Inducción matemática

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué dos partes debe tener toda demostración por inducción matemática?
1. a)Solo comprobar los casos de $n = 1$ a $n = 5$
2. b)Un contraejemplo y una contradicción
3. c)Un caso base y un paso inductivo
4. d)Una tabla con afirmaciones y justificaciones
Respuesta: Un caso base y un paso inductivo
Toda demostración por inducción necesita un caso base (cae la primera ficha) y un paso inductivo (cada ficha que cae derriba a la siguiente). Comprobar unos cuantos casos no es una demostración, y los contraejemplos o las tablas pertenecen a otros métodos.
2.
La fórmula $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ se demostró por inducción. Compruébala para $n = 5$ : ¿cuánto es $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ ?
Respuesta: 15
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ y $\dfrac{5 \cdot 6}{2} = 15$ . La fórmula da el mismo valor.
3.
Comprueba $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ para $n = 6$ : ¿cuánto es $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ ?
Respuesta: 36
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6^2$ , justo como predice la fórmula.
4.
En la imagen del dominó, ¿qué garantiza el paso inductivo?
1. a)Todas las fichas tienen el mismo tamaño
2. b)Cae la primera ficha
3. c)Cada ficha que cae derriba a la siguiente
4. d)Cae la última ficha
Respuesta: Cada ficha que cae derriba a la siguiente
El paso inductivo demuestra $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ : siempre que cae una ficha, cae también la siguiente. Que caiga la primera ficha es el caso base. No hay última ficha, la fila no tiene fin.
5.
Antes de demostrar $2^n > n$ , comprueba las primeras fichas: calcula $2^n$ para $n = 1, 2, 3$ .
Respuesta: 8
1. ¿Cuánto es $2^1$ ? (caso base, compara con $n = 1$ ) 2
2. ¿Cuánto es $2^2$ ? (compara con $n = 2$ ) 4
3. ¿Cuánto es $2^3$ ? (compara con $n = 3$ ) 8
6.
Comprueba la fórmula $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ para $n = 3$ .
Respuesta: 15
1. Calcula el lado izquierdo $1 + 2 + 4 + 8$ . 15
2. Calcula $2^{3+1} = 2^4$ . 16
3. Calcula el lado derecho $2^4 - 1$ . 15
7.
Sea $P(n)$ la afirmación $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ . En el paso inductivo con $k = 9$ , el lado derecho de $P(k+1)$ es $\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ . ¿Cuánto vale?
Respuesta: 55
$\dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55$ . Comprobación: la hipótesis da $1 + \dots + 9 = 45$ , y al sumar el siguiente término $10$ se obtiene $55$ .
8.
Usa la fórmula $1 + 2 + 4 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ , demostrada por inducción, para calcular $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64$ .
Respuesta: 127
El último término es $2^6$ , así que $n = 6$ y la suma es $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$ .
9.
En el paso inductivo de $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ , ¿qué término se suma a $1 + 3 + \dots + (2k-1)$ para obtener el lado izquierdo de $P(k+1)$ ?
1. a) $2k + 1$
2. b) $k + 1$
3. c) $2k$
4. d) $2k - 1$
Respuesta: $2k + 1$
El último término de $P(k+1)$ es $2(k+1) - 1 = 2k + 1$ . El término $2k - 1$ ya está en la suma, y $k + 1$ y $2k$ no son los impares de este patrón.
10.
Sigue el paso inductivo de $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ con números, usando $k = 4$ .
Respuesta: 15
1. Por la hipótesis, $1 + 2 + 3 + 4 = \dfrac{4 \cdot 5}{2}$ . ¿Cuánto es? 10
2. ¿Cuál es el siguiente término $k + 1$ ? 5
3. Súmalo: ¿cuál es la nueva suma $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ ? 15
4. ¿Qué da la fórmula para $k + 1 = 5$ , es decir, $\dfrac{5 \cdot 6}{2}$ ? 15
11.
Sigue el paso inductivo de $1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$ con números, usando $k = 6$ .
Respuesta: 49
1. Por la hipótesis, la suma de los $6$ primeros impares es $6^2$ . ¿Cuánto es? 36
2. ¿Cuál es el siguiente impar $2k + 1$ ? 13
3. Súmalo: ¿cuál es la nueva suma? 49
4. ¿Cuánto es $(k+1)^2 = 7^2$ ? 49
12.
¿Qué frase es la hipótesis de inducción correcta para demostrar $2^n > n$ para todo $n \ge 1$ ?
1. a)Supongamos que $2^n > n$ para todo $n \ge 1$
2. b)Supongamos que $2^k > k$ para algún entero $k \ge 1$
3. c)Supongamos que $2^{k+1} > k + 1$
4. d)Demostrar que $2^1 > 1$
Respuesta: Supongamos que $2^k > k$ para algún entero $k \ge 1$
La hipótesis de inducción supone la afirmación para un $k$ cualquiera. Suponerla para todo $n$ o para $k + 1$ es suponer lo que queremos demostrar, y $2^1 > 1$ es el caso base.
13.
El paso inductivo de " $n^3 - n$ es divisible entre $3$ " usa $(k+1)^3 - (k+1) = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k$ . Compruébalo con $k = 4$ .
Respuesta: 60
1. ¿Cuánto es $k^3 - k$ para $k = 4$ ? 60
2. ¿Cuánto es $(k+1)^3 - (k+1)$ para $k = 4$ ? 120
3. ¿Cuánto es la diferencia $120 - 60$ ? 60
4. ¿Cuánto es $3k^2 + 3k$ para $k = 4$ ? 60
14.
Por inducción también se puede demostrar que $n^3 - n$ es divisible entre $6$ . Para $n = 6$ , calcula $\dfrac{6^3 - 6}{6}$ .
Respuesta: 35
$6^3 - 6 = 216 - 6 = 210$ y $210 \div 6 = 35$ , un número entero, como predice la afirmación.
15.
Un estudiante "demuestra" que $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2} + 1$ para todo $n \ge 1$ . El álgebra del paso inductivo es correcta. ¿Qué está mal?
1. a)La hipótesis debe ser $P(k+1)$ , no $P(k)$
2. b)Nada, la afirmación es verdadera
3. c)Falla el caso base: para $n = 1$ el lado izquierdo es $1$ y el derecho es $2$
4. d)La inducción no sirve para sumas
Respuesta: Falla el caso base: para $n = 1$ el lado izquierdo es $1$ y el derecho es $2$
Para $n = 1$ : el lado izquierdo es $1$ y el derecho $\dfrac{1 \cdot 2}{2} + 1 = 2$ . Falla el caso base, así que la cadena nunca empieza. De hecho, la afirmación es falsa para todo $n$ , porque la suma real es $\dfrac{n(n+1)}{2}$ .
16.
Sigue el paso inductivo de $1 + 2 + \dots + 2^n = 2^{n+1} - 1$ con números, usando $k = 5$ .
Respuesta: 127
1. Por la hipótesis, $1 + 2 + \dots + 2^5 = 2^6 - 1$ . ¿Cuánto es? 63
2. ¿Cuál es el siguiente término $2^{k+1} = 2^6$ ? 64
3. Súmalo: ¿cuál es la nueva suma? 127
4. ¿Cuánto es $2^{k+2} - 1 = 2^7 - 1$ ? 127
17.
El paso inductivo de $2^n > n$ usa la cadena $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k \ge k + 1$ . Síguela con $k = 5$ .
Respuesta: 6
1. ¿Cuánto es $2^k = 2^5$ ? 32
2. ¿Cuánto es $2^{k+1} = 2 \cdot 2^5$ ? 64
3. ¿Cuánto es $2k$ ? 10
4. ¿Cuánto es $k + 1$ ? 6
18.
La fórmula $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ se demuestra por inducción. Trabaja su caso base y un paso inductivo con números.
Respuesta: 40
1. Caso base: ¿cuánto vale el lado derecho para $n = 1$ , es decir, $\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3}$ ? (El lado izquierdo es $1 \cdot 2 = 2$ .) 2
2. Hipótesis para $k = 3$ : ¿cuánto es $\dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{3}$ ? 20
3. ¿Cuál es el siguiente término $(k+1)(k+2)$ para $k = 3$ ? 20
4. Súmalo al valor de la hipótesis. ¿Cuál es la nueva suma? (Compara con $\dfrac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3}$ .) 40