Guía del profesor: Elipses en forma estándar
Aprende a escribir, graficar y analizar elipses usando la ecuación en forma estándar.
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Ficha imprimible
Todos los ejercicios en papel, con las soluciones aparte.
Cuestionario de clase
10 preguntas sobre Secciones cónicas. Los alumnos entran con su nombre y tú ves todas las puntuaciones.
Para profesores
- Escribir la ecuación de una elipse en forma estándar dadas sus características principales
- Identificar centro, vértices, covértices y focos a partir de una ecuación en forma estándar
- Determinar si una elipse es horizontal o vertical a partir de su ecuación
- Convertir ecuaciones de elipse de forma general a forma estándar completando el cuadrado
- Aplicar la relación para encontrar los focos
- • Completar el cuadrado
- • Fórmula de la distancia
- • Graficar en el plano cartesiano
- • Introducción a las elipses (definición básica)
- 1. ¿Por qué crees que las órbitas planetarias son elipses en lugar de círculos?
- 2. ¿Cómo afecta cambiar el valor de vs a la forma de la elipse?
- 3. ¿Qué situaciones del mundo real podrían requerir que encuentres los focos de una elipse?
- 4. Si una elipse tiene excentricidad cercana a 0, ¿cómo se ve? ¿Y si está cercana a 1?
El número mayor en la ecuación siempre va con x
Los focos están en el eje menor
Para estudiantes con dificultades:
- • Comenzar con elipses centradas en el origen
- • Usar código de colores para identificar y en las ecuaciones
- • Proporcionar tarjetas de referencia de fórmulas durante la práctica
Para estudiantes de nivel:
- • Practicar elipses tanto horizontales como verticales
- • Convertir de forma general a forma estándar
- • Encontrar todas las características principales a partir de ecuaciones
Para estudiantes avanzados:
- • Explorar la excentricidad y su significado
- • Derivar la forma estándar a partir de la definición por focos
- • Investigar las propiedades reflectivas de las elipses
- HSG-GPE.A.3 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GPE.A.3)
Derivar las ecuaciones de elipses dados los focos, usando el hecho de que la suma de las distancias a los focos es constante
- HSG-GPE.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.GPE.A.1)
Derivar la ecuación de un círculo; completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio
- visualExplorador interactivo de elipses
Ajusta el centro, a y b para ver cómo cambia la elipse
- activityEmparejamiento de componentes de elipse
Empareja ecuaciones con sus gráficas y características principales
- worksheetConversión a forma estándar
Practica completar el cuadrado con ecuaciones de elipse
Contenido de la lección
Todo lo que ven los alumnos: definición, ejemplos, errores comunes, aplicaciones. Toca para abrir.
Contenido de la lección
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Definición
Ecuaciones en forma estándar
Componentes clave
- Centro:
- Semieje mayor: (siempre el valor más grande)
- Semieje menor: (siempre el valor más pequeño)
- Relación: donde es la distancia del centro a cada foco
Ejemplos resueltos
Encuentra el centro, vértices, covértices y focos de la elipse:
Identificar el centro
De y , tenemos y → Centro:
Encontrar y
(mayor), (menor) → ,
Determinar la orientación
Como está bajo , el eje mayor es horizontal → Elipse horizontal
Encontrar los vértices (en el eje mayor)
→ Vértices: y
Encontrar los covértices (en el eje menor)
→ Covértices: y
Calcular para los focos
, entonces →
Encontrar los focos (en el eje mayor)
→ Focos: y
Respuesta: Centro: ; Vértices: , ; Covértices: , ; Focos: ,
Errores comunes
Confundir qué denominador da vs
Por qué está mal: Los estudiantes asumen que siempre está bajo , pero por definición , así que es el denominador mayor.
Correcto: Siempre identificar: = denominador mayor, = denominador menor. Luego determinar la orientación según qué variable tiene .
Usar (fórmula de hipérbola) en lugar de
Por qué está mal: Las hipérbolas usan suma, las elipses usan resta. Esta es una diferencia crítica.
Correcto: Para elipses: . Recuerda: los focos están dentro de la elipse, así que .
Olvidar cambiar los signos al leer el centro de la ecuación
Por qué está mal: La ecuación tiene , así que significa , no .
Correcto: con significa , entonces .
Colocar los focos en el eje menor
Por qué está mal: Los estudiantes pueden olvidar que los focos siempre están en el eje mayor (el más largo).
Correcto: Los focos siempre están en el eje mayor, a distancia del centro.
Por qué es importante
- Astronomía: Los planetas orbitan alrededor del Sol en trayectorias elípticas (Primera Ley de Kepler)
- Arquitectura: Las galerías de susurros usan techos elípticos para efectos acústicos
- Medicina: Los equipos de litotricia usan reflectores elípticos para enfocar ondas sonoras en cálculos renales
- Óptica: Los espejos elípticos reflejan toda la luz de un foco al otro
Aplicaciones del mundo real
Órbitas planetarias
Todos los planetas orbitan alrededor del Sol en trayectorias elípticas con el Sol en uno de los focos.
Ejemplo:
La órbita de la Tierra tiene millones de km y excentricidad , haciéndola casi circular.
Un cometa orbita alrededor del Sol en una elipse con semieje mayor UA y UA (distancia del centro al Sol).
Encuentra el semieje menor .
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Usa :
Galerías de susurros
En una sala elíptica, el sonido de un foco se refleja hacia el otro foco, permitiendo que los susurros viajen a través de la sala.
Ejemplo:
El Capitolio en Washington D.C. tiene una sala elíptica donde ocurre este efecto.
Una sala elíptica mide 30 metros de largo y 20 metros de ancho.
¿Qué tan separados están los dos puntos focales (puntos de susurro)?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Encuentra donde y :
Puntos clave
- 1Una elipse en forma estándar es (horizontal) o con y intercambiados (vertical)
- 2El centro está en , y siempre (el denominador mayor determina la orientación)
- 3Los vértices están en el eje mayor a distancia del centro; los covértices están en el eje menor a distancia
- 4Los focos están en el eje mayor a distancia del centro, donde
- 5Para convertir de forma general a forma estándar, completa el cuadrado para ambas variables
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé si una elipse es horizontal o vertical?
¿Cuál es la diferencia entre a y c?
¿Qué pasa cuando a = b?
Glosario
- Elipse
- El conjunto de todos los puntos donde la suma de las distancias a dos focos es constante
- Semieje mayor
- La mitad de la longitud del diámetro más largo, denotado
- Semieje menor
- La mitad de la longitud del diámetro más corto, denotado
- Foco (pl. focos)
- Uno de dos puntos fijos dentro de la elipse;
- Vértice
- Un extremo del eje mayor
- Covértice
- Un extremo del eje menor
- Excentricidad
- La razón que mide qué tan alargada está la elipse (0 = círculo, cercano a 1 = muy alargada)
Tarjeta de fórmulas
Forma estándar (horizontal)
$a > b$, eje mayor horizontal
Forma estándar (vertical)
$a > b$, eje mayor vertical
Relación
$c$ = distancia del centro al foco
Excentricidad
$0 < e < 1$ para todas las elipses