Introducción a las expresiones racionales

Aprende qué son las expresiones racionales, cómo identificarlas y comprende sus propiedades clave, incluyendo las restricciones de dominio.

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Definición

Una expresión racional es una fracción donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.
Expresioˊn racional=polinomiopolinomio\text{Expresión racional} = \frac{\text{polinomio}}{\text{polinomio}}
Al igual que las fracciones numéricas, el denominador nunca puede ser igual a cero.
Ejemplos de expresiones racionales:
x+3x−2x2−4x+152x−63x2+2x−1x2+5\frac{x + 3}{x - 2} \quad \frac{x^2 - 4}{x + 1} \quad \frac{5}{2x - 6} \quad \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}
Concepto clave - Restricciones de dominio: Cuando el denominador es igual a cero, la expresión es indefinida. Los valores que hacen que el denominador sea cero se llaman valores excluidos o restricciones.

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¿Cuál de las siguientes es una expresión racional?

Ejemplos resueltos

¿Cuáles de estas son expresiones racionales? a) x2+3xx−1\frac{x^2 + 3x}{x - 1} b) xx+2\frac{\sqrt{x}}{x + 2} c) 5x3−8\frac{5}{x^3 - 8}
1

Verifica la expresión (a)

Numerador: x2+3xx^2 + 3x (polinomio). Denominador: x−1x - 1 (polinomio) → SÍ - expresión racional
2

Verifica la expresión (b)

Numerador: x\sqrt{x} (NO es un polinomio - tiene una raíz) → NO - no es una expresión racional
3

Verifica la expresión (c)

Numerador: 55 (polinomio constante). Denominador: x3−8x^3 - 8 (polinomio) → SÍ - expresión racional

Errores comunes

Igualar el numerador a cero en lugar del denominador

Por qué está mal: Para encontrar restricciones, necesitamos encontrar cuándo la expresión es indefinida. La división por cero es indefinida, no la división de cero.

Correcto: Siempre iguala el DENOMINADOR a cero para encontrar restricciones. Cuando el numerador es cero, la expresión simplemente es igual a cero.

Olvidar factorizar completamente el denominador

Por qué está mal: Un denominador cuadrático como x2−9x^2 - 9 tiene DOS raíces, por lo que hay DOS restricciones.

Correcto: Siempre factoriza completamente el denominador antes de resolver. x2−9=(x+3)(x−3)x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) da restricciones en x=−3x = -3 Y x=3x = 3.

Pensar que 05\frac{0}{5} y 50\frac{5}{0} son iguales

Por qué está mal: 05=0\frac{0}{5} = 0 (cero dividido por cualquier cosa es cero), pero 50\frac{5}{0} es indefinido (no se puede dividir por cero).

Correcto: Cero en el numerador da cero. Cero en el denominador es indefinido.

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Gráfica de la función

-8-6-4-202468-4-2024xyx = -3x = 3

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

y = (x + 5)/(x² - 9)Asíntota

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¿Cuál de las siguientes es una expresión racional?

Por qué es importante

Las expresiones racionales aparecen en matemáticas avanzadas y aplicaciones del mundo real:
  • Física: La fórmula de magnificación de lentes es hiho=−dido\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}
  • Química: Los cálculos de concentración usan razones de polinomios
  • Economía: El costo por unidad se expresa a menudo como costo totalcantidad\frac{\text{costo total}}{\text{cantidad}}
  • Ingeniería: La resistencia eléctrica en circuitos paralelos usa 1RT=1R1+1R2\frac{1}{R_T} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
Comprender las expresiones racionales es esencial para el cálculo, donde los límites de funciones racionales son un concepto central.

Aplicaciones del mundo real

Problemas de velocidad media

Al recorrer diferentes distancias a diferentes velocidades, la velocidad media es una expresión racional.

Ejemplo:

Si conduces 100 km a velocidad vv y regresas a velocidad v+20v + 20, la velocidad media para todo el viaje es 2×100100v+100v+20\frac{2 \times 100}{\frac{100}{v} + \frac{100}{v+20}}

Problemas de tasa de trabajo

Cuando dos personas trabajan juntas, su tasa combinada involucra expresiones racionales.

Ejemplo:

Si Alicia completa un trabajo en xx horas y Roberto en yy horas, trabajando juntos lo completan en xyx+y\frac{xy}{x + y} horas.

Circuitos eléctricos

Las fórmulas de resistencia en paralelo usan expresiones racionales.

Ejemplo:

Para dos resistencias en paralelo: Rtotal=R1×R2R1+R2R_{total} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}

Puntos clave

  • 1Una expresión racional es una fracción con polinomios en el numerador y denominador
  • 2El denominador NUNCA puede ser igual a cero (la división por cero es indefinida)
  • 3Para encontrar restricciones de dominio, iguala el denominador a cero y resuelve
  • 4Factoriza completamente el denominador para encontrar TODAS las restricciones
  • 5Siempre verifica las restricciones antes de evaluar una expresión racional

Preguntas frecuentes

El término 'racional' viene de 'razón'. Una expresión racional es una razón (fracción) de dos polinomios, igual que un número racional es una razón de dos enteros.
El término 'racional' viene de 'razón'. Una expresión racional es una razón (fracción) de dos polinomios, igual que un número racional es una razón de dos enteros.
La división pregunta '¿cuántas veces cabe el divisor en el dividendo?' El cero cabe en cualquier número infinitas veces, haciendo la respuesta indefinida. No existe ningún número que, multiplicado por cero, dé un resultado distinto de cero.
¡Sí! El número 55 es un polinomio constante (grado 0), y xx es un polinomio (grado 1). Entonces 5x\frac{5}{x} es una expresión racional con restricción x≠0x \neq 0.

Glosario

Expresión racional
Una fracción donde tanto el numerador como el denominador son polinomios
Restricción de dominio
Un valor de la variable que hace que la expresión sea indefinida (cuando el denominador es igual a cero)
Valor excluido
Otro término para restricción de dominio; un valor que debe excluirse del dominio
Indefinido
Cuando una expresión no tiene un valor numérico válido, típicamente debido a división por cero
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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