Suma de expresiones racionales (denominadores distintos)

Aprende a sumar expresiones racionales con denominadores diferentes encontrando el mcm.

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Definición

Para sumar expresiones racionales con denominadores distintos, primero debemos encontrar un denominador común. El proceso es similar a sumar fracciones numéricas:
ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
Para expresiones racionales:
  1. 1.Factoriza cada denominador completamente
  2. 2.Encuentra el mcm (mínimo común múltiplo)
  3. 3.Reescribe cada fracción con el mcm
  4. 4.Suma los numeradores
  5. 5.Simplifica si es posible
2x+1+3x−1=2(x−1)+3(x+1)(x+1)(x−1)=5x+1x2−1\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x+1}{x^2-1}

Pruébalo ahora

¿Cuál es el mcm de 1x\frac{1}{x} y 1x+2\frac{1}{x+2}?

Ejemplos resueltos

Simplifica: 2x+3+5x−2\frac{2}{x+3} + \frac{5}{x-2}
1

Identifica los denominadores

Denominador 1: (x+3)(x+3), Denominador 2: (x−2)(x-2) → Ambos son lineales, sin factores comunes
2

Encuentra el mcm

mcm = (x+3)(x−2)(x+3)(x-2) → Multiplica los factores distintos
3

Reescribe la primera fracción

2x+3⋅x−2x−2=2(x−2)(x+3)(x−2)\frac{2}{x+3} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)} → 2x−4(x+3)(x−2)\frac{2x-4}{(x+3)(x-2)}
4

Reescribe la segunda fracción

5x−2⋅x+3x+3=5(x+3)(x+3)(x−2)\frac{5}{x-2} \cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-2)} → 5x+15(x+3)(x−2)\frac{5x+15}{(x+3)(x-2)}
5

Suma los numeradores

2x−4+5x+15(x+3)(x−2)\frac{2x-4+5x+15}{(x+3)(x-2)} → 7x+11(x+3)(x−2)\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}

Errores comunes

Olvidar factorizar los denominadores primero

Por qué está mal: Sin factorizar, podrías perder factores comunes y crear un mcm más grande de lo necesario, haciendo el problema más difícil.

Correcto: Siempre factoriza cada denominador completamente antes de encontrar el mcm. Por ejemplo: x2−9=(x+3)(x−3)x^2-9 = (x+3)(x-3).

Sumar denominadores en lugar de encontrar el mcm

Por qué está mal: A diferencia de los numeradores, los denominadores no se suman. El mcm debe contener todos los factores de cada denominador.

Correcto: 1x+2+1x+3≠22x+5\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \neq \frac{2}{2x+5}. El mcm es (x+2)(x+3)(x+2)(x+3).

Olvidar multiplicar tanto el numerador como el denominador

Por qué está mal: Al convertir al mcm, debes multiplicar por una forma de 1 (misma expresión sobre sí misma) para mantener el valor sin cambios.

Correcto: 2x+1=2(x−1)(x+1)(x−1)\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}, no 2(x+1)(x−1)\frac{2}{(x+1)(x-1)}.

No simplificar la respuesta final

Por qué está mal: Después de sumar, el numerador resultante podría compartir un factor común con el denominador.

Correcto: Siempre verifica si el numerador puede factorizarse y si algunos factores se cancelan con el denominador.

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Problemas de práctica

17 problemas
Problema 1 de 17
Fácil
¿Cuál es el mcm de 1x\frac{1}{x} y 1x+2\frac{1}{x+2}?

Por qué es importante

La suma de expresiones racionales con denominadores distintos aparece en muchas aplicaciones del mundo real:
  • Física: Combinación de resistencias en paralelo: 1Rtotal=1R1+1R2\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
  • Problemas de trabajo: Si un trabajador completa una tarea en xx horas y otro en yy horas, juntos completan 1x+1y\frac{1}{x} + \frac{1}{y} del trabajo por hora
  • Óptica: La ecuación de lentes delgadas: 1f=1do+1di\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
  • Problemas de tasas: Combinación de diferentes tasas de producción o viaje
Dominar esta habilidad es esencial para resolver ecuaciones algebraicas complejas y problemas de optimización reales.

Aplicaciones del mundo real

Resistencias en paralelo en electrónica

Cuando las resistencias están conectadas en paralelo, la resistencia total se calcula con una fórmula con denominadores distintos.

Ejemplo:

Para dos resistencias de R1=xR_1 = x ohmios y R2=x+2R_2 = x+2 ohmios en paralelo: 1Rtotal=1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}

1Inténtalo tú mismo

Tienes dos resistencias: una de xx ohmios y otra de (x+3)(x+3) ohmios conectadas en paralelo.

Encuentra una expresión para la resistencia total.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Primero encuentra 1Rtotal=1x+1x+3\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}

Problemas de tasa de trabajo combinada

Cuando dos personas trabajan juntas, su tasa combinada implica sumar fracciones con denominadores diferentes.

Ejemplo:

Si el Trabajador A completa un trabajo en xx horas y el Trabajador B en (x+2)(x+2) horas, su tasa combinada es 1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)} trabajos por hora.

2Inténtalo tú mismo

La máquina A produce un lote en tt horas. La máquina B produce el mismo lote en (t+4)(t+4) horas.

¿Qué fracción del lote producen ambas máquinas juntas en una hora?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Tasa combinada = 1t+1t+4\frac{1}{t} + \frac{1}{t+4}

Puntos clave

  • 1Para sumar expresiones racionales con denominadores distintos, primero factoriza todos los denominadores completamente
  • 2Encuentra el mcm incluyendo cada factor el número máximo de veces que aparece en cualquier denominador
  • 3Multiplica cada fracción por una forma de 1 para convertir al mcm
  • 4Suma los numeradores manteniendo el denominador común
  • 5Simplifica el resultado factorizando y cancelando factores comunes

Preguntas frecuentes

Factoriza cada denominador completamente. El mcm contiene cada factor elevado a la potencia más alta que aparece en cualquier denominador. Por ejemplo: para 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} y 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2}, el mcm es x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Factoriza cada denominador completamente. El mcm contiene cada factor elevado a la potencia más alta que aparece en cualquier denominador. Por ejemplo: para 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} y 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2}, el mcm es x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Si los denominadores comparten factores, incluye cada factor compartido solo una vez en el mcm. Por ejemplo: (x+2)(x−1)(x+2)(x-1) y (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) comparten (x+2)(x+2), así que el mcm es (x+2)(x−1)(x+3)(x+2)(x-1)(x+3).
Ambas formas son aceptables. La forma factorizada (x+2)(x−3)(x+2)(x-3) a menudo se prefiere porque hace más claras las restricciones de dominio y facilita la simplificación. La forma expandida x2−x−6x^2-x-6 puede ser solicitada en algunos contextos.

Glosario

Expresión racional
Una fracción donde el numerador y/o denominador contiene un polinomio
mcm (Mínimo Común Múltiplo)
La expresión más pequeña que es divisible por todos los denominadores de un problema
Denominadores distintos
Denominadores que no son idénticos y requieren encontrar un denominador común
Factorizar
Escribir una expresión como producto de expresiones más simples

Tarjeta de fórmulas

Suma de dos expresiones racionales

ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Fórmula general cuando los denominadores no tienen factores comunes

Método del mcm

aP+bQ=a⋅mcmP+b⋅mcmQmcm\frac{a}{P} + \frac{b}{Q} = \frac{a \cdot \frac{mcm}{P} + b \cdot \frac{mcm}{Q}}{mcm}

Reescribe cada fracción usando el Mínimo Común Múltiplo

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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