Divisibilidad por 3 y 9

Escribe el procedimiento de cada ejercicio.

1.
¿Qué número es divisible por $3$ ?
1. a)535
2. b)770
3. c)421
4. d)612
Respuesta: 612
Las sumas de las cifras son $7$ , $13$ , $9$ y $14$ . Solo $6 + 1 + 2 = 9$ es múltiplo de $3$ , así que $612$ es divisible por $3$ : $612 \div 3 = 204$ .
2.
¿Qué número es divisible por $9$ ?
1. a)6303
2. b)8120
3. c)2346
4. d)5013
Respuesta: 5013
Las sumas de las cifras son $15$ , $11$ , $12$ y $9$ . Solo $5 + 0 + 1 + 3 = 9$ es múltiplo de $9$ , así que $5013 \div 9 = 557$ . Ojo: $2346$ y $6303$ son divisibles por $3$ , pero no por $9$ .
3.
¿Qué afirmación es verdadera?
1. a)Todo número divisible por 9 también es divisible por 3
2. b)Todo número divisible por 3 también es divisible por 9
3. c)Todo número que termina en 3 es divisible por 3
4. d)Un número es divisible por 9 si su última cifra es 9
Respuesta: Todo número divisible por 9 también es divisible por 3
Como $9 = 3 \times 3$ , todo múltiplo de $9$ también es múltiplo de $3$ . Las demás son falsas: $12$ es divisible por $3$ pero no por $9$ , $13$ termina en $3$ pero no es divisible por $3$ , y $19$ termina en $9$ pero no es divisible por $9$ .
4.
¿Qué resto queda al dividir $5237$ entre $9$ ?
1. a)0
2. b)7
3. c)8
4. d)2
Respuesta: 8
$5 + 2 + 3 + 7 = 17$ y $1 + 7 = 8$ , así que el resto es $8$ . Comprobación: $9 \times 581 = 5229$ y $5237 - 5229 = 8$ .
5.
Leo escribió $3456 + 2789 = 6235$ . ¿Qué te dice la prueba del nueve?
1. a)El resultado está mal: los dos lados dan resto 0
2. b)El resultado pasa la prueba, así que es correcto
3. c)El resultado está mal: a la izquierda sale resto 8, pero 6235 da 7
4. d)La prueba del nueve no sirve para sumas
Respuesta: El resultado está mal: a la izquierda sale resto 8, pero 6235 da 7
$3456 \rightarrow 18 \rightarrow 9$ (resto $0$ ) y $2789 \rightarrow 26 \rightarrow 8$ , así que la suma debería dejar resto $0 + 8 = 8$ . Pero $6235 \rightarrow 16 \rightarrow 7$ . La prueba no coincide, así que el resultado está mal (la suma correcta es $6245$ ).
6.
¿Cuál es la suma de las cifras de $8457$ ?
Respuesta: 24
$8 + 4 + 5 + 7 = 24$ . Como $24$ es múltiplo de $3$ pero no de $9$ , $8457$ es divisible por $3$ pero no por $9$ .
7.
Suma las cifras de $98.765$ una y otra vez hasta que quede una sola cifra. ¿Qué cifra obtienes?
Respuesta: 8
$9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35$ y $3 + 5 = 8$ . Así que $98.765$ no es divisible por $3$ ni por $9$ ; al dividir entre $9$ deja resto $8$ .
8.
El número $6\square51$ es divisible por $9$ . ¿Qué cifra va en la casilla?
Respuesta: 6
$6 + 5 + 1 = 12$ . El siguiente múltiplo de $9$ es $18$ , así que la casilla es $18 - 12 = 6$ . Comprobación: $6651 = 9 \times 739$ .
9.
¿Qué resto deja $6014$ al dividirlo entre $3$ ?
Respuesta: 2
$6 + 0 + 1 + 4 = 11$ y $11 = 3 \times 3 + 2$ , así que el resto es $2$ . Comprobación: $6014 = 3 \times 2004 + 2$ .
10.
¿Cuántas cifras distintas (0 a 9) pueden ir en la casilla para que $3\square5$ sea divisible por $3$ ?
Respuesta: 3
$3 + 5 = 8$ , y con una cifra la suma llega como mucho a $17$ . Los múltiplos de $3$ alcanzables son $9$ , $12$ y $15$ , así que la casilla puede ser $1$ , $4$ o $7$ ( $315$ , $345$ , $375$ ): $3$ cifras.
11.
Usa la suma de las cifras para demostrar que $741$ es divisible por $3$ , y luego calcula $741 \div 3$ .
Respuesta: 247
1. ¿Cuál es la suma de las cifras de $741$ ? 12
2. ¿Cuánto es $12 \div 3$ ? 4
3. Ahora calcula $741 \div 3$ . 247
12.
Usa la suma de las cifras para demostrar que $2358$ es divisible por $9$ , y luego calcula $2358 \div 9$ .
Respuesta: 262
1. ¿Cuál es la suma de las cifras de $2358$ ? 18
2. ¿Cuánto es $18 \div 9$ ? 2
3. Ahora calcula $2358 \div 9$ . 262
13.
Usa la suma de las cifras para hallar el resto al dividir $1234$ entre $3$ .
Respuesta: 1
1. ¿Cuál es la suma de las cifras de $1234$ ? 10
2. ¿Qué resto deja $10 \div 3$ ? 1
3. Comprobación: ¿cuánto es $1233 \div 3$ ? 411
14.
Usa sumas de las cifras repetidas para hallar el resto al dividir $879.999$ entre $9$ .
Respuesta: 6
1. ¿Cuál es la suma de las cifras de $879.999$ ? 51
2. Suma las cifras de $51$ . 6
3. ¿Qué resto queda al dividir entre $9$ ? 6
4. ¿Es $879.999$ divisible por $3$ ? sí
15.
El número $4\square8$ es divisible por $9$ . Encuentra la cifra que falta y luego haz la división.
Respuesta: 6
1. Suma las cifras conocidas $4 + 8$ . 12
2. ¿Qué múltiplo de $9$ alcanzas sumando una cifra? 18
3. ¿Qué cifra va en la casilla? 6
4. Ahora calcula $468 \div 9$ . 52
16.
Descompón $372$ como $3 \times 99 + 7 \times 9 + (3 + 7 + 2)$ y úsalo para hallar el resto al dividir $372$ entre $9$ .
Respuesta: 3
1. ¿Cuánto es $3 \times 99$ ? 297
2. ¿Cuánto es $7 \times 9$ ? 63
3. ¿Cuál es la suma de las cifras $3 + 7 + 2$ ? 12
4. $297$ y $63$ son múltiplos de $9$ . ¿Qué resto deja $372$ al dividir entre $9$ ? 3
17.
Comprueba $4782 + 3569 = 8351$ con la prueba del nueve.
Respuesta: 8
1. Reduce $4782$ a una cifra. 3
2. Reduce $3569$ a una cifra. 5
3. Suma los dos resultados. 8
4. Reduce el resultado $8351$ a una cifra. 8
18.
Fíjate en $25\square8$ . ¿Cuántas cifras lo hacen divisible por $3$ ? ¿Qué cifra lo hace divisible por $9$ ?
Respuesta: 3
1. Suma las cifras conocidas $2 + 5 + 8$ . 15
2. ¿Cuántas cifras (0 a 9) hacen el número divisible por $3$ ? 4
3. ¿Qué cifra lo hace divisible por $9$ ? 3
4. Calcula $2538 \div 9$ . 282