Parábolas en forma de vértice
Aprende a escribir, graficar y analizar funciones cuadráticas en forma de vértice y = a(x - h)² + k.
Definición
- es el vértice de la parábola
- determina el ancho y la dirección de apertura
- El eje de simetría es la recta vertical
- Si : la parábola se abre hacia arriba (el vértice es un mínimo)
- Si : la parábola se abre hacia abajo (el vértice es un máximo)
- Si : la parábola es más estrecha que
- Si : la parábola es más ancha que
Pruébalo ahora
Ejemplos resueltos
Para , encuentra el vértice, el eje de simetría y la dirección de apertura.
Identifica de
significa →
Identifica como la constante
→
Escribe el vértice
Vértice = →
Encuentra el eje de simetría
→
Determina la dirección a partir de
→ Se abre hacia arriba
Respuesta: Vértice: , Eje de simetría: , Se abre hacia arriba (más estrecha que )
Errores comunes
Escribir el vértice como cuando la ecuación tiene
Por qué está mal: Cuando ves , esto es , entonces , no .
Correcto: Siempre reescribe para que coincida con : si ves , entonces .
Olvidar que afecta el ancho, no solo la dirección
Por qué está mal: Los estudiantes se enfocan solo en si es positivo o negativo.
Correcto: hace la parábola más estrecha; la hace más ancha.
Errores al completar el cuadrado
Por qué está mal: Olvidar restar el mismo valor que se sumó dentro del paréntesis.
Correcto: Cuando sumas para completar el cuadrado, también debes restar para mantener la ecuación equilibrada.
Visual interactivo
Explorador cuadrático
Controla ancho y dirección
Desplaza la parábola
Intersección con eje Y
Vértice
(0, 0)
Eje de simetría
x = 0
Raíces (intersecciones con eje X)
x = 0 (raíz doble)
Intersección con eje Y
(0, 0)
Dirección
Abre hacia arriba
Discriminante
b² - 4ac = 0
Tabla de valores
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Sandbox interactivo
Graficador interactivo
Prueba estos ejemplos:
y = 2x + 1
m=2, b=1
Calculadora de expresiones
Prueba estos:
Historial
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Problemas de práctica
16 problemas¿Cuál es el vértice de ?
Por qué es importante
- Física: El movimiento de proyectiles sigue trayectorias parabólicas. El vértice indica la altura máxima y cuándo se alcanza.
- Ingeniería: Las antenas parabólicas y los faros de automóviles usan reflectores parabólicos. El vértice es el punto focal.
- Negocios: Las funciones de ganancia suelen ser cuadráticas. El vértice muestra la ganancia máxima.
- Arquitectura: Los arcos parabólicos distribuyen el peso eficientemente. El vértice es el punto más alto.
Aplicaciones del mundo real
Movimiento de proyectiles
Cuando un objeto es lanzado, su altura a lo largo del tiempo sigue una trayectoria parabólica. La forma de vértice nos dice inmediatamente la altura máxima.
Ejemplo:
La altura de una pelota es pies. El vértice nos dice que la pelota alcanza 64 pies a segundos.
Una fuente dispara agua siguiendo la trayectoria , donde es la altura en metros y es la distancia horizontal.
¿Cuál es la altura máxima del agua y a qué distancia horizontal ocurre?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Lee el vértice :
Antenas parabólicas
Las antenas parabólicas concentran señales en el vértice. Los ingenieros usan la forma de vértice para diseñar la forma precisa.
Ejemplo:
Una antena con ecuación tiene su punto focal sobre el vértice en el origen.
Un ingeniero diseña un reflector parabólico con ecuación . El reflector tiene 2 metros de ancho.
¿Qué profundidad tiene la antena en sus bordes (en metro)?
Paso 1: Escribe la expresión matemática
Calcula cuando :
Puntos clave
- 1La forma de vértice es donde es el vértice
- 2El eje de simetría siempre es
- 3: se abre hacia arriba (mínimo en el vértice); : se abre hacia abajo (máximo en el vértice)
- 4: parábola más estrecha; : parábola más ancha
- 5Para convertir desde la forma estándar, completa el cuadrado
Preguntas frecuentes
Glosario
- Vértice
- El punto de giro de una parábola; el punto en la forma de vértice
- Eje de simetría
- La recta vertical que divide la parábola en dos imágenes espejo
- Forma de vértice
- La ecuación donde es el vértice
- Completar el cuadrado
- Una técnica para convertir la forma estándar a la forma de vértice creando un trinomio cuadrado perfecto
Tarjeta de fórmulas
Forma de vértice
Ecuación estándar de la forma de vértice
Vértice
Coordenadas del punto de giro
Eje de simetría
Recta vertical que pasa por el vértice
Completar el cuadrado
Conversión a forma de vértice