Guía del profesor: Semejanza LLL y LAL

Demuestra que dos triángulos son semejantes con las razones de sus lados (LLL) o con dos razones y el ángulo comprendido (LAL), y usa la razón de semejanza.

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Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Congruencia & Semejanza. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Enunciar los criterios de semejanza LLL y LAL y usarlos para demostrar que dos triángulos son semejantes
Emparejar correctamente los lados correspondientes ordenándolos del más corto al más largo
Hallar la razón de semejanza y usarla para calcular longitudes que faltan
Usar la razón de perímetros $k$ y la razón de áreas $k^2$ de triángulos semejantes
Decidir si se aplica la semejanza AA, LLL o LAL, también en triángulos encajados con un ángulo común

Requisitos previos

• Introducción a la semejanza: figuras semejantes y razón de semejanza
• Semejanza AA: demostrar que dos triángulos son semejantes con dos parejas de ángulos
• Congruencia LLL y Congruencia LAL: lados iguales y ángulo comprendido
• Simplificar razones y resolver proporciones sencillas

Iniciadores de discusión

1. ¿Por qué bastan tres razones de lados para demostrar la semejanza, mientras que tres ángulos no dicen nada del tamaño?
2. La congruencia LLL y la semejanza LLL tienen el mismo nombre. ¿Qué es igual y qué es distinto?
3. Si duplicas cada lado de un triángulo, ¿por qué su área no se duplica sin más?
4. ¿Puedes dibujar dos triángulos distintos con dos lados de $4$ y $6$ y un ángulo de $30°$ que no esté entre ellos?

Conceptos erróneos comunes

Emparejar los lados en el orden en que aparecen en el enunciado

Remediación: Pide a los alumnos que reescriban los lados de ambos triángulos ordenados del más corto al más largo antes de cada comprobación LLL, y muestra el ejemplo $4, 6, 8$ frente a $12, 9, 6$ , donde el orden dado produce tres razones distintas.

Cualquier ángulo más dos lados proporcionales es LAL

Remediación: Haz que los alumnos construyan dos triángulos distintos con los mismos dos lados y un ángulo no comprendido (con pajitas o con un programa de geometría). Insiste en la palabra comprendido: el ángulo tiene que estar entre los dos lados.

El área crece con $k$ como los lados

Remediación: Dibuja un triángulo en papel cuadriculado, amplíalo con $k = 2$ y cuenta los cuadraditos: el área es $4$ veces mayor. Repite con $k = 3$ para llegar a $9$ .

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar las longitudes ya ordenadas y con razones de semejanza enteras
• Usar una tabla de razones con tres columnas (corto, mediano, largo) en cada comprobación LLL
• Colorear el ángulo comprendido y sus dos lados en los ejercicios de LAL

Para estudiantes de nivel:

• Mezclar ejercicios de LLL, LAL y AA y pedir que primero nombren el criterio
• Hallar lados que faltan en triángulos encajados con un ángulo común
• Usar la razón de perímetros y la razón de áreas en problemas

Para estudiantes avanzados:

• Hallar la razón de semejanza a partir de una razón de áreas, por ejemplo $k = \sqrt{\frac{75}{12}} = 2{,}5$
• Demostrar que una paralela a un lado de un triángulo forma un triángulo semejante, primero con AA y luego con LAL
• Investigar cuándo LLA sí fija la forma (el ángulo opuesto al lado mayor)

Alineación con estándares

HSG.SRT.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.A.2)
Usar la definición de semejanza mediante transformaciones para decidir si dos figuras son semejantes
HSG.SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)
Usar los criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas y demostrar relaciones en figuras geométricas
7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)
Resolver problemas con dibujos a escala de figuras geométricas, incluido el cálculo de longitudes y áreas reales

Recursos de la lección

visualPareja de triángulos semejantes
Los alumnos cambian la razón de semejanza con el deslizador y pasan entre AA, LLL y LAL para ver qué elementos marca cada criterio
activityTriángulos con pajitas
Los grupos cortan pajitas de 4, 6, 8 y 6, 9, 12 (en cm), construyen los dos triángulos y comprueban que los ángulos coinciden
worksheet¿Qué criterio?
Doce parejas de triángulos con datos: los alumnos deciden AA, LLL, LAL o faltan datos, y después hallan la razón de semejanza

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Con la semejanza AA demostraste que dos triángulos son semejantes usando solo ángulos. Ahora lo harás con lados. Recuerda: los triángulos semejantes tienen la misma forma y sus lados correspondientes están en la misma proporción, la razón de semejanza

k

Semejanza LLL (Lado-Lado-Lado): si las tres parejas de lados correspondientes están en la misma razón, los triángulos son semejantes.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Semejanza LAL (Lado-Ángulo-Lado): si dos parejas de lados correspondientes están en la misma razón y el ángulo comprendido (el ángulo entre esos dos lados) es igual, los triángulos son semejantes.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k \text{ y } \angle B = \angle E \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Cómo emparejar los lados: cuando solo conoces las longitudes, ordena los lados de cada triángulo del más corto al más largo y emparéjalos en ese orden: el más corto con el más corto, el mediano con el mediano y el más largo con el más largo.

En cuanto sabes que los triángulos son semejantes:

cada lado de la imagen mide $k$ veces su lado correspondiente
la razón de los perímetros es $k$
la razón de las áreas es $k^2$

Compara con la congruencia: la congruencia LLL y LAL exige lados iguales (

k = 1

), la semejanza LLL y LAL solo lados proporcionales.

Ejemplos resueltos

\triangle ABC

tiene lados

AB = 4

BC = 6

CA = 8

\triangle DEF

tiene lados

DE = 6

EF = 9

FD = 12

. ¿Son semejantes los triángulos?

Ordena los lados de cada triángulo del más corto al más largo

\triangle ABC

4, 6, 8

\triangle DEF

6, 9, 12

→ Parejas:

4 \leftrightarrow 6

6 \leftrightarrow 9

8 \leftrightarrow 12

Divide cada lado de $\triangle DEF$ entre el lado correspondiente de $\triangle ABC$

\frac{6}{4} = 1{,}5

\frac{9}{6} = 1{,}5

\frac{12}{8} = 1{,}5

→ Las tres razones valen

1{,}5

Aplica la semejanza LLL

Tres razones iguales, así que los lados son proporcionales →

\triangle ABC \sim \triangle DEF

k = 1{,}5

Respuesta: Sí, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ por la semejanza LLL con razón de semejanza $k = 1{,}5$ .

Errores comunes

Emparejar los lados en el orden en que aparecen, por ejemplo $4, 6, 8$ con $12, 9, 6$ , y obtener las razones $3$ , $1{,}5$ , $0{,}75$

Por qué está mal: El orden en que se escriben las longitudes no dice qué lados se corresponden. Las parejas equivocadas dan razones distintas incluso en triángulos semejantes.

Correcto: Ordena primero los dos triángulos del lado más corto al más largo: $4, 6, 8$ y $6, 9, 12$ . Así todas las razones valen $1{,}5$ .

Usar LAL con un ángulo que no está entre los dos lados

Por qué está mal: Dos lados proporcionales y un ángulo no comprendido (LLA) no fijan la forma: dos triángulos distintos pueden tener los mismos dos lados y el mismo ángulo opuesto a uno de ellos.

Correcto: Comprueba que el ángulo igual está formado exactamente por los dos lados que has comparado. Si no, la semejanza LAL no se aplica.

Pensar que la razón de áreas también es $k$

Por qué está mal: Un área es longitud por longitud, así que los dos factores crecen con $k$ : el área crece con $k \cdot k = k^2$ .

Correcto: Razón de perímetros $= k$ , razón de áreas $= k^2$ . Con $k = 3$ , el área es $9$ veces mayor, no $3$ veces.

Dividir el grande entre el pequeño en una pareja y el pequeño entre el grande en otra, por ejemplo $\frac{6}{4} = 1{,}5$ pero $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Por qué está mal: Entonces las razones parecen distintas aunque los lados sean proporcionales.

Correcto: Divide siempre en el mismo sentido: lado de la imagen entre lado del original (o al revés en todas las parejas).

Por qué es importante

A menudo es más fácil medir longitudes que ángulos, y entonces la semejanza LLL y LAL es justo lo que necesitas:

Topografía: para calcular el ancho de un lago que no se puede cruzar, los topógrafos marcan un triángulo pequeño que comparte un ángulo con uno grande y usan la semejanza LAL
Ingeniería: la maqueta de una cercha o de un puente se construye con todas las longitudes multiplicadas por el mismo factor, así tiene exactamente la misma forma que la estructura real
Imprenta y diseño: al ampliar un logotipo, cada longitud se multiplica por $k$ , pero la tinta o el material necesario se multiplica por $k^2$
Comprobar un plano: un carpintero puede comprobar que un marco triangular coincide con el plano comparando tres razones de longitudes, sin transportador

Saber que el área crece con

k^2

(y no con

k

) también evita errores caros, como comprar solo el doble de pintura para una pared que es el doble de ancha y el doble de alta.

Aplicaciones del mundo real

Ampliar un logotipo

Los diseñadores amplían los logotipos de modo que cada longitud crezca con la misma razón. El triángulo ampliado es semejante al original por la semejanza LLL, así que conserva exactamente su forma.

Ejemplo:

Un logotipo triangular de lados $2$ cm, $3$ cm y $4$ cm se imprime en un cartel con $k = 5$ : los lados pasan a medir $10$ cm, $15$ cm y $20$ cm.

1Inténtalo tú mismo

Un logotipo triangular tiene lados de $3$ cm, $4$ cm y $6$ cm. En una pancarta su lado más corto debe medir $7{,}5$ cm, y el logotipo debe conservar su forma.

¿Cuánto mide el lado más largo del logotipo en la pancarta (en cm)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica el lado más largo por la razón de semejanza:

Medir el ancho de un lago

Los topógrafos no pueden tender una cinta métrica sobre el agua. Marcan dos puntos sobre líneas que salen de un vértice y usan el triángulo pequeño que comparte el ángulo de ese vértice con el grande.

Ejemplo:

Desde el punto $A$ salen dos caminos rectos que pasan junto al lago. Un triángulo pequeño cuyos lados a lo largo de ambos caminos miden $\frac{1}{4}$ de los del grande comparte el ángulo en $A$ , así que el ancho del lago es $4$ veces la distancia corta medida en tierra.

2Inténtalo tú mismo

Desde el punto $A$ , por un camino $AD = 20$ m y $AB = 60$ m, y por el otro $AE = 25$ m y $AC = 75$ m. $B$ y $C$ están en orillas opuestas del lago. En tierra se mide $DE = 18$ m.

¿Cuánto mide el ancho del lago, la distancia $BC$ (en m)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica la distancia medida $DE$ por la razón de semejanza:

Tela para una vela más grande

Los fabricantes de velas amplían o reducen diseños de velas que ya funcionan. La vela nueva es semejante a la antigua, pero la tela necesaria crece con la razón de áreas $k^2$, no con $k$.

Ejemplo:

Una vela que es $1{,}5$ veces más larga en cada lado necesita $1{,}5^2 = 2{,}25$ veces más tela.

3Inténtalo tú mismo

Una vela triangular pequeña tiene lados de $3$ m, $4$ m y $5$ m y un área de $6$ m². Una vela nueva tiene lados de $6$ m, $8$ m y $10$ m.

¿Cuánta tela (en m²) necesita la vela nueva?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Multiplica el área antigua por la razón de áreas:

Puntos clave

1Semejanza LLL: si las tres parejas de lados correspondientes tienen la misma razón $k$ , los triángulos son semejantes
2Semejanza LAL: dos parejas de lados con la misma razón $k$ y un ángulo comprendido igual hacen que los triángulos sean semejantes
3Si solo te dan longitudes, ordena los lados del más corto al más largo y emparéjalos en ese orden
4La razón de semejanza $k$ es lado de la imagen entre lado del original; cada lado que falta mide $k$ veces su pareja
5Razón de perímetros $= k$ , razón de áreas $= k^2$
6Elige el criterio según los datos: dos ángulos es AA, tres lados es LLL, dos lados y el ángulo entre ellos es LAL

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia la semejanza LLL de la congruencia LLL?

La congruencia LLL exige tres parejas de lados iguales. La semejanza LLL solo exige tres parejas de lados en la misma razón. La congruencia es el caso particular

k = 1

¿Por qué el ángulo de LAL tiene que ser el ángulo comprendido?

Los dos lados y el ángulo entre ellos fijan la forma por completo. Si el ángulo está en otro sitio (LLA), dos triángulos distintos pueden encajar con los mismos datos, así que no puedes concluir que los triángulos son semejantes.

¿Cuándo uso AA, LLL o LAL?

Mira qué datos tienes. Dos parejas de ángulos iguales: AA. Tres parejas de longitudes: LLL. Dos parejas de longitudes y el ángulo entre ellas: LAL. En triángulos encajados, un ángulo común suele darte gratis el ángulo para AA o LAL.

¿Importa entre qué triángulo divido?

Solo para el valor de

k

. El grande entre el pequeño da

k > 1

(ampliación), el pequeño entre el grande da

k < 1

(reducción). Las dos formas valen, siempre que dividas en el mismo sentido en todas las parejas.

Glosario

Semejanza LLL: Si las tres parejas de lados correspondientes de dos triángulos están en la misma razón, los triángulos son semejantes
Semejanza LAL: Si dos parejas de lados correspondientes están en la misma razón y los ángulos comprendidos son iguales, los triángulos son semejantes
Ángulo comprendido: El ángulo que forman dos lados dados de un triángulo en el vértice donde se unen
Razón de semejanza: La razón $k$ entre un lado de una figura y el lado correspondiente de otra figura semejante
Lados correspondientes: Lados que ocupan la misma posición en dos figuras semejantes o congruentes (también lados homólogos)
Razón de áreas: La razón entre las áreas de dos figuras semejantes, igual a $k^2$

Tarjeta de fórmulas

Semejanza LLL

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Las tres razones de lados son iguales (lados ordenados del más corto al más largo)

Semejanza LAL

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k,\ \angle B = \angle E \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Dos razones de lados son iguales y los ángulos comprendidos son iguales

Razón de perímetros

\frac{P_2}{P_1} = k

Los perímetros crecen con el mismo factor que los lados

Razón de áreas

\frac{A_2}{A_1} = k^2

Las áreas crecen con el cuadrado de la razón de semejanza

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

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Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Ampliar un logotipo

Medir el ancho de un lago

Tela para una vela más grande

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Semejanza LLL

Semejanza LAL

Razón de perímetros

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