Longitud de arco

Aprende a calcular la longitud de un arco usando el ángulo central y el radio.

Intermedio25 minLección
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Definición

Un arco es una porción de la circunferencia de un círculo. La longitud de arco es la distancia a lo largo de la línea curva del arco.
Para encontrar la longitud de arco, usamos la fórmula:
s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r
donde:
  • ss = longitud de arco
  • θ\theta = ángulo central (en grados)
  • rr = radio del círculo
Alternativamente, si el ángulo está en radianes:
s=θ×rs = \theta \times r
¡Esta fórmula más simple funciona porque los radianes se definen usando la longitud de arco!

Pruébalo ahora

¿Cuál es la longitud de arco de un círculo completo con radio de 55 cm?

Ejemplos resueltos

Encuentra la longitud de arco de un sector con un ángulo central de 60°60° y un radio de 99 cm.
1

Identificar los valores dados

θ=60°\theta = 60°, r=9r = 9 cm → Valores identificados
2

Escribir la fórmula de longitud de arco

s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r → Fórmula lista
3

Sustituir los valores

s=60°360°×2π×9s = \frac{60°}{360°} \times 2\pi \times 9 → Valores sustituidos
4

Simplificar la fracción

s=16×18πs = \frac{1}{6} \times 18\pi → 60360=16\frac{60}{360} = \frac{1}{6}
5

Calcular el resultado

s=3π≈9,42s = 3\pi \approx 9{,}42 cm → 3π3\pi cm

Errores comunes

Usar la fórmula de grados cuando el ángulo está en radianes

Por qué está mal: ¡Las fórmulas son diferentes! s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r solo funciona para grados.

Correcto: Para radianes, usa la fórmula más simple: s=θ×rs = \theta \times r. Siempre verifica las unidades del ángulo primero.

Olvidar convertir el ángulo a la unidad correcta

Por qué está mal: Mezclar grados y radianes da respuestas incorrectas.

Correcto: Si está en grados pero necesitas radianes: multiplica por π180\frac{\pi}{180}. Si está en radianes pero necesitas grados: multiplica por 180π\frac{180}{\pi}.

Confundir la longitud de arco con el área del sector

Por qué está mal: La longitud de arco es una distancia (lineal), mientras que el área del sector está en unidades cuadradas.

Correcto: Fórmula de longitud de arco: s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r. Fórmula del área del sector: A=θ360°×πr2A = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2.

Visual interactivo

Gráfica de la función

-10-50510-10-50510xy
  • longitud del arco s = 9,42
  • s en términos de π = 3π
  • θ en radianes = π/3
arco s

Círculo unitario

Grados

0°

Radianes

0

Haz clic y arrastra para rotar el ángulo alrededor del círculo unitario.

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Problemas de práctica

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¿Cuál es la longitud de arco de un círculo completo con radio de 55 cm?

Por qué es importante

La longitud de arco aparece en todas partes del mundo real:
  • Navegación: Los pilotos y marineros calculan distancias a lo largo de trayectorias curvas en la superficie de la Tierra
  • Ingeniería: El diseño de carreteras curvas, puentes y montañas rusas requiere cálculos precisos de longitud de arco
  • Deportes: La distancia que recorre un corredor en la curva de una pista
  • Agujas del reloj: Calcular cuánto se desplaza la punta de una aguja del reloj en un tiempo determinado
Comprender la longitud de arco conecta la geometría con las mediciones del mundo real y te prepara para temas más avanzados como el cálculo.

Aplicaciones del mundo real

Agujas del reloj

La punta del minutero de un reloj traza un arco a medida que pasa el tiempo.

Ejemplo:

Si un minutero tiene 1010 cm de largo, recorre 2π×10=20π≈62,82\pi \times 10 = 20\pi \approx 62{,}8 cm en una hora completa.

1Inténtalo tú mismo

Un reloj tiene un minutero de 1212 cm de largo. ¿Cuánto recorre la punta en 1515 minutos?

¿Cuál es la longitud de arco?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

En 15 minutos, la aguja se mueve 90°90°. Calcula: 90360×2π×12\frac{90}{360} \times 2\pi \times 12

Pista de atletismo curva

Las porciones curvas de una pista de atletismo son arcos que los atletas deben recorrer.

Ejemplo:

Una pista de 400400 m tiene dos extremos semicirculares. Cada semicírculo es la mitad de un círculo completo, así que los corredores recorren π×r\pi \times r en cada sección curva.

2Inténtalo tú mismo

Una pista de atletismo tiene extremos semicirculares con un radio de 3535 m. ¿Cuánto recorre un corredor en un extremo curvo?

Encuentra la longitud de una sección semicircular.

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Un semicírculo es 180°180°. Calcula: 180360×2π×35\frac{180}{360} \times 2\pi \times 35

Puntos clave

  • 1La longitud de arco es la distancia a lo largo de la porción curva de un círculo
  • 2Para ángulos en grados: s=θ360°×2πrs = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r
  • 3Para ángulos en radianes: s=θ×rs = \theta \times r
  • 4La longitud de arco es una fracción de la circunferencia completa, proporcional al ángulo central
  • 5Siempre verifica si el ángulo está en grados o radianes antes de elegir la fórmula

Preguntas frecuentes

¡Los radianes se definen usando la longitud de arco! Un radián es el ángulo donde la longitud de arco es igual al radio. Por eso s=θrs = \theta r se deriva directamente de esta definición.
¡Los radianes se definen usando la longitud de arco! Un radián es el ángulo donde la longitud de arco es igual al radio. Por eso s=θrs = \theta r se deriva directamente de esta definición.
Para convertir grados a radianes: multiplica por π180\frac{\pi}{180}. Para convertir radianes a grados: multiplica por 180π\frac{180}{\pi}. Por ejemplo, 90°=90×π180=π290° = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} radianes.
Un círculo completo tiene un ángulo de 360°360° (o 2π2\pi radianes). La longitud de arco es la circunferencia completa: s=2πrs = 2\pi r.

Glosario

Arco
Una porción continua de la circunferencia de un círculo
Longitud de arco
La distancia medida a lo largo de un arco
Ángulo central
El ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios
Radián
Una unidad de ángulo donde la longitud de arco es igual al radio (aproximadamente 57,3°57{,}3°)
Sector
La región encerrada por dos radios y un arco
Reto de hoyUn problema, tres intentos

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