Volver a la lección

Guía del profesor: Dominio y recorrido

Aprende a identificar el dominio (valores de entrada) y el recorrido (valores de salida) de una función.

Presentar lecciónCompartir en ClassroomVer página del estudiante

Usa esta lección con tu clase

Gratis, sin cuentas para los alumnos.

Compartir con los alumnos

Los alumnos abren la lección y practican con corrección inmediata.

Ficha imprimible

Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.

Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Funciones. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Definir dominio y recorrido en el contexto de funciones
  • Identificar dominio y recorrido a partir de gráficos de funciones
  • Determinar restricciones de dominio a partir de ecuaciones de funciones
  • Expresar dominio y recorrido usando notación de intervalo y de conjuntos
  • Aplicar conceptos de dominio y recorrido a problemas del mundo real
Requisitos previos
  • • Comprensión de qué es una función
  • • Familiaridad con gráficos de coordenadas
  • • Resolución básica de inecuaciones
  • • Conocimiento de la notación funcional f(x)f(x)
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales)? ¿Qué significaría eso?
  • 2. ¿Puede una función tener un dominio que sea un solo punto? ¿Cómo se vería eso?
  • 3. ¿Cómo explicarías el dominio y el recorrido a alguien usando la analogía de una máquina expendedora?
  • 4. ¿Qué situaciones del mundo real tienen restricciones naturales de dominio?
Conceptos erróneos comunes

El dominio siempre debe comenzar en cero

Remediación: Muestra funciones con dominios como (−∞,∞)(-\infty, \infty) o [−5,3][-5, 3]. El dominio depende de la función, no de una regla universal.

El recorrido es solo la altura del gráfico en un punto

Remediación: Enfatiza que el recorrido incluye TODOS los valores de y posibles. Usa un escaneo vertical: '¿Qué valores de y toca alguna vez este gráfico?'

Si un número no está en el dominio, la función vale cero ahí

Remediación: Aclara que "no definida" significa que la función no existe en ese punto - no es cero, simplemente no está definida.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Concéntrate en leer dominio/recorrido de gráficos antes de las ecuaciones
  • • Usa código de colores: azul para dominio (horizontal), rojo para recorrido (vertical)
  • • Comienza con funciones lineales que no tienen restricciones

Para estudiantes de nivel:

  • • Encuentra dominio y recorrido de varios tipos de funciones
  • • Practica la conversión entre notación de intervalo y de desigualdad
  • • Identifica restricciones en funciones racionales y radicales

Para estudiantes avanzados:

  • • Explora funciones definidas por partes con múltiples piezas de dominio
  • • Encuentra dominio y recorrido de funciones compuestas
  • • Investiga cómo las transformaciones afectan el dominio y el recorrido
Alineación con estándares
  • F.IF.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.A.1)

    Comprender que una función de un conjunto (dominio) a otro conjunto (recorrido) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del recorrido

  • F.IF.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.5)

    Relacionar el dominio de una función con su gráfico y, cuando sea aplicable, con la relación cuantitativa que describe

Recursos de la lección
  • visualExplorador de funciones interactivo

    Los estudiantes manipulan funciones y observan cómo cambian el dominio y el recorrido

  • activityDetective del dominio

    Encuentra restricciones en diferentes tipos de funciones

  • worksheetPráctica de notación de intervalo

    Convertir entre representaciones gráfica, de intervalo y de conjuntos

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (valores de x) que la función puede aceptar.
El recorrido (también llamado imagen o rango) de una función es el conjunto de todos los posibles valores de salida (valores de y) que la función puede producir.
Piensa en una función como una máquina:
  • Dominio: Lo que puedes poner DENTRO de la máquina
  • Recorrido: Lo que SALE de la máquina
Dominio→funcioˊnRecorrido\text{Dominio} \xrightarrow{\text{función}} \text{Recorrido}
x→ff(x)=yx \xrightarrow{f} f(x) = y

Ejemplos resueltos

Encuentra el dominio de la función mostrada: su gráfica empieza en un punto relleno en x=−3x = -3 y termina en un punto relleno en x=5x = 5.
1

Identifica el valor más pequeño de x

El gráfico comienza en x=−3x = -3 → Límite izquierdo: −3-3
2

Identifica el valor más grande de x

El gráfico termina en x=5x = 5 → Límite derecho: 55
3

Escribe en notación de intervalo

Todos los valores de x desde −3-3 hasta 55, inclusive → [−3,5][-3, 5]
4

Escribe en notación de conjuntos (alternativa)

{x∣−3≤x≤5}\{x \mid -3 \leq x \leq 5\} → "x tal que x está entre -3 y 5"

Errores comunes

Confundir dominio con recorrido

Por qué está mal: Ambos términos describen conjuntos de valores, pero se aplican a variables diferentes.

Correcto: Dominio = valores de x (horizontal, entradas). Recorrido = valores de y (vertical, salidas). Recuerda: "D" viene antes de "R" alfabéticamente, igual que x viene antes de y.

Olvidar excluir valores que hacen el denominador cero

Por qué está mal: La división por cero no está definida, por lo que esos valores de x no pueden estar en el dominio.

Correcto: Siempre comprueba si hay una variable en el denominador. Establece denominador ≠0\neq 0 y resuelve.

Usar la notación incorrecta de corchetes

Por qué está mal: Los corchetes [][ ] incluyen los extremos; los paréntesis ()( ) los excluyen.

Correcto: [a,b][a, b] significa a≤x≤ba \leq x \leq b (incluye a y b). (a,b)(a, b) significa a<x<ba < x < b (excluye a y b). Siempre usa ()( ) con ∞\infty.

Asumir que todas las funciones tienen dominio (−∞,∞)(-\infty, \infty)

Por qué está mal: Muchas funciones tienen restricciones naturales por fracciones, raíces cuadradas o contextos del mundo real.

Correcto: Comprueba: división por cero, raíces cuadradas de números negativos, logaritmos de números no positivos y límites contextuales.

Por qué es importante

Comprender el dominio y el recorrido te ayuda a:
  • Evitar errores matemáticos: No puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales), por lo que f(x)=xf(x) = \sqrt{x} tiene restricciones de dominio
  • Interpretar situaciones reales: Una función que modela la altura en función del tiempo tiene un recorrido limitado por restricciones físicas
  • Entender el comportamiento de las funciones: El dominio te dice dónde "vive" una función en el eje x; el recorrido te dice su extensión vertical
  • Resolver problemas correctamente: Muchos problemas contextualizados requieren encontrar valores realistas dentro del dominio y recorrido de una función

Aplicaciones del mundo real

Movimiento de proyectiles

Cuando se lanza una pelota, su altura en función del tiempo es una función con dominio y recorrido restringidos.

Ejemplo:

Si h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t modela la altura en metros después de t segundos, el dominio es [0,4][0, 4] (tiempo desde el lanzamiento hasta el aterrizaje) y el recorrido es [0,20][0, 20] (nivel del suelo hasta la altura máxima).

1Inténtalo tú mismo

La altura de un cohete se modela con h(t)=−4t2+32th(t) = -4t^2 + 32t donde t está en segundos.

¿Cuál es la altura máxima (parte superior del recorrido)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla el instante del vértice t=−b2at = \frac{-b}{2a} y luego la altura hh en ese instante:

Funciones de precios

Las empresas usan funciones para modelar precios, con dominios restringidos a cantidades realistas.

Ejemplo:

Si P(x)=100−2xP(x) = 100 - 2x da el precio por unidad al vender x unidades, el dominio podría ser [0,50][0, 50] (no se pueden vender unidades negativas, y el precio no puede bajar de cero).

2Inténtalo tú mismo

La función de beneficio de una tienda es P(x)=−x2+50x−400P(x) = -x^2 + 50x - 400, donde x es el número de artículos vendidos.

La tienda no quiere tener pérdidas, así que P(x)≥0P(x) \geq 0. ¿Cuál es el mayor número de artículos de este dominio realista?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Resuelve −x2+50x−400≥0-x^2 + 50x - 400 \geq 0 y da el extremo derecho:

Puntos clave

  • 1El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada válidos (valores de x) para una función
  • 2El recorrido es el conjunto de todos los valores de salida posibles (valores de y) que una función puede producir
  • 3Restricciones comunes de dominio: denominadores ≠0\neq 0, argumentos de raíz ≥0\geq 0
  • 4Usa notación de intervalo con [][ ] para extremos incluidos y ()( ) para extremos excluidos
  • 5Siempre usa paréntesis con infinito: (−∞,a](-\infty, a] o [b,∞)[b, \infty)

Preguntas frecuentes

¿Cómo sé si un extremo debe usar corchete o paréntesis?

Usa un corchete [][ ] si el extremo está incluido en el conjunto (punto sólido en el gráfico, ≤\leq o ≥\geq en la inecuación). Usa paréntesis ()( ) si está excluido (punto abierto, << o >>). Siempre usa paréntesis con infinito ya que infinito no es un número.

¿Qué pasa si una función no tiene restricciones?

Entonces el dominio es todos los números reales: (−∞,∞)(-\infty, \infty) o R\mathbb{R}. Esto es común para polinomios sin fracciones ni raíces, como f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 o g(x)=x3−xg(x) = x^3 - x.

¿Cómo encuentro el recorrido sin graficar?

Considera qué salidas son posibles. Para funciones cuadráticas, encuentra el vértice (mínimo o máximo). Para raíces cuadradas, las salidas siempre son ≥0\geq 0. Para funciones racionales, comprueba las asíntotas horizontales. ¡A veces graficar es el método más fácil!

Glosario

Dominio
El conjunto de todos los valores de entrada válidos (valores de x) para una función
Recorrido
El conjunto de todos los valores de salida posibles (valores de y) de una función
Notación de intervalo
Una forma de escribir conjuntos usando corchetes y paréntesis, ej. [−3,5)[-3, 5)
Notación de conjuntos
Una forma de describir conjuntos usando condiciones, ej. {x∣x>0}\{x \mid x > 0\}
Restricción
Un valor que no puede estar en el dominio debido a reglas matemáticas

Más sobre este tema

Notación de funciones f(x)

Intermedio25 min