Guía del profesor: Aritmética modular

Aprende la aritmética del reloj: restos, a mod n, congruencia módulo n y cómo usarlos para los días de la semana, los dígitos de control y la última cifra de potencias enormes.

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Ficha de ejercicios Soluciones

Cuestionario de clase

10 preguntas sobre Propiedades de los Números. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.

Para profesores

Objetivos de aprendizaje

Calcular $a \bmod n$ para números enteros positivos y negativos
Decidir si dos números son congruentes módulo $n$ usando los restos o su diferencia
Sumar, restar y multiplicar módulo $n$ reduciendo primero los números
Resolver problemas de relojes y calendarios con módulo 12, 24 y 7
Usar los ciclos de potencias y los dígitos de control (EAN-13, ISBN-10) como aplicaciones de la aritmética modular

Requisitos previos

• División con resto de números enteros
• Números pares e impares (lección 1 de este tema): par e impar son los restos 0 y 1 módulo 2
• Múltiplos, divisores y divisibilidad
• Potencias con exponente natural

Iniciadores de discusión

1. Un reloj marca las 9. ¿Qué marcará dentro de 100 horas, y cómo puedes saberlo sin contar hora a hora?
2. ¿Por qué los días de la semana se repiten cada 7 días, y qué tiene eso que ver con los restos?
3. ¿Es $-1$ congruente con $11$ módulo 12? ¿Qué significa eso en un reloj?
4. ¿Cómo puede notar un lector de códigos de barras que una cifra se ha leído mal?

Conceptos erróneos comunes

El resultado de $a \bmod n$ es el cociente de la división

Remediación: Escribir siempre la línea completa $a = q \times n + r$ y rodear $r$ . En la esfera, el cociente es el número de vueltas y el resto es el lugar donde se detiene la aguja.

El resto de un número negativo es negativo ( $-3 \bmod 12 = -3$ )

Remediación: Hacer que el alumnado gire la aguja hacia atrás: 3 horas antes de las 12 son las 9. Después mostrar la regla: sumar 12 hasta que el número esté entre 0 y 11.

Congruente significa igual, así que $38 \equiv 14 \pmod{12}$ tiene que ser falso

Remediación: Mostrar los dos números en la esfera de congruencias: caen en el mismo lugar. Congruente significa mismo resto, y la diferencia $24$ es múltiplo de 12.

Ideas de diferenciación

Para estudiantes con dificultades:

• Empezar solo con el reloj (módulo 12) y pocas horas antes de usar otros módulos
• Usar una esfera impresa y mover una ficha paso a paso antes de dividir
• Practicar la línea $a = q \times n + r$ con una tabla de multiplicar a mano

Para estudiantes de nivel:

• Resolver problemas de días de la semana para 100, 365 y 1000 días
• Reducir primero en sumas y productos y después comprobar con la calculadora y mod(a, n)
• Hallar el ciclo de las últimas cifras de las potencias de 2, 3, 7 y 9

Para estudiantes avanzados:

• Demostrar la regla de reducir primero en productos con $a = pn + r$ y $b = qn + s$
• Demostrar que el control del ISBN-10 detecta cualquier cifra equivocada, usando que 11 es primo
• Hallar todas las soluciones de $3x \equiv 1 \pmod{7}$ y explicar por qué $2x \equiv 1 \pmod{6}$ no tiene ninguna

Alineación con estándares

6.NS.B.2 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.B.2)
Dividir con soltura números de varias cifras con el algoritmo estándar
4.OA.B.4 (CCSS.MATH.CONTENT.4.OA.B.4)
Hallar todos los pares de divisores de un número natural y reconocer múltiplos
MP.7 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP7)
Buscar y aprovechar la estructura
MP.8 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP8)
Buscar y expresar regularidades en razonamientos repetidos

Recursos de la lección

visualReloj modular interactivo
El alumnado suma 100 horas o 100 días en una esfera, cuenta las vueltas y lee el resto
activityDetectives del calendario
Por parejas hallan el día de la semana de su cumpleaños el año que viene y el de una fecha dentro de 1000 días, y lo comprueban con un calendario real
worksheetLaboratorio de dígitos de control
El alumnado comprueba códigos de barras e ISBN reales de libros del aula y descubre cuál tiene una errata

Contenido de la lección

Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.

Definición

La aritmética modular es el cálculo con restos. Fijas un número entero

n \geq 2

, el módulo, y de cada número solo te quedas con su resto al dividir entre

n

a = q \times n + r, \qquad a \bmod n = r, \qquad 0 \leq r \leq n - 1

Por ejemplo,

17 \bmod 5 = 2

porque

17 = 3 \times 5 + 2

Dos números son congruentes módulo n cuando dejan el mismo resto. Es lo mismo que decir que

n

divide a su diferencia:

a \equiv b \pmod{n} \iff n \text{ divide a } a - b

Así,

38 \equiv 14 \pmod{12}

, porque

38 - 14 = 24 = 2 \times 12

(los dos dejan resto

2

Un reloj funciona exactamente así: después de 12 horas la aguja vuelve al punto de partida, así que las 15 y las 3 son el mismo lugar,

15 \equiv 3 \pmod{12}

. En sumas, restas y productos puedes cambiar primero cada número por su resto y reducir el resultado una vez más al final.

Ejemplos resueltos

Calcula

47 \bmod 6

Busca el mayor múltiplo de 6 que no pase de 47

6 \times 7 = 42

, mientras que

6 \times 8 = 48

ya es demasiado →

42

Escribe 47 como cociente por 6 más resto

47 = 7 \times 6 + 5

→ resto

5

Comprueba que el resto está entre 0 y 5

0 \leq 5 \leq 5

, así que es un resto válido →

47 \bmod 6 = 5

Respuesta: $47 \bmod 6 = 5$ , así que $47 \equiv 5 \pmod{6}$ . El cociente $7$ no forma parte de la respuesta.

Errores comunes

Escribir $-3 \bmod 12 = -3$ (o $3$ )

Por qué está mal: Un resto tiene que ser uno de los números $0, 1, \ldots, n - 1$ . Si retrocedes 3 horas desde las 12, no llegas a un número negativo ni tampoco al 3.

Correcto: Suma el módulo hasta que el número esté en el rango: $-3 + 12 = 9$ , así que $-3 \bmod 12 = 9$ .

Decir que las 9 más 4 horas son las 13 en un reloj de 12 horas

Por qué está mal: La suma $9 + 4 = 13$ es correcta, pero falta la última reducción. Cada resultado hay que reducirlo otra vez.

Correcto: $13 \bmod 12 = 1$ : el reloj marca la 1.

Dar el cociente en lugar del resto: $47 \bmod 6 = 7$

Por qué está mal: $47 \div 6 = 7$ y resto $5$ . La operación mod solo se queda con lo que sobra, no con cuántas veces cabe 6 en 47.

Correcto: $47 \bmod 6 = 5$ , porque $47 = 7 \times 6 + 5$ .

Reducir el exponente por el módulo: $2^9 \bmod 7$ se convierte en $2^2 = 4$ porque $9 \bmod 7 = 2$

Por qué está mal: Puedes reducir la base módulo $n$ , pero no el exponente. El exponente sigue la longitud del ciclo de potencias, que aquí es 3 y no 7.

Correcto: Las potencias de 2 módulo 7 son $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$ (ciclo de longitud 3). $9 \bmod 3 = 0$ , así que $2^9 \equiv 1 \pmod{7}$ . Comprobación: $512 = 73 \times 7 + 1$ .

Por qué es importante

La aritmética modular es la matemática de todo lo que da vueltas:

El tiempo: los relojes cuentan módulo 12 o 24, los días de la semana módulo 7. ¿Qué hora será dentro de 100 horas? ¿Qué día será dentro de 100 días?
Los dígitos de control: la última cifra de un código de barras (EAN-13) se elige módulo 10, la de un ISBN-10 módulo 11, y el IBAN de una cuenta bancaria se comprueba módulo 97. Una sola cifra mal escrita y la comprobación falla.
Los números enormes: puedes hallar de cabeza la última cifra de $3^{100}$ (un número de 48 cifras), porque las últimas cifras son restos módulo 10 y se repiten en un ciclo.
La informática: las tablas hash, los generadores de números aleatorios y el cifrado RSA de la banca en línea calculan todos módulo $n$ .

Ya conoces un caso: par e impar es simplemente el cálculo módulo 2 (resto 0 o 1).

Aplicaciones del mundo real

Calendarios: ¿qué día será?

Una semana tiene 7 días, así que los días de la semana se repiten módulo 7. Las aplicaciones de calendario, los horarios y los acertijos de cumpleaños lo usan constantemente.

Ejemplo:

Un año normal tiene $365$ días y $365 = 52 \times 7 + 1$ . Así que un cumpleaños que este año cae en lunes caerá en martes el año que viene (salvo que haya un 29 de febrero en medio).

1Inténtalo tú mismo

Hoy es miércoles. Tu viaje de intercambio empieza dentro de exactamente 100 días. Numera los días lunes $= 0$ , martes $= 1$ , y así hasta domingo $= 6$ .

¿Qué día de la semana empieza el viaje?

Paso 1: Elige la respuesta correcta

Elige el día:

Códigos de barras y dígitos de control

La última cifra de cada código de barras EAN-13 es un dígito de control que se elige con aritmética módulo 10. El lector lo vuelve a calcular y rechaza un código con una cifra mal leída.

Ejemplo:

Para el código de libro $978030640615$ la suma ponderada (pesos $1, 3, 1, 3, \ldots$ ) es $93$ , y $93 \bmod 10 = 3$ . El dígito de control es $10 - 3 = 7$ , así que el código completo es $9780306406157$ .

2Inténtalo tú mismo

Una tienda crea un código de producto con las 12 cifras $400123456789$ . Las cifras en las posiciones 1, 3, 5, ... cuentan una vez y las de las posiciones 2, 4, 6, ... cuentan tres veces. El dígito de control hace que el total sea múltiplo de 10.

¿Cuál es el dígito de control?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Dígito de control:

Trabajo por turnos y el reloj de 24 horas

Los horarios de tren, los turnos de hospital y los planes de vuelo usan el reloj de 24 horas, que es aritmética módulo 24.

Ejemplo:

Un turno de noche empieza a las 22:00 y dura 9 horas: $22 + 9 = 31$ y $31 \bmod 24 = 7$ , así que termina a las 07:00.

3Inténtalo tú mismo

Una prueba de una máquina en una fábrica empieza a las 19:00 y dura 75 horas sin pausa.

¿A qué hora (de 0 a 23) termina la prueba?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Hora de fin:

Puntos clave

1 $a \bmod n$ es el resto de dividir $a$ entre $n$ y siempre es uno de los números $0, 1, \ldots, n - 1$
2 $a \equiv b \pmod{n}$ significa que $a$ y $b$ dejan el mismo resto, lo que equivale a que $n$ divide a $a - b$
3Un reloj calcula módulo 12, el reloj de 24 horas módulo 24, los días de la semana módulo 7 y par/impar módulo 2
4En sumas, restas y productos puedes reducir primero cada número y después reducir otra vez el resultado
5Para un número negativo, suma $n$ hasta que caiga en $0, \ldots, n - 1$ : $-3 \bmod 12 = 9$
6Las potencias se repiten en ciclos módulo $n$ : halla la longitud del ciclo y reduce el exponente módulo esa longitud, no módulo $n$

Preguntas frecuentes

¿Es $a \bmod n$ el mismo resto que muestra mi calculadora u ordenador?

Para números positivos, sí. Para números negativos muchos lenguajes de programación dan un resultado negativo, por ejemplo

-3

para

-3

dividido entre

12

. En matemáticas el resto siempre está entre

0

n - 1

, así que

-3 \bmod 12 = 9

. La calculadora de esta página funciona así: mod(-3, 12) da 9.

¿Qué significa el símbolo $\equiv$ ?

Se lee «es congruente con».

17 \equiv 5 \pmod{12}

dice que 17 y 5 dejan el mismo resto al dividir entre 12 (los dos dejan 5). Es más débil que

=

: los números congruentes pueden ser números distintos que caen en el mismo lugar de la esfera.

¿Por qué puedo reducir primero los números?

Escribe

a = pn + r

b = qn + s

. Entonces

a + b = (p + q)n + (r + s)

a \times b = (pqn + ps + qr)n + rs

. Las partes con

n

son múltiplos de

n

y no dejan resto, así que solo

r + s

r \times s

deciden el resultado.

¿Dónde se usa la aritmética modular fuera del colegio?

En los dígitos de control (códigos de barras, ISBN, el IBAN de una cuenta bancaria, que se comprueba módulo 97), en informática (tablas hash, generadores de números aleatorios) y en criptografía: el método RSA que protege la banca en línea calcula con números enormes módulo un producto de dos primos.

Glosario

Módulo: El número fijo $n$ entre el que divides; los restos son $0, 1, \ldots, n - 1$ (12 en un reloj, 7 para los días de la semana)
Resto: Lo que sobra al dividir: en $a = q \times n + r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ es $r$
a mod n: El resto de dividir $a$ entre $n$ , por ejemplo $17 \bmod 5 = 2$ y $-3 \bmod 12 = 9$
Congruente módulo n: Dos números con el mismo resto módulo $n$ , se escribe $a \equiv b \pmod{n}$ ; equivale a que $n$ divide a $a - b$
Longitud del ciclo: Cuántos pasos hacen falta hasta que los restos de las potencias se repiten, por ejemplo 4 para las últimas cifras de las potencias de 3
Dígito de control: Una cifra extra al final de un código (código de barras, ISBN) elegida para que una suma ponderada sea divisible entre 10 o entre 11

Tarjeta de fórmulas

División con resto

a = q \times n + r, \quad 0 \leq r \leq n - 1

$r$ es $a \bmod n$, $q$ es el cociente

Congruencia

a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)

El mismo resto, o: la diferencia es múltiplo de $n$

Reducir primero

(a + b) \bmod n = \big((a \bmod n) + (b \bmod n)\big) \bmod n

Lo mismo vale para la resta y la multiplicación

Números negativos

x \bmod n = (x + k \times n) \bmod n

Suma un múltiplo de $n$ hasta que el número caiga en $0, \ldots, n - 1$: $-3 + 12 = 9$

Guía del profesor: Aritmética modular

Usa esta lección con tu clase

Para profesores

Para estudiantes con dificultades:

Para estudiantes de nivel:

Para estudiantes avanzados:

Contenido de la lección

Definición

Ejemplos resueltos

Errores comunes

Por qué es importante

Aplicaciones del mundo real

Calendarios: ¿qué día será?

Códigos de barras y dígitos de control

Trabajo por turnos y el reloj de 24 horas

Puntos clave

Preguntas frecuentes

Glosario

Tarjeta de fórmulas

División con resto

Congruencia

Reducir primero

Números negativos

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