Completar el cuadrado
Domina la técnica de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas y reescribirlas en forma de vértice.
Definición
Pruébalo ahora
Ejemplos resueltos
Completa el cuadrado:
Identifica el coeficiente de x
→ El coeficiente es 8
Toma la mitad de b
→ La mitad es 4
Eleva el resultado al cuadrado
→ Necesitamos agregar 16
Suma y resta este valor
→ Equilibrio mantenido
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto
→ Forma de cuadrado completado
Respuesta:
Errores comunes
Olvidar sumar a ambos lados al resolver una ecuación
Por qué está mal: Al completar el cuadrado en una ecuación, lo que se suma a un lado debe sumarse al otro para mantener la igualdad.
Correcto: Después de sumar a la izquierda, suma el mismo valor a la derecha.
No factorizar primero el coeficiente principal
Por qué está mal: Cuando en , completar el cuadrado directamente da resultados incorrectos.
Correcto: Primero factoriza de los términos y , luego completa el cuadrado dentro.
Usar en lugar de para completar el cuadrado
Por qué está mal: La fórmula requiere la mitad del coeficiente de , al cuadrado.
Correcto: Siempre usa , no .
Olvidar multiplicar al distribuir
Por qué está mal: Cuando está factorizado, el valor restado dentro se multiplica por .
Correcto: En , el se convierte en al distribuir: .
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Graficador interactivo
Prueba estos ejemplos:
y = 2x + 1
m=2, b=1
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Prueba estos:
Historial
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Problemas de práctica
16 problemas¿Qué valor completa el cuadrado para ?
Por qué es importante
- Resuelve cualquier ecuación cuadrática (incluso cuando la factorización no funciona)
- Revela el vértice de una parábola directamente desde la ecuación
- Deriva la fórmula cuadrática (¡que viene de completar el cuadrado!)
- Transforma círculos de la forma general a la forma estándar en geometría
Aplicaciones del mundo real
Movimiento de proyectiles
Los ingenieros usan completar el cuadrado para encontrar la altura máxima de proyectiles.
Ejemplo:
La altura de una pelota es pies. Completando el cuadrado: . La altura máxima es 69 pies a segundos.
La altura de un cohete está dada por metros.
¿Cuál es la altura máxima?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Completa el cuadrado para encontrar el vértice:
Arquitectura y diseño
Los arquitectos usan completar el cuadrado para diseñar arcos parabólicos y determinar sus puntos más altos.
Ejemplo:
El arco de un puente sigue . En forma de vértice: . El arco alcanza 100 metros de altura en su centro.
Una antena parabólica se modela con .
¿En qué coordenada x la antena es más profunda?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Encuentra la coordenada x del vértice:
Economía y optimización de ganancias
Las empresas usan modelos cuadráticos para encontrar el precio óptimo para máximas ganancias.
Ejemplo:
La ganancia de una empresa es dólares donde es el precio. Forma de vértice: . La ganancia máxima de 50 dólares ocurre al precio de 10 dólares.
El ingreso se modela con donde son las unidades vendidas en miles.
¿Cuántas unidades maximizan el ingreso?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Encuentra el vértice:
Puntos clave
- 1Completar el cuadrado transforma en
- 2El valor clave a sumar es siempre
- 3Cuando , factoriza primero de los términos en
- 4La forma de vértice revela directamente el vértice
- 5Esta técnica puede resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso cuando la factorización falla
Preguntas frecuentes
Glosario
- Completar el cuadrado
- Un método para reescribir una expresión cuadrática como un cuadrado perfecto más o menos una constante
- Trinomio cuadrado perfecto
- Un trinomio que se factoriza como o , como
- Forma de vértice
- La forma donde es el vértice de la parábola
- Forma estándar
- La forma para una expresión cuadrática
Tarjeta de fórmulas
Fórmula de completar el cuadrado
La transformación fundamental para completar el cuadrado
Valor a sumar
El valor que sumas y restas para crear un cuadrado perfecto
Forma de vértice
El vértice de la parábola está en el punto (h, k)
Patrones de cuadrados perfectos
Expandir un binomio al cuadrado crea un trinomio cuadrado perfecto