Escribir ecuaciones lineales

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es la ecuación de una recta con pendiente $m = 2$ y ordenada en el origen $b = 5$ ?
1. a) $y = -2x + 5$
2. b) $y = 5x + 2$
3. c) $y = 2x + 5$
4. d) $y = 2x - 5$
Respuesta: $y = 2x + 5$
Sustituyendo $m = 2$ y $b = 5$ en $y = mx + b$ se obtiene $y = 2x + 5$ .
2.
Una recta tiene pendiente $4$ y pasa por el origen. ¿Cuál es la ecuación? Escribe en la forma $y = mx + b$ .
Respuesta: y = 4x
Como la recta pasa por el origen, $b = 0$ . Con $m = 4$ , la ecuación es $y = 4x + 0$ o simplemente $y = 4x$ .
3.
¿Qué ecuación representa una recta con pendiente $-3$ y ordenada en el origen $7$ ?
1. a) $y = 7x - 3$
2. b) $y = -3x + 7$
3. c) $y = -3x - 7$
4. d) $y = 3x + 7$
Respuesta: $y = -3x + 7$
Con pendiente $m = -3$ y ordenada en el origen $b = 7$ , la ecuación es $y = -3x + 7$ .
4.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por $(2, 3)$ y $(5, 12)$ .
Respuesta: 3
$m = \frac{12 - 3}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$
5.
Escribe la ecuación de la recta con pendiente $m = 4$ que pasa por el punto $(2, 11)$ .
Respuesta: y = 4x + 3
1. Escribe la forma punto-pendiente: $y - y_1 = m(x - x_1)$ . ¿Qué obtienes al sustituir? y - 11 = 4(x - 2)
2. Multiplica el 4 por el paréntesis del lado derecho. ¿Cuánto es $4(x - 2)$ ? 4x - 8
3. Suma 11 a ambos lados para despejar $y$ . ¿Cuál es la ecuación final? y = 4x + 3
6.
¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(1, 5)$ y $(3, 11)$ ?
1. a) $3$
2. b) $6$
3. c) $\frac{1}{3}$
4. d) $2$
Respuesta: $3$
$m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
7.
Escribe la ecuación de la recta que pasa por $(0, 4)$ y $(2, 10)$ en forma pendiente-intersección.
Respuesta: y = 3x + 4
1. Calcula la pendiente usando $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . ¿Cuánto es $m$ ? 3
2. Uno de los puntos es $(0, 4)$ . ¿Cuál es la ordenada en el origen $b$ ? 4
3. Escribe la ecuación $y = mx + b$ . y = 3x + 4
8.
Un gimnasio cobra 20 dólares al mes más 5 dólares por clase. Sea $x$ el número de clases e $y$ el coste mensual total. Escribe la ecuación (como y = ...).
Respuesta: y = 5x + 20
Tarifa = 5 dólares por clase (pendiente), cuota fija = 20 dólares (ordenada en el origen). Entonces $y = 5x + 20$ .
9.
Una tabla muestra: cuando $x = 1$ , $y = 7$ ; cuando $x = 3$ , $y = 13$ . ¿Cuál es la ecuación?
1. a) $y = 3x + 4$
2. b) $y = 3x + 7$
3. c) $y = 6x + 1$
4. d) $y = 2x + 5$
Respuesta: $y = 3x + 4$
Pendiente: $m = \frac{13-7}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$ . Usando $(1, 7)$ : $7 = 3(1) + b \Rightarrow b = 4$ . Entonces $y = 3x + 4$ .
10.
Escribe la ecuación de la recta que pasa por $(2, 1)$ y $(5, 10)$ .
Respuesta: y = 3x - 5
1. Calcula la pendiente $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 3
2. Usa la forma punto-pendiente con $(2, 1)$ : $y - 1 = 3(x - 2)$ . Quita el paréntesis del lado derecho. 3x - 6
3. Suma 1 a ambos lados. ¿Cuál es la ecuación final? y = 3x - 5
11.
Escribe la ecuación de la recta con pendiente $m = -2$ que pasa por $(4, 3)$ . Da tu respuesta en forma pendiente-intersección.
Respuesta: y = -2x + 11
$y - 3 = -2(x - 4) \Rightarrow y - 3 = -2x + 8 \Rightarrow y = -2x + 11$
12.
Escribe la ecuación de la recta que pasa por $(-1, 5)$ y $(3, -3)$ .
Respuesta: y = -2x + 3
1. Calcula $y_2 - y_1$ (cambio en y) -8
2. Calcula $x_2 - x_1$ (cambio en x) 4
3. ¿Cuál es la pendiente $m$ ? -2
4. Usando el punto $(-1, 5)$ y pendiente $-2$ , encuentra la ordenada en el origen $b$ . 3
5. Escribe la ecuación final. y = -2x + 3
13.
Un alquiler de coches cuesta 30 dólares por día más 0,20 dólares por kilómetro. ¿Qué ecuación representa el coste total $C$ para $d$ días y $k$ kilómetros?
1. a) $C = 30d + 0{,}20$
2. b) $C = 30k + 0{,}20d$
3. c) $C = 30d + 0{,}20k$
4. d) $C = 30 + 0{,}20dk$
Respuesta: $C = 30d + 0{,}20k$
Coste diario = 30 dólares $\times$ días. Coste por kilómetro = 0,20 dólares $\times$ km. Total: $C = 30d + 0{,}20k$ .
14.
Un tanque de agua tiene 200 litros y se vacía a 15 litros por minuto. Escribe la ecuación para la cantidad de agua $A$ después de $t$ minutos, y encuentra cuándo estará vacío el tanque.
Respuesta: 13.33
1. ¿Cuál es la tasa de cambio (pendiente)? ¡Recuerda: vaciar significa negativo! -15
2. ¿Cuál es la cantidad inicial (ordenada en el origen)? 200
3. Escribe la ecuación A = ? -15t + 200
4. Iguala $A$ a 0 y despeja $t$ . ¿Cuánto es $t$ (redondea a 2 decimales)? 13.33
15.
La recta $L$ pasa por $(2, 8)$ y $(6, 20)$ . ¿Cuál es la ordenada en el origen de la recta $L$ ?
Respuesta: 2
Pendiente: $m = \frac{20-8}{6-2} = \frac{12}{4} = 3$ . Usando $(2, 8)$ : $8 = 3(2) + b \Rightarrow b = 2$ .
16.
Escribe la ecuación de una recta horizontal que pasa por $(3, 5)$ .
Respuesta: y = 5
1. ¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal? 0
2. Para una recta horizontal, y siempre es igual. ¿Qué valor tiene y siempre? 5
3. Escribe la ecuación. y = 5