Resolver ecuaciones por factorización

Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas factorizándolas en productos de binomios y aplicando la propiedad del producto cero.

Intermedio25 minLección
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Definición

Resolver ecuaciones por factorización usa la propiedad del producto cero: si a⋅b=0a \cdot b = 0, entonces a=0a = 0 o b=0b = 0 (o ambos).
Para resolver una ecuación cuadrática por factorización:
  1. 1.Escribe la ecuación en forma estándar: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  2. 2.Factoriza el lado izquierdo en un producto de binomios
  3. 3.Iguala cada factor a cero
  4. 4.Resuelve cada ecuación resultante
Ejemplo:
x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
(x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0
x−2=0 o x−3=0x - 2 = 0 \text{ o } x - 3 = 0
x=2 o x=3x = 2 \text{ o } x = 3

Pruébalo ahora

¿Qué es la propiedad del producto cero?

Ejemplos resueltos

Resuelve: x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0
1

Identifica la forma de la ecuación

Ya en forma estándar: x2+7x+12=0x^2 + 7x + 12 = 0 → a=1a = 1, b=7b = 7, c=12c = 12
2

Factoriza el trinomio

Encuentra dos números que se multipliquen para dar 12 y se sumen para dar 7: 3×4=123 \times 4 = 12 y 3+4=73 + 4 = 7 → (x+3)(x+4)=0(x + 3)(x + 4) = 0
3

Aplica la propiedad del producto cero

Si (x+3)(x+4)=0(x + 3)(x + 4) = 0, entonces x+3=0x + 3 = 0 o x+4=0x + 4 = 0 → Dos ecuaciones a resolver
4

Resuelve cada ecuación

x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 y x+4=0⇒x=−4x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 → x=−3x = -3 o x=−4x = -4

Errores comunes

Dividir ambos lados por xx (pierde la solución x=0x = 0)

Por qué está mal: Cuando divides por xx, asumes que x≠0x \neq 0. ¡Pero x=0x = 0 podría ser una solución válida!

Correcto: Factoriza xx en su lugar: x2−5x=0⇒x(x−5)=0x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0, da x=0x = 0 o x=5x = 5

Olvidar igualar la ecuación a cero primero

Por qué está mal: La propiedad del producto cero solo funciona cuando el producto es igual a cero, no a otro número.

Correcto: Siempre reescribe como expresioˊn=0\text{expresión} = 0 antes de factorizar. Por ejemplo: x2=9x^2 = 9 se convierte en x2−9=0x^2 - 9 = 0

Escribir solo una solución cuando hay dos

Por qué está mal: Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones distintas, y ambas son válidas.

Correcto: Siempre verifica ambos factores. (x−2)(x−3)=0(x - 2)(x - 3) = 0 da DOS soluciones: x=2x = 2 Y x=3x = 3

Errores de signo al factorizar

Por qué está mal: Los signos en la forma factorizada determinan los signos de las soluciones.

Correcto: (x+3)=0(x + 3) = 0 da x=−3x = -3 (signo opuesto). (x−3)=0(x - 3) = 0 da x=3x = 3 (mismo signo)

Visual interactivo

Resolvedor de ecuaciones

Resolver para xx:

x2+7x+12=0x^{2} + 7x + 12 = 0
1
x2+7x+12=0x^{2} + 7x + 12 = 0
Factorizar el lado izquierdoUn producto es fácil de igualar a cero

Consejos:

  • • Lo que hagas de un lado, hazlo del otro
  • • Deshaz las operaciones en orden inverso
  • • Comprueba tu respuesta sustituyendo

Sigue mientras resolvemos la ecuación paso a paso.

Explorador cuadrático

y = x² + 7x + 12

Controla ancho y dirección

Desplaza la parábola

Intersección con eje Y

xy

Vértice

(-3.5, -0.25)

Eje de simetría

x = -3.5

Raíces (intersecciones con eje X)

x = -3, x = -4

Intersección con eje Y

(0, 12)

Dirección

Abre hacia arriba

Discriminante

b² - 4ac = 1

Tabla de valores

x-3-2-10123
y02612203042
VérticeRaícesIntersección con eje YEje de simetría

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-8-6-4-202468-30-20-100102030xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

15 problemas
Problema 1 de 15
Fácil
¿Qué es la propiedad del producto cero?

Por qué es importante

Resolver ecuaciones por factorización es uno de los métodos más elegantes del álgebra porque transforma problemas complejos en más simples:
  • Física: Ecuaciones de movimiento proyectil (¿cuándo toca la pelota el suelo?)
  • Negocios: Análisis del punto de equilibrio (¿cuándo la ganancia es cero?)
  • Ingeniería: Encontrar dimensiones que satisfagan requisitos de área
  • Arquitectura: Calcular medidas para diseños estructurales
¡Aunque la fórmula cuadrática siempre funciona, la factorización es a menudo más rápida y da más información sobre la estructura de la ecuación!

Aplicaciones del mundo real

Movimiento proyectil

Cuando un objeto se lanza hacia arriba, su altura sigue una ecuación cuadrática. Encontrar cuándo toca el suelo significa resolver cuándo la altura es cero.

Ejemplo:

La altura de una pelota es h=−t2+4t+5h = -t^2 + 4t + 5 metros después de tt segundos. ¿Cuándo toca el suelo? Resuelve −t2+4t+5=0-t^2 + 4t + 5 = 0, o equivalentemente t2−4t−5=0t^2 - 4t - 5 = 0. Factorización: (t−5)(t+1)=0(t - 5)(t + 1) = 0, entonces t=5t = 5 segundos (ignoramos t=−1t = -1 ya que el tiempo no puede ser negativo).

1Inténtalo tú mismo

La altura de un cohete está dada por h=−2t2+12th = -2t^2 + 12t metros, donde tt es el tiempo en segundos.

¿Cuándo regresa el cohete al suelo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Iguala la altura a cero y resuelve:

Problemas de área

Encontrar dimensiones cuando se conoce el área a menudo lleva a ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo:

Un jardín rectangular tiene largo 3 metros más que su ancho. Si el área es 40 metros cuadrados, encuentra las dimensiones. Sea ancho = xx. Entonces: x(x+3)=40x(x + 3) = 40, así que x2+3x−40=0x^2 + 3x - 40 = 0. Factorización: (x+8)(x−5)=0(x + 8)(x - 5) = 0, da x=5x = 5 metros (ancho). Largo = 8 metros.

2Inténtalo tú mismo

Un marco de foto tiene ancho xx cm y largo (x+4)(x + 4) cm. El área del marco es 45 centímetros cuadrados.

¿Cuáles son las dimensiones del marco?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Establece y resuelve la ecuación del área:

Puntos clave

  • 1La propiedad del producto cero establece: si ab=0ab = 0, entonces a=0a = 0 o b=0b = 0
  • 2Siempre escribe la ecuación en forma estándar (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0) antes de factorizar
  • 3Factoriza la expresión, luego iguala cada factor a cero
  • 4Las ecuaciones cuadráticas pueden tener cero, una o dos soluciones
  • 5Verifica tus respuestas sustituyendo en la ecuación original
  • 6¡Nunca dividas por una variable - podrías perder soluciones!

Preguntas frecuentes

No todas las ecuaciones cuadráticas pueden factorizarse con enteros. En esos casos, usa la fórmula cuadrática: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. La factorización funciona mejor cuando las soluciones son números racionales.
No todas las ecuaciones cuadráticas pueden factorizarse con enteros. En esos casos, usa la fórmula cuadrática: x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. La factorización funciona mejor cuando las soluciones son números racionales.
¡Sí! Esto ocurre cuando el trinomio es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0 factoriza como (x−3)2=0(x - 3)^2 = 0, dando solo x=3x = 3 (una raíz repetida).
El cero es especial: es el único número donde, si un producto es igual a él, al menos un factor debe ser igual a él. Si ab=6ab = 6, hay infinitas posibilidades. Pero si ab=0ab = 0, entonces a=0a = 0 o b=0b = 0.

Glosario

Propiedad del producto cero
Si a⋅b=0a \cdot b = 0, entonces a=0a = 0 o b=0b = 0 (o ambos)
Forma estándar
Una ecuación cuadrática escrita como ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Raíz/Solución
Un valor de xx que hace la ecuación verdadera
Factorización
Escribir una expresión como un producto de expresiones más simples
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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