Guía del profesor: Polígonos regulares

Aprende qué hace que un polígono sea regular, cómo hallar sus ángulos interiores, exteriores y centrales, su perímetro y su área, y qué polígonos regulares embaldosan un suelo.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Polígonos. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Decidir si un polígono es regular comprobando los lados y los ángulos
Calcular los ángulos interior, exterior y central de un polígono regular
Hallar el número de lados de un polígono regular a partir de un ángulo interior o exterior
Calcular el perímetro y el área de un polígono regular usando la apotema
Explicar por qué entre los polígonos regulares solo triángulos, cuadrados y hexágonos cubren el plano

Requisitos previos

• Nombres de los polígonos según el número de lados (Introducción a los polígonos, Clasificar polígonos)
• La suma de ángulos interiores $(n-2) \times 180°$ (Fórmula de la suma de ángulos de un polígono)
• Los ángulos exteriores y su suma de $360°$ (Ángulos exteriores de polígonos)
• El área de un triángulo $\frac{1}{2} \cdot b \cdot h$ y el teorema de Pitágoras

Iniciadores de discusión

1. ¿Es el cuadrado el único cuadrilátero regular? ¿Cómo convencerías a un amigo?
2. ¿Por qué crees que las abejas construyen hexágonos y no cuadrados ni triángulos?
3. ¿Qué le pasa al ángulo interior cuando un polígono regular tiene cada vez más lados? ¿Puede llegar a $180°$ ?
4. ¿Por qué es más fácil hallar el número de lados con el ángulo exterior que con el interior?

Conceptos erróneos comunes

Con lados iguales basta para que un polígono sea regular

Remediación: Aplasta un cuadrado hecho con 4 palitos iguales hasta formar un rombo: los lados siguen iguales, los ángulos cambian. Muestra después un rectángulo: ángulos iguales, lados distintos. Regular exige las dos cosas.

La apotema y el radio miden lo mismo

Remediación: Dibuja los dos en un hexágono: el radio termina en un vértice, la apotema en el punto medio de un lado. La apotema es un cateto y el radio la hipotenusa de un triángulo rectángulo, así que el radio siempre es más largo.

Cualquier polígono regular puede cubrir un suelo si se coloca con habilidad

Remediación: Que lo intenten con pentágonos de papel. Después calcula $\frac{360°}{108°} \approx 3{,}33$ : los ángulos alrededor de un punto deben sumar exactamente $360°$ , así que el número tiene que ser entero.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una tabla con n, la suma de ángulos y el ángulo interior ya empezada para n = 3 a 6
• Medir con transportador los ángulos de polígonos de papel antes de usar fórmulas
• Dar la apotema en todos los problemas de área

Para estudiantes de nivel:

• Hallar n a partir de ángulos interiores y exteriores
• Calcular áreas de polígonos regulares con la apotema dada
• Explicar con ángulos qué polígonos regulares cubren el plano

Para estudiantes avanzados:

• Hallar la apotema de un hexágono o de un cuadrado solo a partir del lado
• Estudiar el mosaico de octágonos y cuadrados: ¿por qué funciona $135° + 135° + 90° = 360°$ ?
• Mostrar que el área de un polígono regular de n lados se acerca al área de un círculo cuando n crece

Alineación con estándares

7.G.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.5)
Usar propiedades de ángulos suplementarios y adyacentes para plantear y resolver ecuaciones de un ángulo desconocido
7.G.B.6 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.B.6)
Resolver problemas reales de área de figuras compuestas por triángulos y polígonos
HSG.CO.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.CO.A.3)
Describir los giros y las simetrías axiales que llevan un polígono regular sobre sí mismo

Recursos de la lección

visualExplorador de polígonos regulares
Mueve el número de lados y observa en directo cómo cambian los ángulos central, interior y exterior, la apotema, el perímetro y el área
activityPrueba de mosaicos
Los alumnos intentan cubrir una hoja con triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos y octágonos de papel y anotan cuáles dejan huecos
worksheetTabla de polígonos regulares
Completar una tabla para n = 3 a 12 con los ángulos interior, exterior y central y buscar regularidades

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Un polígono regular tiene todos los lados iguales Y todos los ángulos iguales. Hacen falta las dos condiciones:

Un rombo tiene cuatro lados iguales, pero sus ángulos no son todos iguales (por ejemplo $60°$ y $120°$ ), así que no es regular.
Un rectángulo tiene cuatro ángulos iguales ( $90°$ ), pero sus lados no son todos iguales, así que no es regular.
Un cuadrado tiene las dos cosas, es un cuadrilátero regular.

Todo polígono regular tiene un centro

O

, a la misma distancia de todos los vértices. Los segmentos del centro a los vértices dividen un polígono regular de

n

lados en

n

triángulos isósceles iguales.

**Ángulos de un polígono regular de

n

lados** (la suma

(n-2) \times 180°

viene de la lección sobre la suma de ángulos):

\text{ángulo interior} = \frac{(n-2) \times 180°}{n} \qquad \text{ángulo exterior} = \frac{360°}{n} \qquad \text{ángulo central} = \frac{360°}{n}

El ángulo central es el ángulo en el centro entre los segmentos hacia dos vértices vecinos. En un polígono regular es igual al ángulo exterior.

Longitudes: el radio

r

va del centro a un vértice, la apotema

a

va del centro al punto medio de un lado y es perpendicular a él.

Perímetro y área (lado

s

P = n \cdot s \qquad A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

Mosaicos: un polígono regular cubre el plano él solo únicamente si su ángulo interior divide a

360°

. Eso funciona exactamente para tres: el triángulo equilátero (

60°

), el cuadrado (

90°

) y el hexágono regular (

120°

Ejemplos resueltos

Decide qué figuras son polígonos regulares: un rombo con ángulos de

70°

110°

, un rectángulo de 3 cm por 5 cm y un triángulo equilátero.

Comprueba el rombo

Los 4 lados son iguales, pero los ángulos miden

70°

110°

→ Ángulos distintos: no es regular

Comprueba el rectángulo

Los 4 ángulos miden

90°

, pero los lados miden 3 cm y 5 cm → Lados distintos: no es regular

Comprueba el triángulo equilátero

Los 3 lados son iguales y los 3 ángulos miden

60°

→ Regular

Respuesta: Solo el triángulo equilátero es regular. El rombo falla en los ángulos, el rectángulo en los lados.

Errores comunes

Decir que un rombo es regular porque todos sus lados son iguales

Por qué está mal: Lados iguales son solo la mitad de la definición. Un rombo puede tener ángulos de $60°$ y $120°$ .

Correcto: Un polígono es regular solo si todos los lados Y todos los ángulos son iguales. Comprueba siempre las dos cosas.

Olvidar dividir entre $n$ : dar $(n-2) \times 180°$ como un solo ángulo interior

Por qué está mal: $(n-2) \times 180°$ es la SUMA de todos los ángulos interiores, $720°$ en un hexágono, demasiado para un solo ángulo.

Correcto: Un ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados es $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$ , en un hexágono $\frac{720°}{6} = 120°$ .

Hallar $n$ dividiendo $360°$ entre el ángulo INTERIOR

Por qué está mal: Con un ángulo interior de $144°$ sale $\frac{360}{144} = 2{,}5$ lados, algo imposible. Solo el ángulo exterior cumple $\frac{360°}{n}$ .

Correcto: Halla primero el ángulo exterior $180° - 144° = 36°$ y después $n = \frac{360°}{36°} = 10$ .

Usar el lado o el radio en lugar de la apotema en $A = \frac{1}{2} P a$

Por qué está mal: El radio llega a un vértice y es más largo que la apotema. Solo la apotema es perpendicular al lado, así que solo ella es la altura de cada triángulo.

Correcto: Usa la apotema: la distancia perpendicular del centro al punto medio de un lado.

Por qué es importante

Los polígonos regulares son las formas que se eligen cuando todo debe ser justo, resistente o fácil de repetir:

Naturaleza: las abejas construyen celdas hexagonales en sus panales. Los hexágonos llenan el espacio sin huecos y gastan la menor cantidad de cera en las paredes.
Señales de tráfico: la señal de stop es un octágono regular, así los conductores reconocen su forma incluso por detrás.
Suelos y paredes: las baldosas son cuadrados, triángulos o hexágonos, los únicos polígonos regulares que cubren un suelo sin huecos.
Mecánica: las tuercas y las cabezas de tornillo son hexágonos regulares, así una llave encaja desde seis direcciones.
Diseño y construcción: cenadores, mesas y ventanas usan octágonos y pentágonos regulares; el ángulo central le dice al carpintero cómo cortar cada pieza.

Con las fórmulas de esta lección hallas cualquier ángulo, el perímetro y el área de un polígono regular a partir del número de lados y una sola longitud.

Aplicaciones del mundo real

Panales y baldosas hexagonales

Las abejas y los fabricantes de baldosas usan hexágonos regulares, porque exactamente tres encajan alrededor de un punto sin dejar hueco.

Ejemplo:

Los cuadrados encajan de 4 en 4 alrededor de un punto ( $4 \cdot 90° = 360°$ ), los triángulos equiláteros de 6 en 6 ( $6 \cdot 60° = 360°$ ).

1Inténtalo tú mismo

Un alicatador quiere cubrir el suelo de un baño solo con hexágonos regulares.

¿Cuántos hexágonos se juntan en cada vértice?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Divide el ángulo completo alrededor de un punto entre un ángulo interior:

Señales de stop

Una señal de stop es un octágono regular. Los fabricantes usan el área para saber cuánta lámina reflectante necesita cada señal.

Ejemplo:

Un octágono regular de lado 25 cm tiene una apotema de unos 30,2 cm.

2Inténtalo tú mismo

Una señal de stop es un octágono regular con lados de 25 cm y una apotema de 30,2 cm.

¿Cuántos centímetros cuadrados de lámina reflectante cubren toda la señal?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ :

El suelo de un cenador

El suelo de un cenador octogonal está hecho de 8 secciones triangulares de madera iguales que se juntan en el centro.

Ejemplo:

Cada sección tiene en su punta, en el centro, el ángulo central $\frac{360°}{8} = 45°$ .

3Inténtalo tú mismo

Una carpintera corta los 8 triángulos isósceles del suelo de un cenador octogonal regular.

¿Con qué ángulo debe cortar cada una de las dos esquinas de la base de un triángulo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resta el ángulo central de $180°$ y reparte el resto a partes iguales:

Puntos clave

1Un polígono regular tiene todos los lados iguales Y todos los ángulos iguales; un rombo y un rectángulo no son regulares
2Ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados: $\frac{(n-2) \times 180°}{n}$
3El ángulo exterior y el ángulo central valen los dos $\frac{360°}{n}$
4Para hallar $n$ a partir de un ángulo interior, toma primero el ángulo exterior $180° - \text{interior}$ y después $n = \frac{360°}{\text{exterior}}$
5Perímetro $P = n \cdot s$ y área $A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a$ , donde la apotema $a$ va del centro al punto medio de un lado
6Solo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular cubren un suelo por sí solos, porque $60°$ , $90°$ y $120°$ dividen a $360°$

Preguntas frecuentes

¿Todo triángulo con tres lados iguales es regular?

Sí. En los triángulos, lados iguales obligan a ángulos iguales, así que todo triángulo equilátero tiene tres ángulos de

60°

. A partir de cuatro lados ya no es así: un rombo tiene lados iguales pero puede tener ángulos distintos.

¿Por qué el ángulo exterior y el ángulo central son iguales?

Los dos reparten los

360°

de una vuelta completa en

n

partes iguales: los ángulos exteriores son los

n

giros de un paseo alrededor del polígono, los ángulos centrales son las

n

porciones alrededor del centro. Por eso los dos valen

\frac{360°}{n}

¿Por qué un pentágono regular no puede cubrir un suelo?

Su ángulo interior mide

108°

. Tres suman

324°

y dejan un hueco de

36°

, cuatro sumarían

432°

y se solaparían. Como

\frac{360}{108}

no es un número entero, los pentágonos no encajan sin huecos.

¿Cuántos ejes de simetría tiene un polígono regular?

Un polígono regular de

n

lados tiene

n

ejes de simetría, por ejemplo 6 un hexágono regular. La lección sobre simetría en los polígonos estudia estos ejes y los giros con detalle.

Glosario

Polígono regular: Un polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales.
Centro: El punto interior de un polígono regular que está a la misma distancia de todos los vértices.
Ángulo central: El ángulo en el centro entre los segmentos hacia dos vértices vecinos: $\frac{360°}{n}$ .
Radio: La distancia del centro de un polígono regular a un vértice.
Apotema: La distancia perpendicular del centro de un polígono regular al punto medio de un lado.
Mosaico (teselado): Un patrón de figuras que cubre una superficie plana sin huecos ni solapamientos.

Tarjeta de fórmulas

Ángulo interior

\frac{(n-2) \times 180°}{n}

Un ángulo dentro de un polígono regular de $n$ lados

Ángulo exterior y ángulo central

\frac{360°}{n}

El giro en cada vértice y el ángulo en el centro para un lado

Número de lados

n = \frac{360°}{\text{ángulo exterior}}

Ángulo exterior $= 180° - $ ángulo interior

Perímetro

P = n \cdot s

Número de lados por la longitud del lado

Área

A = \frac{1}{2} \cdot P \cdot a

La mitad del perímetro por la apotema $a$

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Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Panales y baldosas hexagonales

Señales de stop

El suelo de un cenador

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

Ángulo interior

Ángulo exterior y ángulo central

Número de lados

Perímetro

Área

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