Inducción matemática

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Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué dos partes debe tener toda demostración por inducción matemática?
1. a)Solo comprobar los casos de $n = 1$ a $n = 5$
2. b)Un contraejemplo y una contradicción
3. c)Un caso base y un paso inductivo
4. d)Una tabla con afirmaciones y justificaciones
2.
La fórmula $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ se demostró por inducción. Compruébala para $n = 5$ : ¿cuánto es $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ ?
3.
Comprueba $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ para $n = 6$ : ¿cuánto es $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ ?
4.
En la imagen del dominó, ¿qué garantiza el paso inductivo?
1. a)Todas las fichas tienen el mismo tamaño
2. b)Cae la primera ficha
3. c)Cada ficha que cae derriba a la siguiente
4. d)Cae la última ficha
5.
Antes de demostrar $2^n > n$ , comprueba las primeras fichas: calcula $2^n$ para $n = 1, 2, 3$ .
6.
Comprueba la fórmula $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ para $n = 3$ .
7.
Sea $P(n)$ la afirmación $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ . En el paso inductivo con $k = 9$ , el lado derecho de $P(k+1)$ es $\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ . ¿Cuánto vale?
8.
Usa la fórmula $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ , demostrada por inducción, para calcular $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ .
9.
En el paso inductivo de $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ , ¿qué término se suma a $1 + 3 + \dots + (2k-1)$ para obtener el lado izquierdo de $P(k+1)$ ?
1. a) $2k + 1$
2. b) $k + 1$
3. c) $2k$
4. d) $2k - 1$
10.
Sigue el paso inductivo de $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ con números, usando $k = 4$ .
11.
Sigue el paso inductivo de $1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$ con números, usando $k = 6$ .
12.
¿Qué frase es la hipótesis de inducción correcta para demostrar $2^n > n$ para todo $n \ge 1$ ?
1. a)Supongamos que $2^n > n$ para todo $n \ge 1$
2. b)Supongamos que $2^k > k$ para algún entero $k \ge 1$
3. c)Supongamos que $2^{k+1} > k + 1$
4. d)Demostrar que $2^1 > 1$
13.
El paso inductivo de " $n^3 - n$ es divisible entre $3$ " usa $(k+1)^3 - (k+1) = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k$ . Compruébalo con $k = 4$ .
14.
Por inducción también se puede demostrar que $n^3 - n$ es divisible entre $6$ . Para $n = 6$ , calcula $\dfrac{6^3 - 6}{6}$ .
15.
Un estudiante "demuestra" que $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} + 1$ para todo $n \ge 1$ . El álgebra del paso inductivo es correcta. ¿Qué está mal?
1. a)La hipótesis debe ser $P(k+1)$ , no $P(k)$
2. b)Nada, la afirmación es verdadera
3. c)Falla el caso base: para $n = 1$ el lado izquierdo es $1$ y el derecho es $2$
4. d)La inducción no sirve para sumas
16.
Sigue el paso inductivo de $1 + 2 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ con números, usando $k = 5$ .
17.
El paso inductivo de $2^n > n$ usa la cadena $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k \ge k + 1$ . Síguela con $k = 5$ .
18.
La fórmula $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ se demuestra por inducción. Trabaja su caso base y un paso inductivo con números.