Guía del profesor: Proporción del porcentaje

Usa la proporción parte/total = porcentaje/100 para hallar una parte, un total o un porcentaje que falta con la multiplicación en cruz.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Porcentajes. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Identificar la parte, el total y el porcentaje en un problema
Escribir la proporción parte/total = p/100 para un problema dado
Resolver la proporción con la multiplicación en cruz para una parte, un total o un porcentaje que falta
Resolver problemas de exámenes, encuestas y descuentos y comprobar la respuesta

Requisitos previos

• Introducción a los porcentajes: por ciento significa de cada 100
• Calcular el porcentaje de un número: parte = porcentaje del total
• Resolver proporciones sencillas y ecuaciones como $30x = 1500$

Iniciadores de discusión

1. Dos compañeros sacaron 18 de 20 y 42 de 50. ¿Quién lo hizo mejor y cómo lo sabes?
2. Si 12 es el 30 % de un número, ¿ese número es mayor o menor que 12? ¿Por qué?
3. ¿Por qué el número con el signo % siempre va encima del 100 en la proporción?
4. ¿Cuándo puede una parte ser más del 100 % del total?

Conceptos erróneos comunes

El número mayor siempre es el total

Remediación: Muestra un porcentaje mayor que 100: 60 es el 150 % de 40. Pide a los alumnos que busquen la cantidad completa en el enunciado en lugar de comparar tamaños.

Todos los problemas de porcentajes se resuelven multiplicando los dos números

Remediación: Plantea tres problemas con los mismos números (12, 40, 30) en los que cada vez falta uno distinto, y resuelve los tres con la misma proporción.

La respuesta a "qué porcentaje" es un decimal como 0,3

Remediación: Señala que p está encima del 100 en la proporción: p = 30 significa 30 de cada 100, es decir, 30 %.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Usar una cinta con 10 casillas iguales (10 % cada una) antes de escribir la proporción
• Dar una plantilla con casillas vacías para la parte, el total y p
• Empezar con números que se dividen de forma exacta, como 5 de 20

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar problemas en los que falta la parte, el total o el porcentaje
• Resolver problemas de exámenes y encuestas y comprobar cada respuesta
• Comparar la proporción con la ecuación del porcentaje en el mismo problema

Para estudiantes avanzados:

• Resolver problemas con porcentajes mayores que 100 y decimales como 12,5 %
• Escribir sus propias preguntas de encuesta y resolver las de los compañeros
• Hallar el precio original tras un descuento cuando solo se conoce el precio rebajado

Alineación con estándares

7.RP.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.7.RP.A.3)
Usar relaciones de proporcionalidad para resolver problemas de razones y porcentajes de varios pasos
6.RP.A.3c (CCSS.MATH.CONTENT.6.RP.A.3.C)
Hallar el porcentaje de una cantidad como una razón por 100; hallar el total a partir de una parte y el porcentaje

Recursos de la lección

visualDiagrama de cinta del porcentaje
Una cinta para el total (100 %) con la parte marcada, para ver la parte y el total uno junto al otro.
activity¿Es o de?
Los alumnos clasifican los números de problemas cortos en parte, total y porcentaje antes de resolver.
worksheetTres incógnitas
Problemas variados en los que falta la parte, el total o el porcentaje.

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La proporción del porcentaje dice que una parte comparada con su total es igual al porcentaje comparado con 100:

\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}

El total es la cantidad completa (suele ser el número que va después de la palabra de).
La parte es un trozo de ese total (suele ser el número junto a la palabra es).
$p$ es el porcentaje, el número delante del signo %.

En cada problema de porcentajes conoces dos de estos tres números y falta uno. Coloca los números conocidos en la proporción, escribe una letra para el que falta, multiplica en cruz y luego divide.

Ejemplo: ¿Qué porcentaje de 40 es 12?

\frac{12}{40} = \frac{p}{100} \quad\Rightarrow\quad 40p = 12 \times 100 = 1200 \quad\Rightarrow\quad p = 30

Así que 12 es el

30\,\%

de 40.

Ejemplos resueltos

¿Qué porcentaje de 40 es 12?

Identifica la parte y el total

El total va después de "de": 40. La parte va con "es": 12. Falta el porcentaje. → parte = 12, total = 40

Escribe la proporción

$\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Multiplica en cruz

$40 \times p = 12 \times 100$ → $40p = 1200$

Divide entre 40

$p = 1200 \div 40$ → $p = 30$

Respuesta: 12 es el $30\,\%$ de 40.

Errores comunes

Poner el total arriba: escribir $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ para "¿Qué porcentaje de 40 es 12?"

Por qué está mal: La fracción de la izquierda debe ser parte entre total. Si la inviertes, sale $p \approx 333$ , que aquí es imposible porque 12 es menor que 40.

Correcto: La parte arriba y el total abajo: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ , así que $p = 30$ .

Escribir el porcentaje en el lugar de la parte: $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ para "¿15 es el 30 % de qué número?"

Por qué está mal: El número con el signo % siempre va encima del 100. El otro número conocido es la parte o el total.

Correcto: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ , así que $30x = 1500$ y $x = 50$ .

Multiplicar en línea recta en vez de en cruz: $12 \times p = 40 \times 100$

Por qué está mal: En la multiplicación en cruz, cada numerador se multiplica por el denominador de la OTRA fracción.

Correcto: Multiplica en diagonal: $12 \times 100 = 40 \times p$ .

Responder 0,3 cuando te piden el porcentaje

Por qué está mal: En la proporción, $p$ ya es el número de por ciento (de cada 100), no un decimal.

Correcto: Si $p = 30$ , la respuesta es $30\,\%$ . Escribe el signo %.

Por qué es importante

Ya sabes calcular el porcentaje de un número. En la vida real, muchas veces la pregunta es al revés:

Exámenes: Has sacado 34 de 40 puntos. ¿Qué porcentaje es?
Encuestas: 45 alumnos eligieron baloncesto, el 18 % de los encuestados. ¿Cuántos alumnos respondieron?
Compras: Te ahorraste 12 dólares, que eran un 15 % de descuento. ¿Cuál era el precio original?
Deporte: Una jugadora encesta 27 de 30 tiros libres. ¿Cuál es su porcentaje de acierto?

La proporción resuelve los tres tipos de preguntas con un solo planteamiento, así que no necesitas una regla distinta para cada caso. En la próxima lección verás el otro método, la ecuación del porcentaje (parte = tasa × total), que resuelve los mismos problemas en una línea.

Aplicaciones del mundo real

Notas de exámenes

Los profesores pasan los puntos a porcentaje para poder comparar exámenes con distinto número de preguntas.

Ejemplo:

18 puntos de 24: $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$ , así que $p = 75$ , una nota del $75\,\%$ .

1Inténtalo tú mismo

Liam contestó bien 27 de las 30 preguntas de un test.

¿Qué porcentaje acertó Liam?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $\frac{27}{30} = \frac{p}{100}$ : calcula $27 \times 100 \div 30$

Encuestas y sondeos

Las encuestas dan sus resultados en porcentajes. Si conoces el porcentaje y cuántas personas dieron una respuesta, puedes hallar cuántas personas fueron encuestadas.

Ejemplo:

Si 30 personas son el $25\,\%$ de un grupo, entonces $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ y el grupo tiene 120 personas.

2Inténtalo tú mismo

En una encuesta municipal, 120 personas dijeron que sí a un parque nuevo. Eran el 60 % de todas las personas encuestadas.

¿Cuántas personas fueron encuestadas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $\frac{120}{x} = \frac{60}{100}$ : calcula $120 \times 100 \div 60$

Compras y descuentos

El tique de compra suele decir cuánto has ahorrado, pero no el precio original. La proporción te permite hallar ese precio.

Ejemplo:

Ahorrar 6 dólares con un $20\,\%$ de descuento significa $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$ , así que el precio original era de 30 dólares.

3Inténtalo tú mismo

Una chaqueta tiene un 15 % de descuento y te ahorras 12 dólares.

¿Cuál era el precio original de la chaqueta en dólares?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve $\frac{12}{x} = \frac{15}{100}$ : calcula $12 \times 100 \div 15$

Puntos clave

1La proporción del porcentaje es $\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}$
2El total suele ir después de "de", la parte suele ir con "es"
3El número con el signo % siempre va encima del 100
4Escribe una letra para el número que falta, multiplica en cruz y luego divide
5El mismo planteamiento halla la parte, el total o el porcentaje
6Comprueba tu respuesta: la parte debe ser ese porcentaje del total

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé qué número es la parte y cuál es el total?

Pregúntate: ¿qué número es la cantidad completa? Ese es el total (a menudo después de "de"). La parte es un trozo de él (a menudo junto a "es"). Si el porcentaje es menor que 100, la parte es menor que el total.

¿Puede la parte ser mayor que el total?

Sí, cuando el porcentaje es mayor que 100. Por ejemplo, 60 es el

150\,\%

de 40:

\frac{60}{40} = \frac{p}{100}

p = 150

¿Por qué funciona la multiplicación en cruz?

Dos fracciones iguales siguen siendo iguales si multiplicas los dos lados por los dos denominadores. Para

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

se obtiene

a \times d = b \times c

¿Qué diferencia hay entre la proporción y la ecuación del porcentaje?

Son dos formas de escribir la misma relación. La proporción compara dos fracciones; la ecuación del porcentaje (próxima lección) escribe parte = tasa × total, con el porcentaje en forma decimal. Las dos dan la misma respuesta.

Glosario

Proporción del porcentaje: La igualdad $\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}$ que relaciona una parte, un total y un porcentaje.
Parte: La cantidad que es una porción del total, por ejemplo las respuestas correctas de un examen.
Total: La cantidad completa, que corresponde al $100\,\%$ .
Porcentaje: Un número de cada 100, escrito con el signo %.
Multiplicación en cruz: En $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , multiplicar en diagonal para obtener $a \times d = b \times c$ .

Tarjeta de fórmulas

Proporción del porcentaje

\frac{\text{parte}}{\text{total}} = \frac{p}{100}

Parte entre total es igual a porcentaje entre 100.

Porcentaje que falta

p = \frac{\text{parte} \times 100}{\text{total}}

¿Qué porcentaje de 40 es 12? $p = 1200 \div 40 = 30$

Total que falta

\text{total} = \frac{\text{parte} \times 100}{p}

¿15 es el 30 % de qué número? $1500 \div 30 = 50$

Parte que falta

\text{parte} = \frac{p \times \text{total}}{100}

El 35 % de 60: $2100 \div 100 = 21$

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Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Notas de exámenes

Encuestas y sondeos

Compras y descuentos

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Proporción del porcentaje

Porcentaje que falta

Total que falta

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