Factorización de trinomios (General)

Aprende a factorizar trinomios cuando el coeficiente principal no es 1 usando el método AC.

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Definición

Al factorizar un trinomio ax2+bx+cax^2 + bx + c donde a≠1a \neq 1, usamos el método AC (también llamado método de agrupación).

El método AC

Paso 1: Multiplica a×ca \times c para obtener el "producto AC"
Paso 2: Encuentra dos números que:
  • Multiplicados den AC
  • Sumados den bb
Paso 3: Reescribe el término medio usando estos dos números
Paso 4: Factoriza por agrupación
ax2+bx+c=(px+q)(rx+s)ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)
donde p×r=ap \times r = a y q×s=cq \times s = c

Pruébalo ahora

¿Cuál es el producto AC para 2x2+5x+32x^2 + 5x + 3?

Ejemplos resueltos

Factoriza 2x2+7x+32x^2 + 7x + 3
1

Identifica a, b y c

a=2a = 2, b=7b = 7, c=3c = 3 → Coeficientes identificados
2

Calcula el producto AC

AC=2×3=6AC = 2 \times 3 = 6 → AC=6AC = 6
3

Encuentra dos números que multiplicados den 6 y sumados den 7

Divisores de 6: (1,6)(1, 6), (2,3)(2, 3) 1+6=71 + 6 = 7 ✓ → Números: 11 y 66
4

Reescribe el término medio

2x2+1x+6x+32x^2 + 1x + 6x + 3 → Divide 7x7x en 1x+6x1x + 6x
5

Agrupa y factoriza

(2x2+1x)+(6x+3)(2x^2 + 1x) + (6x + 3) =x(2x+1)+3(2x+1)= x(2x + 1) + 3(2x + 1) → Factor común: (2x+1)(2x + 1)
6

Saca factor común el binomio

(2x+1)(x+3)(2x + 1)(x + 3) → Forma factorizada

Errores comunes

Olvidar multiplicar a×ca \times c y usar solo cc

Por qué está mal: Cuando a≠1a \neq 1, el producto AC es diferente de cc. Para 2x2+7x+32x^2 + 7x + 3, AC = 6, no 3.

Correcto: Siempre calcula AC=a×cAC = a \times c primero. Esta es la base del método AC.

Signos incorrectos al encontrar pares de factores

Por qué está mal: Los signos de los dos números dependen de AC y bb. Si AC es negativo, los números tienen signos opuestos.

Correcto: Si AC > 0 y b > 0: ambos positivos. Si AC > 0 y b < 0: ambos negativos. Si AC < 0: signos opuestos (el mayor valor absoluto coincide con el signo de b).

Agrupación incorrecta de términos

Por qué está mal: Después de dividir el término medio, la agrupación debe crear un factor binomio común.

Correcto: Siempre verifica que ambos grupos den el mismo factor binomio antes de continuar.

No verificar la respuesta desarrollando

Por qué está mal: Los errores de signo ocurren fácilmente. Siempre verifica multiplicando los factores.

Correcto: Usa el método FOIL para desarrollar tu respuesta y confirmar que es igual al trinomio original.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-5-4-3-2-1012-5051015xy(-3; 0)(-0,5; 0)(-1,75; -3,13)

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

2x^2 + 7x + 3(2x + 1)(x + 3)
  • Cero (corte con el eje x): (-3; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (-0,5; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (-3; 0)
  • Cero (corte con el eje x): (-0,5; 0)
  • Vértice: (-1,75; -3,13)
  • Vértice: (-1,75; -3,13)

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál es el producto AC para 2x2+5x+32x^2 + 5x + 3?

Por qué es importante

La factorización de trinomios con coeficientes principales distintos de 1 es esencial para:
  • Resolver ecuaciones cuadráticas: Muchos problemas reales llevan a ecuaciones como 2x2+7x+3=02x^2 + 7x + 3 = 0
  • Física: El movimiento de proyectiles a menudo involucra trinomios con varios coeficientes principales
  • Ingeniería: Los problemas de optimización frecuentemente requieren factorizar expresiones complejas
  • Economía: Las funciones de beneficio y costo suelen ser cuadráticas con coeficientes principales no unitarios
El método AC proporciona un enfoque sistemático que funciona para cualquier trinomio factorizable.

Aplicaciones del mundo real

Movimiento de proyectiles

Al analizar la trayectoria de una pelota lanzada hacia arriba, la ecuación de altura a menudo tiene un coeficiente principal basado en la gravedad.

Ejemplo:

La altura de una pelota es h=−16t2+48t+64h = -16t^2 + 48t + 64. Factoriza −16(t2−3t−4)=−16(t−4)(t+1)-16(t^2 - 3t - 4) = -16(t-4)(t+1) para encontrar cuándo la pelota toca el suelo (t=4t = 4 segundos).

1Inténtalo tú mismo

La altura de un cohete se modela con h=−5t2+15t+20h = -5t^2 + 15t + 20 metros.

Factoriza la expresión para encontrar cuándo aterriza el cohete.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Primero saca factor común -5: −5(t2−3t−4)-5(t^2 - 3t - 4)

Análisis de beneficios empresariales

Las empresas usan funciones cuadráticas para modelar el beneficio según la cantidad producida.

Ejemplo:

El beneficio de una empresa es P=−2x2+14x−24P = -2x^2 + 14x - 24 miles de euros, donde xx son unidades en centenas. Factorizando como −2(x−3)(x−4)-2(x-3)(x-4) se muestra el punto de equilibrio en 300 y 400 unidades.

2Inténtalo tú mismo

El modelo de beneficio de una fábrica es P=3x2−21x+30P = 3x^2 - 21x + 30 miles de euros.

Factoriza para encontrar los niveles de producción en el punto de equilibrio.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Primero saca el MCD como factor común, luego usa el método AC

Puntos clave

  • 1El método AC factoriza trinomios ax2+bx+cax^2 + bx + c cuando a≠1a \neq 1
  • 2Calcula AC=a×cAC = a \times c, luego encuentra dos números que multiplicados den AC y sumados den bb
  • 3Reescribe el término medio usando estos números, luego factoriza por agrupación
  • 4Siempre verifica tu respuesta desarrollando (FOIL) los factores
  • 5Busca primero un MCD - simplifica el trinomio restante

Preguntas frecuentes

Si ningún par de enteros tiene producto AC y suma bb, el trinomio puede ser primo (no factorizable sobre enteros) o requerir la fórmula cuadrática para encontrar las raíces.
Si ningún par de enteros tiene producto AC y suma bb, el trinomio puede ser primo (no factorizable sobre enteros) o requerir la fórmula cuadrática para encontrar las raíces.
Puedes dividir el término medio en cualquier orden (ej. −2x+12x-2x + 12x o 12x−2x12x - 2x), siempre que agrupes correctamente para obtener el mismo factor binomio.
Siempre verifica si los tres coeficientes comparten un factor común. Sacar el MCD primero hace que el trinomio restante sea más fácil de factorizar.

Glosario

Método AC
Una técnica de factorización donde multiplicas a×ca \times c, encuentras un par de factores y usas agrupación
Coeficiente principal
El coeficiente aa en ax2+bx+cax^2 + bx + c, el número delante de x2x^2
Factorización por agrupación
Dividir un polinomio en grupos y sacar factores comunes de cada grupo
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio que se factoriza como (px+q)2(px + q)^2, como 4x2−12x+9=(2x−3)24x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2

Tarjeta de fórmulas

Pasos del método AC

ax2+bx+cax^2 + bx + c

1. Encuentra $AC = a \times c$ 2. Encuentra números $m, n$ donde $m \times n = AC$ y $m + n = b$ 3. Reescribe: $ax^2 + mx + nx + c$ 4. Factoriza por agrupación

Reglas de signos para pares de factores

AC>0,b>0⇒+,+AC > 0, b > 0 \Rightarrow +, +

AC > 0, b < 0: ambos negativos AC < 0: signos opuestos

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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