Introducción a las funciones lineales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál de las siguientes es una función lineal?
1. a) $y = \frac{1}{x}$
2. b) $y = x^2 + 3$
3. c) $y = 2x + 5$
4. d) $y = \sqrt{x}$
Respuesta: $y = 2x + 5$
$y = 2x + 5$ es lineal porque se ajusta a la forma $y = mx + b$ donde $m = 2$ y $b = 5$ . Las otras tienen exponentes, raíces o $x$ en el denominador.
2.
¿Cuál es la pendiente de la función $y = 4x - 7$ ?
Respuesta: 4
En la forma $y = mx + b$ , la pendiente es $m$ . Aquí, $m = 4$ porque $4$ es el número que multiplica a $x$ .
3.
¿Cuál es la ordenada en el origen de $y = -3x + 8$ ?
Respuesta: 8
En $y = mx + b$ , la ordenada en el origen es $b$ . Aquí, $b = 8$ . Este es el punto donde la recta cruza el eje y.
4.
¿Qué función tiene pendiente cero?
1. a) $y = 5x$
2. b) $y = -x$
3. c) $y = x + 2$
4. d) $y = 7$
Respuesta: $y = 7$
$y = 7$ se puede escribir como $y = 0x + 7$ , donde $m = 0$ . Esta es una recta horizontal en $y = 7$ .
5.
Encuentra el valor de $y$ cuando $x = 3$ para la función $y = 2x + 4$ .
Respuesta: 10
1. ¿Qué valor sustituye a $x$ ? 3
2. Sustituye $x = 3$ en la función. ¿Cuánto es $2 \times 3$ ? 6
3. Ahora suma 4 para obtener la respuesta final. ¿Cuánto es $6 + 4$ ? 10
6.
Una tarifa de móvil cuesta 15 dólares al mes más 2 dólares por gigabyte de datos. ¿Qué función representa el coste mensual?
1. a) $y = 15x - 2$
2. b) $y = 15x + 2$
3. c) $y = 2x + 15$
4. d) $y = 17x$
Respuesta: $y = 2x + 15$
La pendiente es 2 (coste por GB) y la ordenada en el origen es 15 (tarifa fija). Entonces $y = 2x + 15$ donde $x$ son los gigabytes.
7.
Crea una tabla de valores para $y = 3x - 1$ usando $x = 0, 1, 2$ . ¿Cuál es la tasa de cambio constante?
Respuesta: 3
1. Calcula $y$ cuando $x = 0$ : $y = 3(0) - 1$ -1
2. Calcula $y$ cuando $x = 1$ : $y = 3(1) - 1$ 2
3. Calcula $y$ cuando $x = 2$ : $y = 3(2) - 1$ 5
4. ¿Cuál es el cambio en $y$ cada vez que $x$ aumenta en 1? 3
8.
Si un ciclista viaja a 20 km/h, ¿qué distancia recorrerá en 4 horas? Usa $d = 20t$ .
Respuesta: 80
$d = 20 \times 4 = 80$ km. Esta es una función lineal donde la velocidad es la pendiente.
9.
¿Qué ecuación representa una recta que BAJA de izquierda a derecha?
1. a) $y = -2x + 5$
2. b) $y = 4$
3. c) $y = x$
4. d) $y = 3x + 2$
Respuesta: $y = -2x + 5$
$y = -2x + 5$ tiene una pendiente negativa ( $m = -2$ ), por lo que la recta baja de izquierda a derecha.
10.
Un taxi cobra 4 dólares más 1,50 dólares por kilómetro. Escribe la función y encuentra el coste para un viaje de 8 km.
Respuesta: 16
1. ¿Cuál es el coste fijo (ordenada en el origen)? 4
2. ¿Cuál es el coste por kilómetro (pendiente)? 1.5
3. Escribe la función en la forma $y = mx + b$ y = 1.5x + 4
4. Calcula el coste para 8 km: $1{,}5 \times 8 + 4$ 16
11.
Determina si esta tabla representa una función lineal: $(0, 2), (1, 5), (2, 8), (3, 11)$
Respuesta: sí
1. ¿Cuál es el cambio en $y$ de $(0,2)$ a $(1,5)$ ? 3
2. ¿Cuál es el cambio en $y$ de $(1,5)$ a $(2,8)$ ? 3
3. ¿Cuál es el cambio en $y$ de $(2,8)$ a $(3,11)$ ? 3
4. ¿Es constante la tasa de cambio? sí
12.
Encuentra la pendiente de la función si los puntos $(2, 7)$ y $(5, 16)$ están en la recta.
Respuesta: 3
Pendiente = $\frac{16-7}{5-2} = \frac{9}{3} = 3$ . La línea sube 9 unidades por cada 3 unidades hacia la derecha.
13.
¿Qué afirmación es VERDADERA sobre la función $y = -0{,}5x + 10$ ?
1. a)La pendiente es $10$
2. b)La línea sube de izquierda a derecha
3. c)La ordenada en el origen es $-0{,}5$
4. d)La línea baja de izquierda a derecha
Respuesta: La línea baja de izquierda a derecha
La pendiente es $-0{,}5$ (negativa), por lo que la recta baja de izquierda a derecha. La ordenada en el origen es $10$ , no $-0{,}5$ .
14.
Escribe la ecuación de la recta que pasa por $(0, -3)$ con pendiente $2$ .
Respuesta: y = 2x - 3
1. ¿Cuál es la pendiente $m$ ? 2
2. El punto $(0, -3)$ está en el eje y. ¿Cuál es la ordenada en el origen $b$ ? -3
3. Escribe la ecuación en la forma $y = mx + b$ y = 2x - 3
15.
¿Qué tipo de línea representa $y = 4$ ?
1. a)Una recta diagonal descendente
2. b)Una recta horizontal
3. c)Una recta diagonal ascendente
4. d)Una recta vertical
Respuesta: Una recta horizontal
$y = 4$ significa que cada punto tiene una coordenada y de 4, independientemente de x. Esto crea una recta horizontal a la altura 4.
16.
Para la función $y = -2x + 6$ , ¿qué valor de $x$ hace que $y = 0$ ?
Respuesta: 3
$0 = -2x + 6$ lleva a $2x = 6$ , por lo que $x = 3$ . El punto $(3, 0)$ es donde la recta cruza el eje x.