Volver a la lección

Guía del profesor: Introducción a la factorización

Aprende qué es la factorización y cómo descomponer expresiones en sus factores.

Presentar lecciónCompartir en ClassroomVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Factorización. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Entender la factorización como el inverso de la multiplicación
  • Encontrar todos los factores de un número
  • Sacar el máximo común divisor como factor común de una expresión
  • Factorizar trinomios simples de la forma x2+bx+cx^2 + bx + c
  • Verificar la factorización multiplicando los factores
Requisitos previos
  • • Multiplicación y división de enteros
  • • Comprensión de variables y expresiones algebraicas
  • • Propiedad distributiva
  • • Conocimiento básico del MCD
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué a veces se llama a la factorización 'multiplicación invertida'?
  • 2. Cuando ves x2+5xx^2 + 5x, ¿qué tienen en común los dos términos?
  • 3. Si sabes que x2+7x+12=(x+3)(x+4)x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4), ¿cómo puedes comprobar si es correcto?
  • 4. ¿Por qué siempre buscamos primero el MCD antes de probar otros métodos?
Conceptos erróneos comunes

Pensar que factorizar y simplificar son lo mismo

Remediación: Muestra que factorizar reescribe como producto: 6x+12=6(x+2)6x + 12 = 6(x+2), mientras que simplificar reduce: 6x+126=x+2\frac{6x+12}{6} = x + 2. Están relacionados pero son diferentes.

Sumar factores en lugar de multiplicarlos

Remediación: Enfatiza que 'factor' significa 'multiplicar'. Usa modelos de área: un rectángulo de lados 3 y 4 tiene área 12, no 7.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Empieza con factorización numérica antes de expresiones algebraicas
  • • Usa árboles de factorización con manipulativos visuales
  • • Proporciona tablas de multiplicar como referencia
  • • Concéntrate solo en sacar el MCD como factor común antes de pasar a trinomios

Para estudiantes de nivel:

  • • Factoriza trinomios con coeficientes positivos
  • • Practica encontrando el MCD de términos algebraicos
  • • Resuelve ecuaciones cuadráticas simples por factorización

Para estudiantes avanzados:

  • • Factoriza trinomios con coeficientes negativos
  • • Factoriza expresiones con coeficientes principales distintos de 1
  • • Explora la conexión entre factorización y la propiedad del producto cero
Alineación con estándares
  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Encontrar el máximo común divisor de dos números enteros

  • A-SSE.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.A.2)

    Usar la estructura de una expresión para identificar formas de reescribirla

  • A-SSE.B.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.3)

    Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar propiedades

Recursos de la lección
  • visualÁrbol de factorización interactivo

    Los estudiantes descomponen números en factores primos paso a paso

  • activityJuego de emparejamiento de factores

    Empareja expresiones con sus formas factorizadas

  • worksheetEjercicios de factorización MCD

    Practica sacando el MCD como factor común de diversas expresiones

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La factorización es el proceso de descomponer un número o expresión en partes más pequeñas (llamadas factores) que multiplicadas entre sí dan el original.
Para números:
12=2×6=3×4=2×2×312 = 2 \times 6 = 3 \times 4 = 2 \times 2 \times 3
Para expresiones algebraicas:
x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
La factorización es como la multiplicación invertida. En lugar de multiplicar para obtener un producto, partimos del producto para encontrar lo que se multiplicó.

Ejemplos resueltos

Encuentra todos los pares de factores de 24.
1

Empieza con 1

24=1×2424 = 1 \times 24 → Par de factores: (1, 24)
2

Prueba con 2

24÷2=1224 \div 2 = 12, entonces 24=2×1224 = 2 \times 12 → Par de factores: (2, 12)
3

Prueba con 3

24÷3=824 \div 3 = 8, entonces 24=3×824 = 3 \times 8 → Par de factores: (3, 8)
4

Prueba con 4

24÷4=624 \div 4 = 6, entonces 24=4×624 = 4 \times 6 → Par de factores: (4, 6)
5

Comprueba el 5

24÷5=4,824 \div 5 = 4,8 (no es entero) → 5 no es un factor
6

Para en la raíz cuadrada

24≈4,9\sqrt{24} \approx 4,9, y hemos comprobado hasta 4 → Todos los pares encontrados

Errores comunes

Olvidar sacar primero el MCD como factor común

Por qué está mal: Comprueba siempre si hay un MCD antes de probar otros métodos. Hace que el resto de la factorización sea mucho más fácil.

Correcto: Para 2x2+10x+122x^2 + 10x + 12, saca primero el 2: 2(x2+5x+6)=2(x+2)(x+3)2(x^2 + 5x + 6) = 2(x+2)(x+3)

Equivocarse con los signos en trinomios

Por qué está mal: Cuando cc es negativo, los dos factores tienen signos opuestos. Cuando cc es positivo, tienen el mismo signo.

Correcto: x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) (ambos negativos porque la suma es negativa, el producto positivo)

No verificar la respuesta

Por qué está mal: Multiplica siempre tus factores para comprobar. Tarda 30 segundos y detecta errores.

Correcto: Después de factorizar, usa FOIL o distribución para verificar: (x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 ✓

Confundir factores con términos

Por qué está mal: Los factores se multiplican; los términos se suman o restan. En 2x+42x + 4, los términos son 2x2x y 44, pero 22 es un factor de ambos.

Correcto: Términos: partes separadas por + o -. Factores: partes que se multiplican.

Por qué es importante

La factorización es una de las habilidades más importantes en álgebra:
  • Resolver ecuaciones: Para resolver x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0, factorizamos a (x+2)(x+3)=0(x+2)(x+3) = 0
  • Simplificar fracciones: Factorizar permite cancelar términos comunes
  • Encontrar patrones: La descomposición en factores primos ayuda con el MCD y MCM
  • Aplicaciones reales: Descomponer problemas complejos en partes manejables
¡Dominar la factorización abre la puerta a las matemáticas avanzadas, incluyendo el cálculo!

Aplicaciones del mundo real

Área y dimensiones

Cuando conoces el área de un rectángulo y necesitas encontrar las dimensiones posibles, factorizas.

Ejemplo:

Un jardín tiene un área de x2+8x+15x^2 + 8x + 15 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones? Factoriza: (x+3)(x+5)(x+3)(x+5), así que las dimensiones son (x+3)(x+3) por (x+5)(x+5) metros.

1Inténtalo tú mismo

Una piscina rectangular tiene un área de x2+10x+24x^2 + 10x + 24 metros cuadrados.

¿Cuáles son las dimensiones de la piscina?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Factoriza x2+10x+24x^2 + 10x + 24:

Descomponer problemas complejos

En ingeniería y ciencias, la factorización ayuda a simplificar expresiones complejas para facilitar los cálculos.

Ejemplo:

Una fórmula de física puede simplificarse de 2t2+6t2t\frac{2t^2 + 6t}{2t} a 2t(t+3)2t=t+3\frac{2t(t + 3)}{2t} = t + 3 factorizando.

2Inténtalo tú mismo

Simplifica la expresión 3x2+9x3x\frac{3x^2 + 9x}{3x}.

¿Cuál es el resultado de la simplificación?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Primero, factoriza el numerador:

Puntos clave

  • 1La factorización descompone números o expresiones en partes que se multiplican
  • 2Busca siempre primero el máximo común divisor (MCD)
  • 3Para trinomios x2+bx+cx^2 + bx + c, encuentra dos números cuyo producto sea cc y cuya suma sea bb
  • 4Los signos de bb y cc te indican los signos de los factores
  • 5Verifica siempre tu respuesta multiplicando los factores

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé si una expresión está completamente factorizada?

Una expresión está completamente factorizada cuando no puedes factorizar ninguno de los factores restantes. Por ejemplo, (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) está completa, pero 2(x2+5x+6)2(x^2+5x+6) no porque el trinomio aún puede factorizarse.

¿Y si no encuentro dos números que funcionen?

Algunos trinomios no pueden factorizarse con enteros. Por ejemplo, x2+x+1x^2 + x + 1 no tiene factores enteros. Estos se llaman polinomios 'primos' o 'irreducibles'. Aprenderás otros métodos como la fórmula cuadrática para estos casos.

¿Importa el orden de los factores?

¡No! Como la multiplicación es conmutativa, (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) es igual a (x+3)(x+2)(x+3)(x+2). Ambas respuestas son correctas.

Glosario

Factor
Un número o expresión que divide exactamente a otro. En 12=3×412 = 3 \times 4, tanto 3 como 4 son factores de 12.
Factorización
El proceso de reescribir un número o expresión como producto de sus factores.
Máximo común divisor (MCD)
El factor más grande compartido por dos o más números o términos.
Trinomio
Un polinomio con exactamente tres términos, como x2+5x+6x^2 + 5x + 6.
Polinomio primo
Un polinomio que no puede factorizarse en polinomios con coeficientes enteros.

Más sobre este tema

Factorización por el MCD

Intermedio25 min

Factorización por agrupación

Intermedio25 min

Factorización de trinomios (a=1)

Intermedio25 min

Factorización de trinomios (General)

Avanzado25 min