Demostración directa

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Cuál es el primer paso en una demostración directa?
1. a)Usar prueba por contradicción
2. b)Encontrar un contraejemplo
3. c)Asumir que la hipótesis es verdadera
4. d)Probar la conclusión directamente
Respuesta: Asumir que la hipótesis es verdadera
En una demostración directa, comenzamos asumiendo que la hipótesis (la parte 'si') es verdadera, luego usamos pasos lógicos para llegar a la conclusión.
2.
Según la definición, un entero par puede escribirse como:
1. a) para algún entero
2. b) para algún entero
3. c) para algún entero
4. d) para algún entero
Respuesta: para algún entero
Un entero par es cualquier entero divisible por 2, por lo que puede escribirse como donde es cualquier entero. Por ejemplo: , .
3.
Si para algún entero , ¿es par o impar? Escribe 'par' o 'impar'.
Respuesta: odd
La expresión representa un número impar porque es par (un múltiplo de 2) y sumar 1 lo hace impar.
4.
¿Qué significa QED?
1. a)Hecho fácilmente
2. b)Cuestionar cada detalle
3. c)Quod erat demonstrandum
4. d)Terminar discusión rápido
Respuesta: Quod erat demonstrandum
QED significa 'quod erat demonstrandum', que en latín significa 'lo que había que demostrar'. Marca la finalización exitosa de una prueba.
5.
Si y , ¿cuánto es en términos de y ? Escribe tu respuesta en la forma .
Respuesta: 2(m + n)
. Esta forma factorizada muestra que la suma es par porque es 2 veces un entero.
6.
¿Por qué verificar ejemplos no es lo mismo que una prueba?
1. a)Los ejemplos toman mucho tiempo
2. b)Los ejemplos no cubren todos los casos infinitos
3. c)Los ejemplos siempre están mal
4. d)Los ejemplos son más difíciles que las pruebas
Respuesta: Los ejemplos no cubren todos los casos infinitos
Hay infinitos enteros, así que nunca podemos verificar todos los casos con ejemplos. Una prueba usando variables y definiciones cubre todos los casos a la vez.
7.
Demuestra: Si es par, entonces es par.
Respuesta: n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)
1. Escribe usando la definición de par (en términos de algún entero ): n = 2k
2. Eleva al cuadrado ambos lados para encontrar : n^2 = 4k^2
3. Factoriza 2 para mostrar que es par: n^2 = 2(2k^2)
8.
Si (impar), ¿cuánto es expandido? Escribe en la forma .
Respuesta: 4k^2 + 4k + 1
. Esto puede reescribirse como , mostrando que es impar.
9.
Demuestra: El producto de dos números impares es impar.
Respuesta: 2(2jk + j + k) + 1
1. Sean los dos números impares y . Encuentra : (2j + 1)(2k + 1)
2. Expande el producto: 4jk + 2j + 2k + 1
3. Factoriza para mostrar que es de la forma (impar): 2(2jk + j + k) + 1
10.
¿Qué es el razonamiento circular en una prueba?
1. a)Empezar de nuevo varias veces
2. b)Dar vueltas mientras escribes
3. c)Usar demasiados pasos
4. d)Asumir lo que se intenta probar
Respuesta: Asumir lo que se intenta probar
El razonamiento circular ocurre cuando usas la conclusión (lo que intentas probar) como parte de tu razonamiento. Esto invalida la prueba porque en realidad no has probado nada.
11.
En la factorización , ¿cuántos enteros consecutivos se multiplican juntos?
Respuesta: 3
La expresión se factoriza en tres enteros consecutivos: , y . Esto es clave para probar que es divisible por 3.
12.
Demuestra: Si es par y es impar, entonces es impar.
Respuesta: 2(m + k) + 1
1. Escribe como número par y como número impar: a = 2m, b = 2k + 1
2. Suma : 2m + 2k + 1
3. Factoriza para mostrar que es impar (forma ): 2(m + k) + 1
13.
Para probar que es divisible por 3, usamos el hecho de que entre cualesquiera 3 enteros consecutivos:
1. a)Ninguno es divisible por 3
2. b)Todos son divisibles por 3
3. c)Al menos dos son divisibles por 3
4. d)Exactamente uno es divisible por 3
Respuesta: Exactamente uno es divisible por 3
Todo entero tiene residuo 0, 1 o 2 cuando se divide por 3. En tres enteros consecutivos, pasamos por los tres residuos, así que exactamente uno tiene residuo 0 (divisible por 3).
14.
Demuestra: Si es un entero, entonces es par.
Respuesta: n(n + 1)
1. Factoriza : n(n + 1)
2. ¿Qué podemos decir sobre y ? enteros consecutivos
3. Entre dos enteros consecutivos, ¿cuántos son pares? 1
4. Por lo tanto, el producto siempre es: par
15.
Si queremos probar ' divide a ' usando demostración directa, mostramos para algún entero . ¿Qué valor de muestra que 3 divide a 12?
Respuesta: 4
Como , tenemos . Esto demuestra que 3 divide a 12 porque 12 puede expresarse como 3 veces un entero (4).
16.
Demuestra: La suma de un número par y su cuadrado es par.
Respuesta: 2(k + 2k^2)
1. Sea el número par . Escribe : 2k + (2k)^2
2. Simplifica : 4k^2
3. Escribe en forma factorizada : 2(k + 2k^2)
17.
¿Qué enunciado describe mejor un axioma?
1. a)Un enunciado que necesita verificación
2. b)Un enunciado que ha sido probado verdadero
3. c)Un enunciado que siempre es falso
4. d)Un enunciado aceptado como verdadero sin prueba
Respuesta: Un enunciado aceptado como verdadero sin prueba
Un axioma es un enunciado fundamental que se acepta como verdadero sin prueba. Los axiomas sirven como la base de la cual se derivan los teoremas. Ejemplos incluyen 'a = a' (propiedad reflexiva) y 'si a = b, entonces b = a' (propiedad simétrica).