Guía del profesor: Inducción matemática

Aprende a demostrar afirmaciones para todo entero positivo con inducción matemática: caso base, hipótesis de inducción, paso inductivo y conclusión.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Demostraciones matemáticas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Explicar la idea del dominó que hay detrás de la inducción matemática
Escribir el caso base, la hipótesis de inducción, el paso inductivo y la conclusión de una demostración por inducción
Demostrar por inducción fórmulas de sumas, afirmaciones de divisibilidad y desigualdades
Encontrar y corregir errores en demostraciones por inducción defectuosas

Requisitos previos

• Introducción a las demostraciones matemáticas: qué es una demostración
• Demostración directa: demostrar afirmaciones a partir de definiciones
• Desarrollar y factorizar expresiones como $(k+1)^2$ y $(k+1)^3$
• Operar con potencias, por ejemplo $2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$

Iniciadores de discusión

1. Si sabes que la primera ficha cae y que cada ficha derriba a la siguiente, ¿cómo sabes que cae la ficha número 1000?
2. ¿Por qué no basta con comprobar una fórmula para los 40 primeros valores de n?
3. ¿Qué saldría mal si nos saltáramos el caso base?
4. ¿Se te ocurre una situación de la vida diaria en la que un paso siempre lleva al siguiente?

Conceptos erróneos comunes

Suponer $P(k)$ es suponer lo que queremos demostrar

Remediación: Insiste en que suponemos $P(k)$ solo para UN valor, para mostrar el enlace entre $k$ y $k+1$ . El caso base es lo que pone en marcha la cadena. Usa el dominó: suponemos que una ficha cae solo para comprobar que golpea a la siguiente.

El caso base es un trámite que se puede saltar

Remediación: Muestra la afirmación falsa $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} + 1$ . Su paso inductivo funciona perfectamente, pero el caso base falla, así que la afirmación es falsa para todo $n$ .

Comprobar varios valores demuestra una fórmula

Remediación: Usa $n^2 + n + 41$ , que es primo para $n = 0$ hasta $39$ pero vale $41^2$ para $n = 40$ . Los patrones sugieren una fórmula, solo una demostración la confirma.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Dar una plantilla con cuatro casillas: caso base, hipótesis, paso, conclusión
• Antes del álgebra, comprobar $P(k)$ y $P(k+1)$ con números, por ejemplo $k = 4$
• Empezar solo con fórmulas de sumas, donde el término siguiente es fácil de ver

Para estudiantes de nivel:

• Demostrar la suma de impares y la suma de potencias de 2 sin plantilla
• Encontrar el error en tres demostraciones por inducción defectuosas
• Demostrar que $n^3 - n$ es divisible entre $3$

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar $2^n > n^2$ para $n \ge 5$ y explicar por qué el caso base es $5$
• Demostrar $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• Conocer la inducción fuerte y demostrar que todo entero $n \ge 2$ es producto de primos

Alineación con estándares

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
HSA-APR.C.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.APR.C.4)
Demostrar identidades polinómicas y usarlas para describir relaciones numéricas
HSA-SSE.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4)
Deducir la fórmula de la suma de una serie geométrica finita y usarla para resolver problemas

Recursos de la lección

visualVisualizador de sucesiones
Pon el primer término en 1 y la diferencia en 2: la línea de la suma muestra que los 8 primeros números impares suman 64, que es 8 al cuadrado
activityDemostración con fichas de dominó
Los estudiantes colocan una fila de fichas y prueban qué pasa sin el primer empujón o con un hueco en la fila
worksheetCompleta la demostración por inducción
Cinco demostraciones por inducción a las que les faltan casos base, hipótesis y pasos algebraicos

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La inducción matemática es un método de demostración para afirmaciones sobre todo entero positivo

n

(o todo entero a partir de un valor inicial). Llamamos

P(n)

a la afirmación. En lugar de comprobar infinitos casos uno por uno, demuestras solo dos cosas:

1.Caso base: $P(1)$ es verdadera.
2.Paso inductivo: para todo $k \ge 1$ , si $P(k)$ es verdadera, entonces $P(k+1)$ también lo es. La suposición " $P(k)$ es verdadera" se llama hipótesis de inducción.

Juntos dan la conclusión:

P(n)

es verdadera para todo

n \ge 1

P(1) \ \text{y} \ \big(P(k) \Rightarrow P(k+1)\big) \ \Longrightarrow \ P(n) \text{ para todo } n \ge 1

Imagina una fila infinita de fichas de dominó. El caso base derriba la primera ficha. El paso inductivo garantiza que cada ficha que cae derriba a la siguiente. Así caen todas las fichas:

P(1)

, luego

P(2)

, luego

P(3)

, y así sin fin.

Ejemplos resueltos

Demuestra que $1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ para todo $n \ge 1$ .

Caso base: comprueba $n = 1$

Lado izquierdo: $1$ . Lado derecho: $\dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$ → $P(1)$ es verdadera

Hipótesis de inducción: supón $P(k)$ para algún $k \ge 1$

Supongamos que $1 + 2 + \dots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$ → Podemos usar esta igualdad

Paso inductivo: suma el siguiente término $k+1$ a ambos lados

$1 + \dots + k + (k+1) = \dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \dfrac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}$ → $= \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$

Compara con $P(k+1)$

$P(k+1)$ dice que la suma es igual a $\dfrac{(k+1)\big((k+1)+1\big)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ → $P(k+1)$ es verdadera

Respuesta: Por inducción, $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ para todo $n \ge 1$ . Por ejemplo, $1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{100 \cdot 101}{2} = 5050$ .

Errores comunes

Saltarse el caso base

Por qué está mal: El paso inductivo solo no demuestra nada: solo dice que SI cae una ficha, también cae la siguiente. Ejemplo: la afirmación falsa $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} + 1$ tiene un paso inductivo que funciona, pero para $n = 1$ el lado izquierdo es $1$ y el derecho es $2$ .

Correcto: Comprueba siempre el primer caso de forma explícita. Sin una primera ficha que caiga, no cae nada.

Suponer lo que quieres demostrar

Por qué está mal: Escribir "supongamos que $P(n)$ es verdadera para todo $n$ " o "supongamos $P(k+1)$ " es un razonamiento circular: supone la conclusión.

Correcto: Supón $P(k)$ para UN valor $k$ (la hipótesis de inducción) y demuestra $P(k+1)$ a partir de ella.

Álgebra incorrecta en el paso inductivo

Por qué está mal: Un despiste frecuente es sumar el término siguiente equivocado, por ejemplo $2k - 1$ en lugar de $2k + 1$ en la suma de impares, u olvidar sumar el nuevo término en un lado.

Correcto: Escribe primero $P(k+1)$ completa (cambia cada $n$ por $k+1$ ) y después trabaja hasta llegar exactamente a esa expresión.

Creer que comprobar muchos casos es una demostración

Por qué está mal: La expresión $n^2 + n + 41$ da números primos para $n = 0, 1, \dots, 39$ , pero para $n = 40$ da $1681 = 41^2$ , que no es primo.

Correcto: Los ejemplos ayudan a adivinar una fórmula. Solo el caso base junto con el paso inductivo la demuestran para todo $n$ .

Por qué es importante

La inducción es la herramienta principal para demostrar resultados sobre infinitos casos:

Fórmulas de sumas: puedes demostrar que $1 + 2 + \dots + 100 = 5050$ sale de una fórmula general y no de la casualidad
Informática: los programadores demuestran que los bucles y las funciones recursivas dan el resultado correcto para cualquier tamaño de entrada
Patrones que parecen ciertos: un patrón que se cumple en 40 casos puede fallar en el caso 41; la inducción te dice cuándo un patrón se cumple de verdad para siempre
Acertijos y juegos: las Torres de Hanói, los problemas de embaldosado y muchos problemas de olimpiadas se resuelven por inducción
Matemáticas superiores: casi todas las áreas de las matemáticas usan la inducción en algún momento

En las lecciones anteriores aprendiste las demostraciones directas. La inducción añade una idea nueva y potente: demuestra un paso y deja que se repita para siempre.

Aplicaciones del mundo real

Verificar programas informáticos

Los programadores usan la inducción para demostrar que un bucle da la respuesta correcta tras cualquier número de vueltas: si es correcta tras $k$ vueltas, es correcta tras $k+1$ vueltas.

Ejemplo:

Un bucle suma $1, 2, 3, \dots$ a un total acumulado. La inducción demuestra que tras $n$ vueltas el total es $\dfrac{n(n+1)}{2}$ .

1Inténtalo tú mismo

Un programa suma en un bucle los números del $1$ al $100$ .

¿Qué total muestra el programa?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $\dfrac{n(n+1)}{2}$ con $n = 100$ :

Las Torres de Hanói

En este rompecabezas mueves una pila de discos a otra varilla, un disco cada vez, sin poner nunca un disco grande sobre uno más pequeño. La inducción demuestra que $n$ discos necesitan $2^n - 1$ movimientos.

Ejemplo:

Para mover $k+1$ discos, apartas los $k$ discos de arriba, mueves el disco más grande y vuelves a poner los $k$ discos encima: $2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1$ movimientos.

2Inténtalo tú mismo

Una torre tiene $6$ discos. Mover $5$ discos cuesta $31$ movimientos.

¿Cuántos movimientos necesitan $6$ discos?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa movimientos para 6 discos $= 2 \cdot$ (movimientos para 5 discos) $+ 1$ :

Granos de arroz en el tablero de ajedrez

Una antigua leyenda: pon $1$ grano de arroz en la primera casilla, $2$ en la segunda, $4$ en la tercera, duplicando cada vez. La suma de potencias de 2 te da el total.

Ejemplo:

En las $3$ primeras casillas hay $1 + 2 + 4 = 7 = 2^3 - 1$ granos.

3Inténtalo tú mismo

Llenas las $10$ primeras casillas. La casilla $10$ tiene $2^9$ granos.

¿Cuántos granos hay en total en las $10$ primeras casillas?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Usa $1 + 2 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ con $n = 9$ :

Puntos clave

1La inducción matemática demuestra una afirmación $P(n)$ para todo entero $n$ a partir de un valor inicial
2Caso base: demuestra que el primer caso, normalmente $P(1)$ , es verdadero
3Hipótesis de inducción: supón que $P(k)$ es verdadera para un $k$ cualquiera
4Paso inductivo: usa la hipótesis para demostrar $P(k+1)$
5Conclusión: como en una fila de fichas de dominó, la afirmación es verdadera para todo $n$
6Hacen falta las dos partes: un paso inductivo sin caso base, o unos cuantos casos comprobados sin paso, no demuestran nada

Preguntas frecuentes

¿Por qué la inducción demuestra de verdad la afirmación para TODO n?

El caso base da

P(1)

. El paso con

k = 1

P(2)

, con

k = 2

P(3)

, y así sucesivamente. Cada entero positivo se alcanza tras un número finito de pasos, así que ningún

n

se queda fuera.

¿El caso base tiene que ser siempre n = 1?

No. Empieza en el primer valor a partir del cual debe cumplirse la afirmación. La suma de potencias de 2 empieza en

n = 0

. La afirmación

2^n > n^2

es falsa para

n = 2, 3, 4

(por ejemplo,

2^4 = 16 = 4^2

) y se cumple para todo

n \ge 5

, así que esa demostración usa el caso base

n = 5

¿La inducción matemática es lo mismo que el razonamiento inductivo de las ciencias?

No. El razonamiento inductivo adivina una regla general a partir de ejemplos y puede equivocarse. La inducción matemática es una demostración deductiva: una vez demostrados el caso base y el paso inductivo, el resultado es seguro.

¿Qué es la inducción fuerte?

En la inducción fuerte la hipótesis supone que

P(1), P(2), \dots, P(k)

son todas verdaderas, no solo

P(k)

. Es útil cuando

P(k+1)

depende de varios casos anteriores, por ejemplo en demostraciones sobre la descomposición en factores primos.

Glosario

Inducción matemática: Un método de demostración que prueba $P(n)$ para todo entero $n$ a partir de un valor inicial, con un caso base y un paso inductivo
Caso base: El primer caso de la afirmación, normalmente $P(1)$ , que se comprueba directamente
Hipótesis de inducción: La suposición de que $P(k)$ es verdadera para un entero $k$ cualquiera
Paso inductivo: La demostración de que $P(k)$ implica $P(k+1)$ para todo $k$ a partir del valor inicial
P(n): La afirmación que queremos demostrar, escrita en función del entero $n$
Conclusión: La frase final de una demostración por inducción: $P(n)$ es verdadera para todo $n$ a partir del valor inicial

Tarjeta de fórmulas

Principio de inducción

P(1) \text{ y } \big(P(k) \Rightarrow P(k+1)\big) \Rightarrow P(n) \text{ para todo } n \ge 1

El caso base más el paso inductivo demuestran la afirmación para todo $n$

Suma de los n primeros enteros

1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}

Para $n = 5$: $15$

Suma de los n primeros impares

1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2

Para $n = 5$: $25$

Suma de potencias de 2

1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1

Para $n = 6$: $127$

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Por qué es importante

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Preguntas frecuentes

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Tarjeta de fórmulas

Principio de inducción

Suma de los n primeros enteros

Suma de los n primeros impares

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