Introducción a las demostraciones matemáticas

Problemas de práctica: Introducción a las demostraciones matemáticas

1. 1. ¿Qué es una demostración matemática?
2. 2. ¿Cuál es la diferencia entre un axioma y un teorema?
3. 3. Si $n$ es un número par, podemos escribir $n = 2k$ donde $k$ es un entero. Si $n = 12$, ¿cuál es el valor de $k$?
4. 4. Si $n$ es un número impar, podemos escribir $n = 2k + 1$. Si $n = 15$, ¿cuál es el valor de $k$?
5. 5. En una demostración por contradicción, ¿qué hacemos primero?
6. 6. ¿Por qué mostrar que $2 + 4 = 6$ NO ES una demostración de que 'la suma de dos números pares es par'?
7. 7. Si $a = 2m$ y $b = 2n$ son números pares, ¿qué es $a + b$ en términos de $m$ y $n$? Escribe en la forma $2(...)$
8. 8. Demuestra que el producto de dos números impares es impar. Sea $a = 2m + 1$ y $b = 2n + 1$.
9. 9. ¿Cuál enunciado describe correctamente el razonamiento circular en una demostración?
10. 10. En la demostración de que $\sqrt{2}$ es irracional, supusimos $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ sin factores comunes. Mostramos que $a$ y $b$ deben ser pares. ¿Qué factor común comparten?
11. 11. Demuestra: La suma de un número par y un número impar es impar.
12. 12. El enunciado 'Todos los números primos son impares' parece verdadero para 3, 5, 7, 11, 13... ¿Qué refuta este enunciado?
13. 13. Demuestra por contradicción: No existe el entero más grande.
14. 14. Si $a^2$ es par, entonces $a$ debe ser par. ¿Por qué? Porque si $a$ fuera impar ($a = 2k+1$), ¿entonces $a^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1$, que es... (par/impar)?
15. 15. Si '$P$ implica $Q$' es verdadero, ¿cuál de los siguientes también debe ser verdadero?
16. 16. Demuestra: Si $n^2$ es impar, entonces $n$ es impar.