Completar el cuadrado

Domina la técnica de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas y reescribirlas en forma de vértice.

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Definición

Completar el cuadrado es una técnica para reescribir una expresión cuadrática ax2+bx+cax^2 + bx + c en la forma a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k, llamada forma de vértice.
La idea clave: sumamos y restamos el mismo valor para crear un trinomio cuadrado perfecto.
x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2
Por ejemplo:
x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Aquí, (62)2=9\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9 completa el cuadrado.

Pruébalo ahora

¿Qué valor completa el cuadrado para x2+6xx^2 + 6x?

Ejemplos resueltos

Completa el cuadrado: x2+8xx^2 + 8x
1

Identifica el coeficiente de x

b=8b = 8 → El coeficiente es 8
2

Toma la mitad de b

82=4\frac{8}{2} = 4 → La mitad es 4
3

Eleva el resultado al cuadrado

42=164^2 = 16 → Necesitamos agregar 16
4

Suma y resta este valor

x2+8x+16−16x^2 + 8x + 16 - 16 → Equilibrio mantenido
5

Factoriza el trinomio cuadrado perfecto

(x+4)2−16(x + 4)^2 - 16 → Forma de cuadrado completado

Errores comunes

Olvidar sumar a ambos lados al resolver una ecuación

Por qué está mal: Al completar el cuadrado en una ecuación, lo que se suma a un lado debe sumarse al otro para mantener la igualdad.

Correcto: Después de sumar (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2 a la izquierda, suma el mismo valor a la derecha.

No factorizar primero el coeficiente principal

Por qué está mal: Cuando a≠1a \neq 1 en ax2+bx+cax^2 + bx + c, completar el cuadrado directamente da resultados incorrectos.

Correcto: Primero factoriza aa de los términos x2x^2 y xx, luego completa el cuadrado dentro.

Usar bb en lugar de b2\frac{b}{2} para completar el cuadrado

Por qué está mal: La fórmula requiere la mitad del coeficiente de xx, al cuadrado.

Correcto: Siempre usa (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2, no b2b^2.

Olvidar multiplicar al distribuir

Por qué está mal: Cuando aa está factorizado, el valor restado dentro se multiplica por aa.

Correcto: En 2(x2+6x+9−9)2(x^2 + 6x + 9 - 9), el −9-9 se convierte en −18-18 al distribuir: 2(−9)=−182(-9) = -18.

Visual interactivo

Modelo de área: completar el cuadrado

x² + bx es un cuadrado al que le falta una esquina. Sumar (b/2)² lo completa.

x2x^2
4x4x
4x4x
+16+16
xx
44
xx
44

Largo × ancho = área

x2+8x=(x+4)2−16x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16

Suma 16 para rellenar la esquina y obtener un cuadrado perfecto.

Resolvedor de ecuaciones

Resolver para xx:

x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
1
x2+6x+2=0x^{2} + 6x + 2 = 0
Restar 22 de ambos ladosDejar a la izquierda solo los términos con la variable

Consejos:

  • • Lo que hagas de un lado, hazlo del otro
  • • Deshaz las operaciones en orden inverso
  • • Comprueba tu respuesta sustituyendo

Sigue mientras resolvemos la ecuación paso a paso.

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = x^2 - 4x + 7

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Qué valor completa el cuadrado para x2+6xx^2 + 6x?

Por qué es importante

Completar el cuadrado es una de las técnicas algebraicas más poderosas porque:
  • Resuelve cualquier ecuación cuadrática (incluso cuando la factorización no funciona)
  • Revela el vértice de una parábola directamente desde la ecuación
  • Deriva la fórmula cuadrática (¡que viene de completar el cuadrado!)
  • Transforma círculos de la forma general a la forma estándar en geometría
¡Sin esta técnica, muchas ecuaciones cuadráticas serían irresolubles a mano!

Aplicaciones del mundo real

Movimiento de proyectiles

Los ingenieros usan completar el cuadrado para encontrar la altura máxima de proyectiles.

Ejemplo:

La altura de una pelota es h=−16t2+64t+5h = -16t^2 + 64t + 5 pies. Completando el cuadrado: h=−16(t−2)2+69h = -16(t - 2)^2 + 69. La altura máxima es 69 pies a t=2t = 2 segundos.

1Inténtalo tú mismo

La altura de un cohete está dada por h=−5t2+30t+10h = -5t^2 + 30t + 10 metros.

¿Cuál es la altura máxima?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Completa el cuadrado para encontrar el vértice:

Arquitectura y diseño

Los arquitectos usan completar el cuadrado para diseñar arcos parabólicos y determinar sus puntos más altos.

Ejemplo:

El arco de un puente sigue y=−0,01x2+2xy = -0,01x^2 + 2x. En forma de vértice: y=−0,01(x−100)2+100y = -0,01(x - 100)^2 + 100. El arco alcanza 100 metros de altura en su centro.

2Inténtalo tú mismo

Una antena parabólica se modela con y=−0,25x2+4x+3y = -0,25x^2 + 4x + 3.

¿En qué coordenada x la antena es más profunda?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra la coordenada x del vértice:

Economía y optimización de ganancias

Las empresas usan modelos cuadráticos para encontrar el precio óptimo para máximas ganancias.

Ejemplo:

La ganancia de una empresa es P=−2x2+40x−150P = -2x^2 + 40x - 150 dólares donde xx es el precio. Forma de vértice: P=−2(x−10)2+50P = -2(x - 10)^2 + 50. La ganancia máxima de 50 dólares ocurre al precio de 10 dólares.

3Inténtalo tú mismo

El ingreso se modela con R=−3x2+24xR = -3x^2 + 24x donde xx son las unidades vendidas en miles.

¿Cuántas unidades maximizan el ingreso?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra el vértice:

Puntos clave

  • 1Completar el cuadrado transforma x2+bxx^2 + bx en (x+b2)2−(b2)2(x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2
  • 2El valor clave a sumar es siempre (b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2
  • 3Cuando a≠1a \neq 1, factoriza primero aa de los términos en xx
  • 4La forma de vértice a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k revela directamente el vértice (h,k)(h, k)
  • 5Esta técnica puede resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso cuando la factorización falla

Preguntas frecuentes

Usa completar el cuadrado cuando: (1) la cuadrática no se factoriza bien con enteros, (2) necesitas encontrar el vértice de una parábola, o (3) estás derivando la fórmula cuadrática. La factorización es más rápida cuando funciona, pero completar el cuadrado siempre funciona.
Usa completar el cuadrado cuando: (1) la cuadrática no se factoriza bien con enteros, (2) necesitas encontrar el vértice de una parábola, o (3) estás derivando la fórmula cuadrática. La factorización es más rápida cuando funciona, pero completar el cuadrado siempre funciona.
Sumar y restar el mismo valor es como sumar cero, lo que no cambia el valor de la expresión. Esto nos permite crear un trinomio cuadrado perfecto sin cambiar lo que vale la expresión.
La fórmula cuadrática se deriva completando el cuadrado en la forma general ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. ¡La fórmula x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} viene directamente de este proceso!

Glosario

Completar el cuadrado
Un método para reescribir una expresión cuadrática como un cuadrado perfecto más o menos una constante
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio que se factoriza como (x+a)2(x + a)^2 o (x−a)2(x - a)^2, como x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
Forma de vértice
La forma a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k donde (h,k)(h, k) es el vértice de la parábola
Forma estándar
La forma ax2+bx+cax^2 + bx + c para una expresión cuadrática

Tarjeta de fórmulas

Fórmula de completar el cuadrado

x2+bx=(x+b2)2−(b2)2x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2

La transformación fundamental para completar el cuadrado

Valor a sumar

(b2)2\left(\frac{b}{2}\right)^2

El valor que sumas y restas para crear un cuadrado perfecto

Forma de vértice

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

El vértice de la parábola está en el punto (h, k)

Patrones de cuadrados perfectos

(x+a)2=x2+2ax+a2(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Expandir un binomio al cuadrado crea un trinomio cuadrado perfecto

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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