdot \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x \cos^2 x$

1. Schreibe $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ und klammere auf der linken Seite $\cos^2 x$ aus. Welchen Term erhältst du? $\cos^2 x\left(\dfrac{1}{\sin^2 x} - 1\right)$
2. Mit gemeinsamem Nenner ist $\frac{1}{\sin^2 x} - 1 = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$. Welchem Term ist der Zähler $1 - \sin^2 x$ gleich? $\cos^2 x$
3. Die linke Seite ist jetzt $\cos^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$. Welcher Term ist das? $\cot^2 x \cos^2 x$
4. Probe bei $x = 45°$: Welchen Wert liefern beide Seiten? 1/2

Lösung: $(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 = 1 - 2\cos^2 x$

1. Zerlege die linke Seite in Faktoren. Welche Zerlegung ist richtig? $(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
2. Welche Zahl ist der zweite Faktor $\sin^2 x + \cos^2 x$? 1
3. Ersetze in $\sin^2 x - \cos^2 x$ den Term $\sin^2 x$ durch $1 - \cos^2 x$. Du erhältst $1 + k\cos^2 x$. Was ist $k$? -2
4. Probe bei $x = 60°$: Was ist $\sin^4 60° - \cos^4 60° = \frac{9}{16} - \frac{1}{16}$? 1/2