Volumen de conos

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué fórmula da el volumen de un cono de radio $r$ y altura $h$ ?
1. a) $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
2. b) $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
3. c) $V = 2\pi r h$
4. d) $V = \pi r^2 h$
Respuesta: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
La fórmula del cono es $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ . $\pi r^2 h$ es el cilindro, $\frac{4}{3}\pi r^3$ la esfera y $2\pi r h$ el área lateral de un cilindro, no un volumen.
2.
Un cilindro tiene un volumen de 90 cm³. Un cono tiene la misma base y la misma altura. ¿Cuál es el volumen del cono en cm³?
Respuesta: 30
El cono contiene un tercio del cilindro: $90 \div 3 = 30$ cm³.
3.
Un cono tiene radio 3 cm y altura 5 cm. Su volumen es $\square\,\pi$ cm³. ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 15
$V = \frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 5 = \frac{45}{3}\pi = 15\pi$ cm³.
4.
Un cono de tráfico tiene una base de 10 cm de diámetro. ¿Qué valor pones en lugar de $r$ en la fórmula del volumen?
1. a)20 cm
2. b)2,5 cm
3. c)5 cm
4. d)10 cm
Respuesta: 5 cm
$r = 10 \div 2 = 5$ cm. Con 10 cm, $r^2$ sería 4 veces demasiado grande.
5.
Calcula el volumen de un cono de radio 2 cm y altura 6 cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ y da el resultado en cm³ (no hace falta redondear).
Respuesta: 25.12
1. ¿Cuánto es $r^2$ ? 4
2. ¿Cuánto es $r^2 \times h$ ? 24
3. Divide entre 3. ¿Qué obtienes? 8
4. Multiplica por 3,14. ¿Cuál es el volumen en cm³? 25.12
6.
Un gorro de fiesta es un cono de radio 3 cm y altura 4 cm. Su volumen es $\square\,\pi$ cm³. Halla el número de la casilla.
Respuesta: 12
1. ¿Cuánto es $r^2$ ? 9
2. ¿Cuánto es $r^2 \times h$ ? 36
3. Divide entre 3. ¿Qué número va delante de $\pi$ ? 12
7.
Un cono tiene un radio de 6 cm y una generatriz de 10 cm. ¿Cuál es su altura perpendicular?
1. a)8 cm
2. b)4 cm
3. c)10 cm
4. d)16 cm
Respuesta: 8 cm
$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ , así que $h = 8$ cm. La generatriz (10 cm) es la hipotenusa, por eso la altura tiene que ser más corta.
8.
Un montón de grava es un cono de 4 m de diámetro y 3 m de altura. ¿Cuántos m³ de grava hay en el montón? Usa $\pi \approx 3{,}14$ y redondea a las centésimas.
Respuesta: 12.56
$r = 2$ m. $V = \frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 2^2 \times 3 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ m³.
9.
Un cucurucho tiene un diámetro de 6 cm y una altura de 11 cm. Calcula su volumen con $\pi \approx 3{,}14$ , redondeado a las décimas de cm³.
Respuesta: 103.6
1. ¿Cuál es el radio en cm? 3
2. ¿Cuánto es $r^2 \times h$ ? 99
3. Divide entre 3. ¿Qué obtienes? 33
4. Multiplica por 3,14 (no redondees todavía). 103.62
5. Redondea a las décimas. 103.6
10.
Duplicas la altura de un cono y mantienes el mismo radio. ¿Qué le pasa a su volumen?
1. a)Se triplica
2. b)No cambia
3. c)Se duplica
4. d)Se hace 4 veces mayor
Respuesta: Se duplica
El volumen es proporcional a $h$ , así que duplicar $h$ duplica $V$ . Ejemplo: $r = 3$ , $h = 4$ da $12\pi$ ; $h = 8$ da $24\pi$ .
11.
Un cono tiene un volumen de $12\pi$ cm³ y un radio de 3 cm. ¿Cuál es su altura en cm?
Respuesta: 4
$3\pi h = 12\pi$ , así que $h = 12 \div 3 = 4$ cm. Comprobación: $\frac{1}{3}\pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .
12.
Un embudo de cocina es un cono de radio 5 cm y altura 9 cm. ¿Cuántos cm³ contiene cuando está lleno? Usa $\pi \approx 3{,}14$ (no hace falta redondear).
Respuesta: 235.5
1. ¿Cuánto es $r^2$ ? 25
2. ¿Cuánto es $r^2 \times h$ ? 225
3. Divide entre 3. ¿Qué obtienes? 75
4. Multiplica por 3,14. ¿Cuántos cm³? 235.5
13.
Un cilindro y un cono tienen los dos radio 4 cm y altura 6 cm. El cilindro contiene $\square\,\pi$ cm³ más que el cono. Halla el número de la casilla.
Respuesta: 64
1. El cilindro tiene $\square\,\pi$ cm³. ¿Qué número? 96
2. El cono tiene $\square\,\pi$ cm³. ¿Qué número? 32
3. Resta. ¿Qué número va delante de $\pi$ ? 64
14.
Duplicas el radio de un cono y mantienes la misma altura. ¿Cómo es el nuevo volumen comparado con el anterior?
1. a)8 veces mayor
2. b)4 veces mayor
3. c)2 veces mayor
4. d)3 veces mayor
Respuesta: 4 veces mayor
$(2r)^2 = 4r^2$ , así que el volumen se hace 4 veces mayor. Ejemplo: $r = 3$ , $h = 4$ da $12\pi$ ; $r = 6$ , $h = 4$ da $48\pi$ .
15.
Un cono tiene radio 5 cm y generatriz 13 cm. Su volumen es $\square\,\pi$ cm³. ¿Qué número va en la casilla?
Respuesta: 100
$h^2 = 169 - 25 = 144$ , así que $h = 12$ . $V = \frac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm³.
16.
Un cono tiene un volumen de 301,44 cm³ y una altura de 8 cm. Halla su radio en cm. Usa $\pi \approx 3{,}14$ .
Respuesta: 6
1. ¿Cuánto es $3 \times V$ ? 904.32
2. ¿Cuánto es $\pi \times h$ con $\pi \approx 3{,}14$ ? 25.12
3. Divide para obtener $r^2$ . 36
4. ¿Cuánto es $r$ ? 6
17.
Una tienda de campaña con forma de cono tiene un radio de 9 dm y una generatriz de 15 dm. Calcula su volumen en dm³. Usa $\pi \approx 3{,}14$ (no hace falta redondear).
Respuesta: 1017.36
1. ¿Cuánto es $h^2 = l^2 - r^2$ ? 144
2. ¿Cuál es la altura $h$ en dm? 12
3. ¿Cuánto es $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 324
4. Multiplica por 3,14. ¿Cuál es el volumen en dm³? 1017.36
18.
Unos vasos de papel con forma de cono tienen radio 3 cm y altura 10 cm. ¿Cuántos vasos llenos necesitas para llenar por completo una jarra de 1 litro (1000 cm³)? Usa $\pi \approx 3{,}14$ .
Respuesta: 11
1. ¿Cuánto es $\frac{1}{3} \times r^2 \times h$ ? 30
2. ¿Cuál es el volumen de un vaso en cm³? 94.2
3. $1000 \div 94{,}2 \approx 10{,}6$ . ¿Cuántos vasos llenos necesitas? 11