Resolver ecuaciones por factorización
Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas factorizándolas en productos de binomios y aplicando la propiedad del producto cero.
Definición
Pruébalo ahora
Ejemplos resueltos
Resuelve:
Identifica la forma de la ecuación
Ya en forma estándar: → , ,
Factoriza el trinomio
Encuentra dos números que se multipliquen para dar 12 y se sumen para dar 7: y →
Aplica la propiedad del producto cero
Si , entonces o → Dos ecuaciones a resolver
Resuelve cada ecuación
y → o
Respuesta: o
Errores comunes
Dividir ambos lados por (pierde la solución )
Por qué está mal: Cuando divides por , asumes que . ¡Pero podría ser una solución válida!
Correcto: Factoriza en su lugar: , da o
Olvidar igualar la ecuación a cero primero
Por qué está mal: La propiedad del producto cero solo funciona cuando el producto es igual a cero, no a otro número.
Correcto: Siempre reescribe como antes de factorizar. Por ejemplo: se convierte en
Escribir solo una solución cuando hay dos
Por qué está mal: Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones distintas, y ambas son válidas.
Correcto: Siempre verifica ambos factores. da DOS soluciones: Y
Errores de signo al factorizar
Por qué está mal: Los signos en la forma factorizada determinan los signos de las soluciones.
Correcto: da (signo opuesto). da (mismo signo)
Visual interactivo
Explorador de funciones lineales
| x | y |
|---|---|
| -2 | -2 |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Balanza
Solución: x = 4
Sandbox interactivo
Graficador interactivo
Prueba estos ejemplos:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calculadora de expresiones
Prueba estos:
Historial
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Problemas de práctica
15 problemas¿Qué es la propiedad del producto cero?
Por qué es importante
- Física: Ecuaciones de movimiento proyectil (¿cuándo toca la pelota el suelo?)
- Negocios: Análisis del punto de equilibrio (¿cuándo la ganancia es cero?)
- Ingeniería: Encontrar dimensiones que satisfagan requisitos de área
- Arquitectura: Calcular medidas para diseños estructurales
Aplicaciones del mundo real
Movimiento proyectil
Cuando un objeto se lanza hacia arriba, su altura sigue una ecuación cuadrática. Encontrar cuándo toca el suelo significa resolver cuándo la altura es cero.
Ejemplo:
La altura de una pelota es metros después de segundos. ¿Cuándo toca el suelo? Resuelve , o equivalentemente . Factorización: , entonces segundos (ignoramos ya que el tiempo no puede ser negativo).
La altura de un cohete está dada por metros, donde es el tiempo en segundos.
¿Cuándo regresa el cohete al suelo?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Iguala la altura a cero y resuelve:
Problemas de área
Encontrar dimensiones cuando se conoce el área a menudo lleva a ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo:
Un jardín rectangular tiene largo 3 metros más que su ancho. Si el área es 40 metros cuadrados, encuentra las dimensiones. Sea ancho = . Entonces: , así que . Factorización: , da metros (ancho). Largo = 8 metros.
Un marco de foto tiene ancho cm y largo cm. El área del marco es 45 centímetros cuadrados.
¿Cuáles son las dimensiones del marco?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Establece y resuelve la ecuación del área:
Puntos clave
- 1La propiedad del producto cero establece: si , entonces o
- 2Siempre escribe la ecuación en forma estándar () antes de factorizar
- 3Factoriza la expresión, luego iguala cada factor a cero
- 4Las ecuaciones cuadráticas pueden tener cero, una o dos soluciones
- 5Verifica tus respuestas sustituyendo en la ecuación original
- 6¡Nunca dividas por una variable - podrías perder soluciones!
Preguntas frecuentes
Glosario
- Propiedad del producto cero
- Si , entonces o (o ambos)
- Forma estándar
- Una ecuación cuadrática escrita como
- Raíz/Solución
- Un valor de que hace la ecuación verdadera
- Factorización
- Escribir una expresión como un producto de expresiones más simples