Semejanza LLL y LAL

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué triángulo es semejante a un triángulo de lados $2$ , $3$ y $4$ ?
1. a)4; 6; 8
2. b)4; 5; 6
3. c)3; 4; 5
4. d)4; 6; 9
Respuesta: 4; 6; 8
$\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$ , así que el triángulo de lados $4$ , $6$ , $8$ es semejante por la semejanza LLL con $k = 2$ . Para $3$ , $4$ , $5$ las razones son $1{,}5$ , $1{,}33$ , $1{,}25$ , para $4$ , $5$ , $6$ son $2$ , $1{,}67$ , $1{,}5$ y para $4$ , $6$ , $9$ son $2$ , $2$ , $2{,}25$ .
2.
$\triangle ABC$ tiene lados $5$ , $7$ , $8$ y $\triangle DEF$ tiene lados $15$ , $21$ , $24$ . Los triángulos son semejantes. ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ de $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ ?
Respuesta: 3
$\frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{24}{8} = 3$ , así que $k = 3$ .
3.
Un triángulo tiene lados $3$ , $5$ , $6$ y otro tiene lados $9$ , $15$ , $18$ . Comprueba las tres razones con la semejanza LLL y halla la razón de semejanza.
Respuesta: 3
1. ¿Cuánto vale la razón de los lados más cortos, $\frac{9}{3}$ ? 3
2. ¿Cuánto vale la razón de los lados medianos, $\frac{15}{5}$ ? 3
3. ¿Cuánto vale la razón de los lados más largos, $\frac{18}{6}$ ? 3
4. ¿Son iguales las tres razones, de modo que los triángulos son semejantes? Escribe 1 para sí o 0 para no. 1
4.
De $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ sabes que $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = 2$ y $\angle A = \angle D$ . ¿Qué criterio demuestra que los triángulos son semejantes?
1. a)Semejanza LAL
2. b)Semejanza AA
3. c)Semejanza LLL
4. d)Faltan datos
Respuesta: Semejanza LAL
Dos parejas de lados tienen la misma razón $2$ , y $\angle A$ es el ángulo comprendido entre $AB$ y $AC$ ( $\angle D$ entre $DE$ y $DF$ ). Es la semejanza LAL. AA necesita dos ángulos y LLL tres lados.
5.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ con razón de semejanza $k = 2$ de $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ . Si $AB = 6$ , ¿cuánto mide $DE$ ?
Respuesta: 12
$DE = k \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ .
6.
$\triangle ABC$ tiene lados $8$ , $4$ , $6$ y $\triangle DEF$ tiene lados $9$ , $12$ , $6$ . Empareja bien los lados y halla la razón de semejanza de $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ .
Respuesta: 1.5
1. ¿Cuál es el lado más corto de $\triangle ABC$ ? 4
2. ¿Cuál es el lado más corto de $\triangle DEF$ ? 6
3. ¿Cuánto vale la razón de los lados más cortos, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
4. Comprueba con los lados más largos: ¿cuánto vale $\frac{12}{8}$ ? 1.5
7.
Dos triángulos son semejantes con razón de semejanza $k = 3$ . El menor tiene un área de $5$ cm². ¿Cuál es el área del mayor?
1. a)45 cm²
2. b)30 cm²
3. c)15 cm²
4. d)9 cm²
Respuesta: 45 cm²
La razón de áreas es $k^2 = 3^2 = 9$ , así que el área es $5 \cdot 9 = 45$ cm². $15$ cm² sería el error de usar $k$ en lugar de $k^2$ .
8.
Dos triángulos semejantes tienen razón de semejanza $k = 2{,}5$ del menor al mayor. El menor tiene un perímetro de $18$ cm. ¿Cuál es el perímetro del mayor, en cm?
Respuesta: 45
Los perímetros crecen con el mismo factor que los lados: $18 \cdot 2{,}5 = 45$ cm.
9.
$\triangle ABC$ : $AB = 3$ , $AC = 5$ , $\angle A = 120°$ , $BC = 7$ . $\triangle DEF$ : $DE = 9$ , $DF = 15$ , $\angle D = 120°$ . Demuestra que los triángulos son semejantes y halla $EF$ .
Respuesta: 21
1. ¿Cuánto vale $\frac{DE}{AB}$ ? 3
2. ¿Cuánto vale $\frac{DF}{AC}$ ? 3
3. ¿Es $\angle A$ el ángulo comprendido entre $AB$ y $AC$ ? Escribe 1 para sí o 0 para no. 1
4. Los triángulos son semejantes por LAL con $k = 3$ . ¿Cuánto vale $EF = 3 \cdot BC$ ? 21
10.
$\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $AC = 9$ , $\angle A = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $DF = 12$ , $\angle D = 40°$ . ¿Qué puedes concluir?
1. a)Faltan datos
2. b)Semejantes por la semejanza LLL, $k = \frac{4}{3}$
3. c)Semejantes por la semejanza LAL, $k = \frac{4}{3}$
4. d)No son semejantes, las razones de los lados son distintas
Respuesta: Semejantes por la semejanza LAL, $k = \frac{4}{3}$
$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ y $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ , y los ángulos de $40°$ están entre esos lados. Así que los triángulos son semejantes por la semejanza LAL con $k = \frac{4}{3}$ . LLL no es posible porque no se dan los terceros lados.
11.
$\triangle ABC$ tiene lados $6$ , $8$ , $10$ . Un triángulo semejante tiene lados $9$ , $12$ y $x$ , donde $x$ es su lado más largo. Halla $x$ .
Respuesta: 15
$k = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ , así que $x = 10 \cdot 1{,}5 = 15$ .
12.
Los triángulos de lados $4$ , $6$ , $9$ y $6$ , $x$ , $13{,}5$ son semejantes (lados del más corto al más largo). Halla $x$ .
Respuesta: 9
1. ¿Cuánto vale $k$ con los lados más cortos, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
2. Comprueba con los lados más largos: ¿cuánto vale $\frac{13{,}5}{9}$ ? 1.5
3. ¿Cuánto mide el lado mediano $x = 6 \cdot k$ ? 9
13.
En $\triangle ABC$ , el punto $D$ está en $AB$ y el punto $E$ en $AC$ . $AD = 3$ , $AB = 9$ , $AE = 4$ , $AC = 12$ y $DE = 5$ . Halla $BC$ .
Respuesta: 15
1. ¿Cuánto vale $\frac{AD}{AB}$ ? Escríbelo como fracción. 1/3
2. ¿Cuánto vale $\frac{AE}{AC}$ ? Escríbelo como fracción. 1/3
3. Por LAL, $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . ¿Cuál es la razón de semejanza de $\triangle ADE$ a $\triangle ABC$ ? 3
4. ¿Cuánto vale $BC = 3 \cdot DE$ ? 15
14.
$\triangle ABC$ : $AB = 4$ , $BC = 6$ , $\angle C = 30°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $EF = 12$ , $\angle F = 30°$ . ¿Son semejantes los triángulos?
1. a)Sí, por la semejanza LAL
2. b)No, las razones de los lados son distintas
3. c)No se puede decidir: el ángulo no está entre los dos lados dados
4. d)Sí, por la semejanza LLL
Respuesta: No se puede decidir: el ángulo no está entre los dos lados dados
Las dos razones valen $2$ , pero el ángulo entre $AB$ y $BC$ es $\angle B$ , no $\angle C$ . Dos lados y un ángulo no comprendido (LLA) no fijan la forma: aquí $\angle A$ podría medir unos $49°$ o unos $131°$ . Así que la semejanza LAL no se aplica y no puedes decidir.
15.
$\triangle ABC$ : $AB = 8$ , $BC = 12$ , $\angle B = 55°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 6$ , $EF = x$ , $\angle E = 55°$ . ¿Para qué valor de $x$ son semejantes los triángulos por la semejanza LAL (con $AB \leftrightarrow DE$ y $BC \leftrightarrow EF$ )?
Respuesta: 9
$k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = 0{,}75$ . Los ángulos comprendidos $B$ y $E$ son iguales, así que necesitamos $\frac{x}{12} = 0{,}75$ , lo que da $x = 9$ .
16.
$\triangle ABC$ tiene lados $5$ , $12$ , $13$ y un ángulo recto entre los lados $5$ y $12$ . Un triángulo semejante $\triangle DEF$ tiene como lado más corto $15$ . Halla el perímetro y después el área de $\triangle DEF$ .
Respuesta: 270
1. ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ de $\triangle ABC$ a $\triangle DEF$ ? 3
2. ¿Cuál es el perímetro de $\triangle ABC$ ? 30
3. ¿Cuál es el perímetro de $\triangle DEF$ ? 90
4. ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ? (Los catetos $5$ y $12$ son la base y la altura.) 30
5. ¿Cuál es el área de $\triangle DEF$ ? 270
17.
En $\triangle ABC$ , el punto $D$ está en $AB$ y el punto $E$ en $AC$ . $AD = 6$ , $DB = 4$ , $AE = 9$ , $EC = 6$ y $DE = 12$ . Demuestra que $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ y halla $BC$ .
Respuesta: 20
1. ¿Cuánto mide el lado completo $AB$ ? 10
2. ¿Cuánto mide el lado completo $AC$ ? 15
3. ¿Cuánto vale $\frac{AD}{AB}$ como número decimal? 0.6
4. ¿Cuánto vale $\frac{AE}{AC}$ como número decimal? 0.6
5. Misma razón y ángulo común $A$ : LAL. ¿Cuánto vale $BC = \frac{DE}{0{,}6}$ ? 20
18.
Dos triángulos semejantes tienen áreas de $20$ cm² y $45$ cm². El lado más corto del triángulo menor mide $4$ cm. ¿Cuánto mide el lado más corto del triángulo mayor, en cm?
Respuesta: 6
1. ¿Cuánto vale la razón de áreas $\frac{45}{20}$ ? 2.25
2. La razón de áreas es $k^2$ . ¿Cuánto vale $k$ ? 1.5
3. ¿Cuánto mide el lado más corto del triángulo mayor, $4 \cdot k$ ? 6