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Guía del profesor: Divisibilidad por 3 y 9

Aprende la regla de la suma de las cifras: suma las cifras de un número para saber al momento si es divisible por 3 o por 9, encuentra cifras que faltan y comprueba tus sumas.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Divisibilidad. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje
  • Calcular la suma de las cifras y la suma de las cifras repetida de un número natural
  • Usar la suma de las cifras para decidir si un número es divisible por 3 y por 9
  • Explicar por qué todo múltiplo de 9 es múltiplo de 3, pero no al revés
  • Explicar la regla con el valor posicional: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1
  • Encontrar una cifra que falta para que un número sea divisible por 3 o 9, y comprobar una suma con la prueba del nueve
Requisitos previos
  • • Reglas de divisibilidad: qué significa divisible por y qué es un resto
  • • Divisibilidad por 2, 5 y 10: reglas que miran la última cifra
  • • Las tablas del 3 y del 9
  • • Valor posicional: unidades, decenas, centenas, millares
Iniciadores de discusión
  • 1. ¿Por qué la última cifra nos dice algo del 2, el 5 y el 10, pero no del 3 y el 9?
  • 2. Si cambias de orden las cifras de un número divisible por 9, ¿sigue siendo divisible por 9? ¿Por qué?
  • 3. ¿Encuentras un número divisible por 3 pero no por 9? ¿Y uno divisible por 9 pero no por 3?
  • 4. ¿Qué tiene de especial 10 = 9 + 1? ¿Funcionaría un truco parecido con el 11?
  • 5. La prueba del nueve dice que un resultado está bien. ¿Puede estar mal de todos modos?
Conceptos erróneos comunes

Un número que termina en 3, 6 o 9 es divisible por 3

Remediación: Muestra contraejemplos uno al lado del otro: 13, 16, 19 no son divisibles por 3, pero 12, 15, 21 sí. Después suma las cifras de cada uno para ver que la suma de las cifras es la que decide.

Divisible por 3 y divisible por 9 significan lo mismo

Remediación: Escribe los múltiplos de 3 hasta 36 y rodea los múltiplos de 9: uno de cada tres queda rodeado. Suma 3 o 6 da solo el 3, suma 9 da los dos.

La suma de las cifras es el resultado de la división

Remediación: Insiste en que la suma de las cifras solo responde sí o no (y da el resto). En 4527 la suma es 18, pero 4527 ÷ 9 es 503.

Si la prueba del nueve coincide, el resultado es seguro

Remediación: Pon 2345 + 1678 = 4032 (cifras cambiadas de orden). La prueba coincide, pero el resultado está mal. La prueba detecta muchos errores, no todos.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

  • • Empezar con números de 2 cifras y tener las tablas del 3 y del 9 sobre la mesa
  • • Usar tarjetas de cifras o fichas para sumar las cifras una a una
  • • Comprobar cada respuesta con la calculadora para que los alumnos confíen en la regla

Para estudiantes de nivel:

  • • Trabajar con números de 4 a 6 cifras y sumas de las cifras repetidas
  • • Resolver acertijos de cifra que falta para el 3 y para el 9
  • • Comprobar sumas con la prueba del nueve

Para estudiantes avanzados:

  • • Demostrar la regla para un número de 3 cifras abc usando 100a + 10b + c
  • • Encontrar todos los números de 3 cifras que empiezan por 1 y son divisibles por 9, y explicar el patrón
  • • Combinar reglas: ¿qué cifras hacen que 7_2 sea divisible por 6 (por 2 y por 3)?
Alineación con estándares
  • 4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)

    Encontrar todos los pares de factores de un número natural del 1 al 100 y decidir si un número es múltiplo de un número de una cifra

  • 4.NBT.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NBT.A.1)

    Reconocer que en un número de varias cifras, una cifra representa diez veces lo que representa en la posición de su derecha

  • 6.NS.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.4)

    Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de números naturales y usar la propiedad distributiva

Recursos de la lección
  • visualPracticar la divisibilidad

    Los alumnos responden sí o no para el 3 y el 9, y luego la herramienta muestra la suma de las cifras y la división real

  • visualPor qué funciona

    Un número largo descompuesto en múltiplos de 999, 99 y 9 más la suma de sus cifras

  • activityBarajar tarjetas de cifras

    Por parejas, los alumnos forman números de 3 y 4 cifras con tarjetas, predicen la divisibilidad por 3 y 9, luego barajan las tarjetas y ven que la respuesta no cambia

  • gameCarrera de la cifra que falta

    Los equipos compiten para encontrar todas las cifras que hacen que un número como 52_4 sea divisible por 3, y después la única cifra para el 9

  • worksheetComprueba las sumas

    Diez sumas, algunas con errores: los alumnos usan la prueba del nueve para encontrar las incorrectas

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

Para saber si un número es divisible por 3 o divisible por 9, la última cifra no sirve. En su lugar, sumas todas sus cifras. Ese total se llama suma de las cifras (también se dice suma de dígitos).

La regla del 3

Un número es divisible por 33 cuando la suma de sus cifras es divisible por 33.
516:5+1+6=12,12÷3=4✓(516÷3=172)516: \quad 5 + 1 + 6 = 12, \quad 12 \div 3 = 4 \quad \checkmark \quad (516 \div 3 = 172)

La regla del 9

Un número es divisible por 99 cuando la suma de sus cifras es divisible por 99.
4527:4+5+2+7=18,18÷9=2✓(4527÷9=503)4527: \quad 4 + 5 + 2 + 7 = 18, \quad 18 \div 9 = 2 \quad \checkmark \quad (4527 \div 9 = 503)

Números grandes: vuelve a sumar

Si la suma de las cifras todavía es grande, vuelve a sumar sus cifras hasta que quede una sola cifra:
987.654→39→12→3987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
La última cifra que obtienes lo dice todo: 33, 66 o 99 significa divisible por 33, y solo 99 significa divisible por 99.

El 9 es más exigente que el 3

Todo número divisible por 99 también es divisible por 33 (porque 9=3×39 = 3 \times 3). Al revés no es cierto: 516516 es divisible por 33, pero la suma de sus cifras 1212 no es divisible por 99, así que 516516 no es divisible por 99.

Ejemplos resueltos

¿Es 516516 divisible por 33? ¿Es divisible por 99?
1

Suma todas las cifras

5+1+6=125 + 1 + 6 = 12 → Suma de las cifras: 1212
2

Comprueba la suma con el 3

12÷3=412 \div 3 = 4, sin resto → 516516 es divisible por 33: 516÷3=172516 \div 3 = 172
3

Comprueba la suma con el 9

12÷9=112 \div 9 = 1 resto 33 → 516516 no es divisible por 99

Errores comunes

Mirar la última cifra, como con el 2, el 5 y el 10

Por qué está mal: La última cifra no dice nada sobre el 3 ni el 9. 2323 termina en 33 pero no es divisible por 33, mientras que 2727 termina en 77 y es divisible por 33 y por 99.

Correcto: Suma siempre todas las cifras: 2+7=92 + 7 = 9, así que 2727 es divisible por 33 y por 99.

Creer que todo número divisible por 3 también es divisible por 9

Por qué está mal: La regla del 99 es más exigente. Una suma de las cifras de 1212 o 1515 es múltiplo de 33 pero no de 99.

Correcto: 516516 (suma 1212) es divisible por 33 pero no por 99. Al revés siempre funciona: todo múltiplo de 99 es múltiplo de 33.

Pararse en la primera cifra que funciona en un acertijo de cifra que falta

Por qué está mal: Para el 33 suelen servir tres o cuatro cifras, porque los múltiplos de 33 están separados solo por 33.

Correcto: Para 52□452\square4 y el 33, prueba 1212, 1515 y 1818: la casilla puede ser 11, 44 o 77.

Creer que si la prueba del nueve coincide, el resultado es seguro

Por qué está mal: La prueba del nueve solo detecta algunos errores. Cambiar el orden de dos cifras no cambia la suma de las cifras, así que 40324032 pasa la misma prueba que 40234023.

Correcto: Si la prueba no coincide, seguro que el resultado está mal. Si coincide, probablemente está bien, pero no con seguridad.

Por qué es importante

La regla de la suma de las cifras es uno de los atajos más útiles del cálculo:
  • Repartir de forma justa: ¿se pueden repartir 378 pegatinas entre 9 amigos? 3+7+8=183 + 7 + 8 = 18, así que sí, sin dividir antes.
  • Simplificar fracciones: en 5187\frac{51}{87} las dos sumas de las cifras (66 y 1515) son divisibles por 33, así que puedes dividir ambos entre 33: 1729\frac{17}{29}.
  • Comprobar tus cuentas: la suma de las cifras conserva el resto de dividir entre 99, así que puedes comprobar una suma larga en pocos segundos (se llama prueba del nueve).
  • Acertijos numéricos: los acertijos con una cifra que falta y los códigos suelen esconder un número divisible por 33 o por 99.
Después de las reglas del 2, el 5 y el 10 (que miran la última cifra), esta es la primera regla que usa todas las cifras, y te prepara para las reglas del 6 y del 12.

Aplicaciones del mundo real

Formar equipos iguales

Entrenadores y profesores a menudo tienen que dividir un grupo en equipos iguales. La suma de las cifras les dice al momento si se puede.

Ejemplo:

¿Pueden salir 135135 corredores en 99 grupos iguales? 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9, así que sí: 135÷9=15135 \div 9 = 15 corredores por grupo.

1Inténtalo tú mismo

En la jornada deportiva de un colegio hay 378378 alumnos. Los profesores quieren formar 99 equipos del mismo tamaño.

¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Reparte los alumnos en 9 equipos:

Comprobar una factura

Antes de las calculadoras, los comerciantes y los contables comprobaban las sumas largas con sumas de las cifras. Todavía es una forma rápida de pillar un despiste en tus propias cuentas.

Ejemplo:

1236+2458=36941236 + 2458 = 3694: los restos son 33 y 11, que suman 44, y 36943694 también da 3+6+9+4=22→43 + 6 + 9 + 4 = 22 \rightarrow 4. La prueba sale bien.

2Inténtalo tú mismo

Un cajero suma dos albaranes: 1236+2458=36941236 + 2458 = 3694. Quieres comprobar el total con los restos de dividir entre 99.

¿Qué resto deja el total 36943694 al dividirlo entre 99?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Halla el resto de dividir 3694 entre 9:

Descifrar un código

Los libros de acertijos y las salas de escape adoran los códigos con una cifra que falta. Una pista de divisibilidad suele dar la respuesta en un paso.

Ejemplo:

Un código 7□27\square2 es divisible por 99: 7+2=97 + 2 = 9, así que la casilla debe ser 00 o 99 (702702 o 792792).

3Inténtalo tú mismo

El código de un candado de bici es 4□714\square71. Una nota dice: el código es divisible por 99.

¿Qué cifra falta?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Encuentra la cifra que lleva la suma de las cifras al siguiente múltiplo de 9:

Puntos clave

  • 1La suma de las cifras es el total de todas las cifras de un número: para 45274527 es 4+5+2+7=184 + 5 + 2 + 7 = 18
  • 2Un número es divisible por 33 cuando la suma de sus cifras es divisible por 33, y por 99 cuando la suma de sus cifras es divisible por 99
  • 3En números grandes, suma las cifras una y otra vez hasta que quede una: 33, 66, 99 significan divisible por 33, solo 99 significa divisible por 99
  • 4Todo múltiplo de 99 es múltiplo de 33, pero no todo múltiplo de 33 es múltiplo de 99
  • 5Funciona porque 10=9+110 = 9 + 1, 100=99+1100 = 99 + 1, 1000=999+11000 = 999 + 1: los nueves desaparecen y solo queda la suma de las cifras
  • 6Un número y la suma de sus cifras dejan el mismo resto al dividir entre 33 o 99, y eso permite encontrar cifras que faltan y comprobar sumas (prueba del nueve)

Preguntas frecuentes

¿Importa el orden de las cifras?

No. 45274527, 72547254 y 27452745 tienen todos la misma suma de las cifras, 1818, así que los tres son divisibles por 99. Cambiar las cifras de sitio nunca cambia la suma de las cifras.

¿Y la cifra 0?

Un 00 no añade nada a la suma de las cifras, así que puedes saltártelo. 30513051 y 351351 tienen la misma suma de las cifras 99, y los dos son divisibles por 99.

¿Por qué este truco no funciona con el 7?

Funciona con el 33 y el 99 porque 1010 es exactamente 11 más que un múltiplo de 99. Con el 77 no pasa (10=7+310 = 7 + 3), así que los valores posicionales no desaparecen. El 77 necesita otra prueba.

¿Cómo saco el resto a partir de la suma de las cifras?

Reduce el número a una sola cifra. Para el 99, esa cifra es el resto, salvo que 99 significa resto 00. Por ejemplo 7654→22→47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, y en efecto 7654=9×850+47654 = 9 \times 850 + 4.

Glosario

Suma de las cifras
El total que obtienes al sumar todas las cifras de un número, por ejemplo 372→3+7+2=12372 \rightarrow 3 + 7 + 2 = 12
Suma de las cifras repetida
Sumar las cifras una y otra vez hasta que solo quede una cifra, por ejemplo 987.654→39→12→3987.654 \rightarrow 39 \rightarrow 12 \rightarrow 3
Divisible por
Un número es divisible por 33 si al dividirlo entre 33 no queda resto, por ejemplo 372÷3=124372 \div 3 = 124
Regla de divisibilidad
Un atajo que dice si un número es divisible por otro sin hacer la división
Resto
Lo que sobra después de dividir, por ejemplo 23÷9=223 \div 9 = 2 resto 55
Prueba del nueve
Comprobar una operación sustituyendo cada número por su resto al dividir entre 99 (la suma repetida de sus cifras)

Tarjeta de fórmulas

Regla del 3

3∣n  ⟺  3∣suma de las cifras de n3 \mid n \iff 3 \mid \text{suma de las cifras de } n

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es divisible por 3

Regla del 9

9∣n  ⟺  9∣suma de las cifras de n9 \mid n \iff 9 \mid \text{suma de las cifras de } n

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es divisible por 9

Por qué funciona

4527=4×999+5×99+2×9+(4+5+2+7)4527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)

Las partes con 999, 99 y 9 son siempre múltiplos de 9, así que solo decide la suma de las cifras

Mismo resto

7654→22→4,7654=9×850+47654 \rightarrow 22 \rightarrow 4, \quad 7654 = 9 \times 850 + 4

Un número deja el mismo resto que la suma de sus cifras al dividir entre 9 (o entre 3)

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