Dominio y recorrido

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué representa el dominio de una función?
1. a)El punto más alto del gráfico
2. b)Todos los valores de salida posibles (valores de y)
3. c)La pendiente de la función
4. d)Todos los valores de entrada posibles (valores de x)
Respuesta: Todos los valores de entrada posibles (valores de x)
El dominio representa todos los valores de entrada posibles (valores de x) que una función puede aceptar. El recorrido representa los valores de salida (valores de y).
2.
Una gráfica empieza en un punto relleno en $x = -2$ y termina en un punto relleno en $x = 6$ . ¿Cuál es el dominio en notación de intervalo?
1. a) $(-2, 6)$
2. b) $[-2, 6]$
3. c) $(-2, 6]$
4. d) $[-2, 6)$
Respuesta: $[-2, 6]$
Los puntos rellenos indican que ambos extremos pertenecen a la gráfica, así que están incluidos. Usamos corchetes $[ ]$ para mostrarlo: $[-2, 6]$ .
3.
Una parábola tiene su vértice en $(0, 3)$ y abre hacia arriba. ¿Cuál es el valor mínimo del recorrido?
Respuesta: 3
Cuando una parábola abre hacia arriba, el vértice es el punto mínimo. La coordenada y del vértice $(0, 3)$ es $3$ , así que el valor mínimo del recorrido es $3$ .
4.
Para $f(x) = \frac{1}{x}$ , ¿qué valor de $x$ NO está en el dominio?
Respuesta: 0
En la función $f(x) = \frac{1}{x}$ , el denominador es $x$ . Cuando $x = 0$ , obtenemos $\frac{1}{0}$ , que no está definido. Por lo tanto, $x = 0$ no está en el dominio.
5.
¿Qué notación de corchetes debes usar siempre con infinito ( $\infty$ )?
1. a)Paréntesis $( )$
2. b)Llave $\{ \}$
3. c)Cualquiera funciona
4. d)Corchete $[ ]$
Respuesta: Paréntesis $( )$
Siempre usa paréntesis $( )$ con infinito porque infinito no es un número real que se pueda alcanzar o incluir. Por ejemplo: $[0, \infty)$ o $(-\infty, 5]$ .
6.
Encuentra el dominio de $f(x) = \frac{1}{x-5}$
Respuesta: (-∞, 5) ∪ (5, ∞)
1. ¿Qué operación crea la restricción en esta función? división
2. Iguala el denominador a cero: $x - 5 = 0$ . Despeja x. 5
3. Este valor debe excluirse. Elige la respuesta en notación de unión. (-∞, 5) ∪ (5, ∞)
7.
Encuentra el dominio de $g(x) = \sqrt{x - 4}$
Respuesta: [4, ∞)
1. ¿Qué debe ser cierto sobre la expresión bajo una raíz cuadrada? mayor o igual a 0
2. Resuelve $x - 4 \geq 0$ : obtienes $x \geq \square$ . ¿Qué número va en la casilla? 4
3. Elige el dominio en notación de intervalo. [4, ∞)
8.
El recorrido de una función es $[-2, \infty)$ . ¿Cuál es el valor mínimo de y que la función puede producir?
Respuesta: -2
En el intervalo $[-2, \infty)$ , el corchete en $-2$ significa que está incluido. Así que el valor mínimo de y es $-2$ , y la función puede producir cualquier valor desde $-2$ hacia arriba.
9.
¿Cuál es el dominio de $f(x) = x^2 + 3x - 7$ ?
1. a) $(-\infty, 7]$
2. b) $[0, \infty)$
3. c) $[-7, \infty)$
4. d) $(-\infty, \infty)$
Respuesta: $(-\infty, \infty)$
La función $f(x) = x^2 + 3x - 7$ es un polinomio. Los polinomios no tienen restricciones - sin fracciones (no hay división por cero posible) y sin raíces cuadradas. Cualquier número real puede ser entrada, así que el dominio es $(-\infty, \infty)$ .
10.
Encuentra el dominio y recorrido de $f(x) = x^2 + 2$
Respuesta: Dominio: (-∞, ∞), Recorrido: [2, ∞)
1. ¿Hay restricciones en el dominio (fracciones o raíces cuadradas)? no
2. ¿Cuál es el dominio? (-∞, ∞)
3. Como $x^2 \geq 0$ para todo x, ¿cuál es el valor mínimo de $x^2 + 2$ ? 2
4. ¿Cuál es el recorrido? [2, ∞)
11.
Para $f(x) = \sqrt{x}$ , el recorrido es $[a, \infty)$ . ¿Cuánto vale $a$ ?
Respuesta: 0
La función raíz cuadrada $\sqrt{x}$ siempre produce salidas no negativas. Cuando $x = 0$ , $\sqrt{0} = 0$ . A medida que x aumenta, $\sqrt{x}$ aumenta sin límite. Recorrido: $[0, \infty)$ .
12.
Encuentra el dominio de $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$
Respuesta: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)
1. Iguala el denominador a cero: $x^2 - 9 = 0$ , así que $x^2 = \square$ . ¿Qué número va en la casilla? 9
2. Despeja x (recuerda las raíces positivas y negativas) x = 3 o x = -3
3. ¿Cuántos valores están excluidos del dominio? 2
4. Elige el dominio usando notación de unión (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)
13.
¿Cuál es el dominio de $f(x) = \sqrt{2x + 6}$ ?
1. a) $[-6, \infty)$
2. b) $[-3, \infty)$
3. c) $(-\infty, -3]$
4. d) $[3, \infty)$
Respuesta: $[-3, \infty)$
Para $\sqrt{2x + 6}$ , necesitamos $2x + 6 \geq 0$ . Resolviendo: $2x \geq -6$ , así que $x \geq -3$ . Dominio: $[-3, \infty)$ . Nota: $[-6, \infty)$ es un error común al olvidar dividir por 2.
14.
Encuentra el dominio de $h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$
Respuesta: [0, 4) ∪ (4, ∞)
1. La raíz cuadrada exige $x \geq \square$ . ¿Qué número va en la casilla? 0
2. ¿Qué valor de x hace cero el denominador $x - 4$ ? 4
3. Combina ambas restricciones. x debe ser... x ≥ 0 y x ≠ 4
4. Elige el dominio final en notación de intervalo [0, 4) ∪ (4, ∞)
15.
Una parábola abre hacia abajo con vértice en $(2, 8)$ . ¿Cuál es el valor máximo de su recorrido?
Respuesta: 8
Una parábola que abre hacia abajo tiene su máximo en el vértice. El vértice es $(2, 8)$ , así que la coordenada y $8$ es la salida máxima. Recorrido: $(-\infty, 8]$ .
16.
Encuentra el recorrido de $f(x) = -x^2 + 4x + 5$
Respuesta: (-∞, 9]
1. ¿Esta parábola abre hacia arriba o hacia abajo? abajo
2. Encuentra la coordenada x del vértice usando $x = \frac{-b}{2a}$ donde $a = -1$ , $b = 4$ 2
3. Encuentra la coordenada y sustituyendo x = 2 en la función 9
4. Como la parábola abre hacia abajo, ¿cuál es el recorrido? (-∞, 9]