Parábolas en forma de vértice

Aprende a escribir, graficar y analizar funciones cuadráticas en forma de vértice y = a(x - h)² + k.

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Definición

La forma de vértice de una función cuadrática es:
y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k
donde:
  • (h,k)(h, k) es el vértice de la parábola
  • aa determina el ancho y la dirección de apertura
  • El eje de simetría es la recta vertical x=hx = h
Propiedades clave:
  • Si a>0a > 0: la parábola se abre hacia arriba (el vértice es un mínimo)
  • Si a<0a < 0: la parábola se abre hacia abajo (el vértice es un máximo)
  • Si ∣a∣>1|a| > 1: la parábola es más estrecha que y=x2y = x^2
  • Si ∣a∣<1|a| < 1: la parábola es más ancha que y=x2y = x^2

Pruébalo ahora

¿Cuál es el vértice de y=(x−4)2+3y = (x - 4)^2 + 3?

Ejemplos resueltos

Para y=2(x−3)2−5y = 2(x - 3)^2 - 5, encuentra el vértice, el eje de simetría y la dirección de apertura.
1

Identifica hh de (x−h)(x - h)

(x−3)(x - 3) significa h=3h = 3
2

Identifica kk como la constante

k=−5k = -5
3

Escribe el vértice

Vértice = (h,k)(h, k) → (3,−5)(3, -5)
4

Encuentra el eje de simetría

x=hx = h → x=3x = 3
5

Determina la dirección a partir de aa

a=2>0a = 2 > 0 → Se abre hacia arriba

Errores comunes

Escribir el vértice como (h,k)(h, k) cuando la ecuación tiene (x+h)(x + h)

Por qué está mal: Cuando ves (x+2)2(x + 2)^2, esto es (x−(−2))2(x - (-2))^2, entonces h=−2h = -2, no 22.

Correcto: Siempre reescribe para que coincida con (x−h)(x - h): si ves (x+2)(x + 2), entonces h=−2h = -2.

Olvidar que aa afecta el ancho, no solo la dirección

Por qué está mal: Los estudiantes se enfocan solo en si aa es positivo o negativo.

Correcto: ∣a∣>1|a| > 1 hace la parábola más estrecha; ∣a∣<1|a| < 1 la hace más ancha.

Errores al completar el cuadrado

Por qué está mal: Olvidar restar el mismo valor que se sumó dentro del paréntesis.

Correcto: Cuando sumas 99 para completar el cuadrado, también debes restar 99 para mantener la ecuación equilibrada.

Visual interactivo

Explorador cuadrático

y = x²

Controla ancho y dirección

Desplaza la parábola

Intersección con eje Y

xy

Vértice

(0, 0)

Eje de simetría

x = 0

Raíces (intersecciones con eje X)

x = 0 (raíz doble)

Intersección con eje Y

(0, 0)

Dirección

Abre hacia arriba

Discriminante

b² - 4ac = 0

Tabla de valores

x-3-2-10123
y9410149
VérticeRaícesIntersección con eje YEje de simetría

Sandbox interactivo

Graficador interactivo

-10-50510-10-50510xy

Toca la gráfica o pasa el ratón por encima para leer los valores.

Prueba estos ejemplos:

y = 2(x - 3)^2 - 5

Calculadora de expresiones

Prueba estos:

Historial

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Problemas de práctica

16 problemas
Problema 1 de 16
Fácil
¿Cuál es el vértice de y=(x−4)2+3y = (x - 4)^2 + 3?

Por qué es importante

La forma de vértice facilita la comprensión de las funciones cuadráticas:
  • Física: El movimiento de proyectiles sigue trayectorias parabólicas. El vértice indica la altura máxima y cuándo se alcanza.
  • Ingeniería: Las antenas parabólicas y los faros de automóviles usan reflectores parabólicos. El vértice es el punto focal.
  • Negocios: Las funciones de ganancia suelen ser cuadráticas. El vértice muestra la ganancia máxima.
  • Arquitectura: Los arcos parabólicos distribuyen el peso eficientemente. El vértice es el punto más alto.
¡Comprender la forma de vértice te permite identificar rápidamente las características más importantes de cualquier parábola!

Aplicaciones del mundo real

Movimiento de proyectiles

Cuando un objeto es lanzado, su altura a lo largo del tiempo sigue una trayectoria parabólica. La forma de vértice nos dice inmediatamente la altura máxima.

Ejemplo:

La altura de una pelota es h(t)=−16(t−2)2+64h(t) = -16(t - 2)^2 + 64 pies. El vértice (2,64)(2, 64) nos dice que la pelota alcanza 64 pies a t=2t = 2 segundos.

1Inténtalo tú mismo

Una fuente dispara agua siguiendo la trayectoria y=−0,5(x−4)2+8y = -0,5(x - 4)^2 + 8, donde yy es la altura en metros y xx es la distancia horizontal.

¿Cuál es la altura máxima del agua y a qué distancia horizontal ocurre?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Lee el vértice (h,k)(h, k):

Antenas parabólicas

Las antenas parabólicas concentran señales en el vértice. Los ingenieros usan la forma de vértice para diseñar la forma precisa.

Ejemplo:

Una antena con ecuación y=0,25(x−0)2+0y = 0,25(x - 0)^2 + 0 tiene su punto focal sobre el vértice en el origen.

2Inténtalo tú mismo

Un ingeniero diseña un reflector parabólico con ecuación y=0,1(x−0)2y = 0,1(x - 0)^2. El reflector tiene 2 metros de ancho.

¿Qué profundidad tiene la antena en sus bordes (en x=±1x = \pm 1 metro)?

Paso 1: Escribe la expresión matemática

Calcula yy cuando x=1x = 1:

Puntos clave

  • 1La forma de vértice es y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k donde (h,k)(h, k) es el vértice
  • 2El eje de simetría siempre es x=hx = h
  • 3a>0a > 0: se abre hacia arriba (mínimo en el vértice); a<0a < 0: se abre hacia abajo (máximo en el vértice)
  • 4∣a∣>1|a| > 1: parábola más estrecha; ∣a∣<1|a| < 1: parábola más ancha
  • 5Para convertir desde la forma estándar, completa el cuadrado

Preguntas frecuentes

Mira aa: si a>0a > 0, la parábola se abre hacia arriba, entonces el vértice es un mínimo. Si a<0a < 0, se abre hacia abajo, entonces el vértice es un máximo.
Mira aa: si a>0a > 0, la parábola se abre hacia arriba, entonces el vértice es un mínimo. Si a<0a < 0, se abre hacia abajo, entonces el vértice es un máximo.
La forma (x−h)(x - h) representa un desplazamiento horizontal. Cuando h=3h = 3, escribimos (x−3)(x - 3), lo que desplaza la parábola 3 unidades a la derecha. Cuando h=−2h = -2, escribimos (x−(−2))=(x+2)(x - (-2)) = (x + 2), desplazando 2 unidades a la izquierda.
Expande el término al cuadrado: a(x−h)2+k=a(x2−2hx+h2)+k=ax2−2ahx+ah2+ka(x - h)^2 + k = a(x^2 - 2hx + h^2) + k = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k.

Glosario

Vértice
El punto de giro de una parábola; el punto (h,k)(h, k) en la forma de vértice
Eje de simetría
La recta vertical x=hx = h que divide la parábola en dos imágenes espejo
Forma de vértice
La ecuación y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k donde (h,k)(h, k) es el vértice
Completar el cuadrado
Una técnica para convertir la forma estándar a la forma de vértice creando un trinomio cuadrado perfecto

Tarjeta de fórmulas

Forma de vértice

y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k

Ecuación estándar de la forma de vértice

Vértice

(h,k)(h, k)

Coordenadas del punto de giro

Eje de simetría

x=hx = h

Recta vertical que pasa por el vértice

Completar el cuadrado

x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2

Conversión a forma de vértice

Reto de hoyUn problema, tres intentos

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