Inecuaciones con valor absoluto

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué inecuación compuesta representa $|x| < 5$ ?
1. a) $-5 < x < 5$
2. b) $x > -5$
3. c) $x < 5$
4. d) $x < -5$ o $x > 5$
Respuesta: $-5 < x < 5$
$|x| < 5$ significa que $x$ está a menos de 5 unidades de cero. Esto nos da $-5 < x < 5$ (valores entre $-5$ y $5$ ).
2.
¿Qué inecuación compuesta representa $|x| > 4$ ?
1. a) $x > 4$
2. b) $-4 < x < 4$
3. c) $x < -4$ o $x > 4$
4. d) $x < -4$
Respuesta: $x < -4$ o $x > 4$
$|x| > 4$ significa que $x$ está a más de 4 unidades de cero. Esto nos da $x < -4$ O $x > 4$ (valores fuera del intervalo).
3.
Resuelve $|x| < 3$ . ¿Cuál es el extremo inferior de la solución? (Escribe solo el número)
Respuesta: -3
$|x| < 3$ significa $-3 < x < 3$ . El extremo inferior es $-3$ .
4.
Resuelve $|x| \leq 7$ . ¿Cuál es el extremo superior de la solución?
Respuesta: 7
$|x| \leq 7$ significa $-7 \leq x \leq 7$ . El extremo superior es $7$ .
5.
Resuelve $|x - 3| < 4$
Respuesta: $-1 < x < 7$
1. ¿Qué tipo de inecuación es esta (menor que o mayor que)? menor que
2. Escribe la inecuación compuesta: $-4 < x - 3 < ?$ 4
3. Suma 3 a todas las partes. ¿Cuál es el extremo inferior? -1
4. ¿Cuál es el extremo superior? 7
6.
Resuelve $|x + 2| > 5$
Respuesta: $x < -7$ o $x > 3$
1. ¿Qué tipo de inecuación es esta? mayor que
2. Para mayor que, escribimos dos inecuaciones separadas. La primera es $x + 2 < ?$ -5
3. Resuelve $x + 2 < -5$ : $x < ?$ -7
4. La segunda inecuación es $x + 2 > 5$ . Resuélvela: $x > ?$ 3
7.
¿Cuál es la solución de $|x - 1| \leq 6$ ?
1. a) $-5 \leq x \leq 7$
2. b) $-6 \leq x \leq 6$
3. c) $-7 \leq x \leq 5$
4. d) $x \leq -5$ o $x \geq 7$
Respuesta: $-5 \leq x \leq 7$
$|x - 1| \leq 6$ significa $-6 \leq x - 1 \leq 6$ . Sumando 1: $-5 \leq x \leq 7$ .
8.
Resuelve $|2x| < 10$ . ¿Cuál es el extremo superior de la solución?
Respuesta: 5
$|2x| < 10$ significa $-10 < 2x < 10$ . Dividiendo por 2: $-5 < x < 5$ . El extremo superior es $5$ .
9.
¿Cuál es la solución de $|x + 5| \geq 3$ ?
1. a) $x \leq -8$ o $x \geq -2$
2. b) $-2 \leq x \leq 8$
3. c) $x \leq -2$ o $x \geq 8$
4. d) $-8 \leq x \leq -2$
Respuesta: $x \leq -8$ o $x \geq -2$
$|x + 5| \geq 3$ da $x + 5 \leq -3$ O $x + 5 \geq 3$ . Resolviendo: $x \leq -8$ o $x \geq -2$ .
10.
Resuelve $|3x - 6| \leq 12$
Respuesta: $-2 \leq x \leq 6$
1. Escribe como inecuación compuesta: $-12 \leq 3x - 6 \leq ?$ 12
2. Suma 6 a todas las partes: $-6 \leq 3x \leq ?$ 18
3. Divide por 3. ¿Cuál es el extremo inferior? -2
4. ¿Cuál es el extremo superior? 6
11.
¿Cuál es la solución de $|x + 3| < -1$ ?
1. a) $x < -4$ o $x > -2$
2. b) $-4 < x < -2$
3. c)Todos los números reales
4. d)Sin solución
Respuesta: Sin solución
El valor absoluto siempre es $\geq 0$ . Como $|x + 3| \geq 0$ para todo $x$ , nunca puede ser menor que $-1$ . Sin solución.
12.
¿Cuál es la solución de $|2x - 5| > -3$ ?
1. a) $1 < x < 4$
2. b)Todos los números reales
3. c)Sin solución
4. d) $x < 1$ o $x > 4$
Respuesta: Todos los números reales
Como $|2x - 5| \geq 0$ y $0 > -3$ , la inecuación siempre es verdadera. Solución: todos los números reales.
13.
Resuelve $|4x + 8| > 12$
Respuesta: $x < -5$ o $x > 1$
1. Esta es una inecuación mayor que. Escribe el primer caso: $4x + 8 < ?$ -12
2. Resuelve $4x + 8 < -12$ . Primero resta 8: $4x < ?$ -20
3. Divide por 4: $x < ?$ -5
4. Ahora resuelve $4x + 8 > 12$ . Resta 8, luego divide por 4: $x > ?$ 1
14.
Una pieza de máquina debe tener un diámetro de 50 mm, con una tolerancia de 0,5 mm: $|d - 50| \leq 0{,}5$ . ¿Cuál es el mayor diámetro $d$ aceptable, en mm?
Respuesta: 50.5
$|d - 50| \leq 0{,}5$ significa $-0{,}5 \leq d - 50 \leq 0{,}5$ . Sumando 50: $49{,}5 \leq d \leq 50{,}5$ . El máximo es $50{,}5$ mm.
15.
Resuelve $|2x - 3| \geq 7$
Respuesta: $x ≤ -2$ o $x ≥ 5$
1. Esto es mayor o igual. Primer caso: $2x - 3 \leq ?$ -7
2. Suma 3: $2x \leq ?$ -4
3. Divide por 2: $x \leq ?$ -2
4. Segundo caso: resuelve $2x - 3 \geq 7$ : $x \geq ?$ 5
16.
Resuelve $|x| > 6$ . La solución tiene dos partes: $x < ?$ o $x > 6$ . ¿Qué número va en lugar del signo de interrogación?
Respuesta: -6
$|x| > 6$ significa que $x$ está a más de 6 unidades de cero: $x < -6$ o $x > 6$ . El número que falta es $-6$ .
17.
Resuelve $|x + 4| \leq 2$
Respuesta: $-6 \leq x \leq -2$
1. Escribe como inecuación compuesta: $-2 \leq x + 4 \leq ?$ 2
2. Resta 4 de todas las partes. Extremo inferior: $-2 - 4 = ?$ -6
3. Extremo superior: $2 - 4 = ?$ -2